人教A版选修21 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件（28张） (1).pptx

空间向量的数乘运算 1 理解异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的概念 2 会用向量方法求两条直线所成的角 线面角和二面角 3 体会向量方法在研究几何问题中的作用 回顾一下二面角的定义 两个半平面形成的二面角与这两个半平面的法向量的夹角的关系 直角 半平面 平行线 锐角 摄影 锐角 垂直于棱 直二面角 0 相等 互补 1 已知二面角 l 的大小为60 且m n 则m n的夹角为 a 30 b 60 c 120 d 60 或120 d 解析 注意法向量的夹角可能与二面角的大小相等或互补 不能错选b 利用法向量求二面角的大小时 要结合具体题目选择相等或互补的角 2 若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150 则l1与l2所成的角为 a 30 b 150 c 30 或150 d 以上均不对 解析 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补 但异面直线所成角的范围为 0 2 故选a a 3 已知向量m n分别是直线l的方向向量与平面 的法向量 若cos 32 则l与 所成的角为 解析 设l与 所成的角为 则sin cos 32 60 60 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 底面是边长为2的正方形 高为1 求异面直线ad1和c1d所成角的余弦值 4 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 2 0 0 d 0 0 0 d1 0 0 1 c1 0 2 1 1 2 0 1 1 0 2 1 故异面直线ad1和c1d所成角余弦值为 cos 1 1 1 1 15 c 90 向量法计算直线与平面所成的角 如图所示 在三棱锥p abc中 pa 平面abc ab ac pa ac 12ab n为ab上一点 ab 4an m s分别为pb bc的中点 1 证明 cm sn 2 求sn与平面cmn所成角的正弦值 解析 设pa 1 以a为原点 射线ab ac ap分别为x y z轴正方向建立空间直角坐标系 如图 则p 0 0 1 c 0 1 0 b 2 0 0 又an 14ab m s分别为pb bc的中点 n 12 0 0 m 1 0 12 s 1 12 0 1 1 1 12 12 12 0 1 1 12 12 12 0 0 cm sn 2 12 1 0 设a x y z 为平面cmn的一个法向量 a 0 a 0 则 12z 0 12x y 0 2 2 取y 1 得a 2 1 2 设sn与平面cmn所成角为 sin cos 1 12 3 22 22 sn与平面cmn所成角的正弦值为22 7 用向量法计算二面角如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求二面角a a1d b的余弦值 问题 上述结果正确吗 1 已知a p 32 12 2 平面 的一个法向量n 0 12 2 则直线pa与平面 所成的角为 a 30 b 45 c 60 d 150 c 解析 设直线pa与平面 所成的角为 则sin cos 0 32 12 12 2 2 32 2 12 2 2 2 02 12 2 2 2 32 60 c 3 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 ac bc 1 cc1 2 则直线a1b与平面bb1c1c所成角的正弦值为 解析 以ca cb cc1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则b 0 1 0 a 1 0 0 a1 1 0 2 1b 1 1 2 平面bb1c1c的一个法向量n 1 0 0 设直线a1b与平面bb1c1c所成角为 1b与n的夹角为 则cos 1b 1b 66 sin cos 66 直线a1b与平面bb1c1c所成角的正弦值为66 66 4 已知正 abc与正 bcd所在的平面垂直 求二面角a bd c的正弦值 2014年 新课标全国 卷 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 a 110b 25c 3010d 22 c 解析 由于 bca 90 三棱柱为直三棱柱 且bc ca cc1 可将三棱柱补成正方体 建立如图所示空间直角坐标系 设