人教版选修34 第十一章 4 单摆 学案.doc

4单摆学习目标1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法一、单摆及单摆的回复力1单摆(1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆单摆是实际摆的理想化模型(2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置2单摆的回复力(1)回复力的来源：如图1所示，摆球的重力沿圆弧切向(填“切向”或“法线方向”)的分力提供回复力图1(2)回复力的特点：在偏角很小时，sin，所以单摆的回复力为fx，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动二、单摆的周期1单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越长(填“越长”“越短”或“不变”)2单摆的周期公式t2.三、用单摆测定重力加速度1实验原理由t2，得g，则测出单摆的摆长l和周期t，即可求出当地的重力加速度2数据处理(1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加速度，然后取平均值(2)图象法：以l和t2为纵坐标和横坐标，作出函数lt2的图象，根据其倾斜程度求出，进而求出重力加速度g.即学即用1判断下列说法的正误(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力()(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零()(3)制作单摆的摆球越大越好()(4)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半()(5)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期()2一个理想的单摆，已知其周期为t.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为_答案2t一、单摆及单摆的回复力导学探究(1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？答案(1)回复力不是合外力单摆的运动可看做是变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零知识深化单摆的回复力(1)单摆受力：如图2所示，受细线拉力和重力作用图2(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力fmgsin提供了使摆球振动的回复力(4)回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足fkx，此时摆球的运动可看成是简谐运动例1图3中o点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至a点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的a、c之间来回摆动，b点为运动中的最低位置，则在摆动过程中()图3a摆球在a点和c点处，速度为零，合力也为零b摆球在a点和c点处，速度为零，回复力也为零c摆球在b点处，速度最大，回复力也最大d摆球在b点处，速度最大，细线拉力也最大答案d解析摆球在摆动过程中，最高点a、c处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点b处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力.摆球所受的合外力在摆线方向的分力提供摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力.因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力).二、单摆的周期导学探究单摆的周期公式为t2.(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？答案(1)不等于单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和(2)可能会单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同知识深化单摆的周期1伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟2单摆的周期公式：t2.3对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%)(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离ll线r球(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定(4)周期t只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期例2如图4所示，单摆的周期为t，则下列说法正确的是()图4a把摆球质量增加一倍，其它条件不变，则单摆的周期变小b把摆角变小，其它条件不变，则单摆的周期变小c将此摆从地球移到月球上，其它条件不变，则单摆的周期将变长d将单摆摆长增加为原来的2倍，其它条件不变，则单摆的周期将变为2t答案c解析根据单摆的周期公式t2知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的倍，故a、b、d错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式t2知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，c正确例3如图5所示，三根细线在o点处打结，a、b端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使aob成直角三角形，bao30，已知oc线长也是l，下端c点系着一个小球，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)()图5a让小球在纸面内振动，周期t2b让小球在垂直纸面内振动，周期t2c让小球在纸面内振动，周期t2d让小球在垂直纸面内振动，周期t2答案a解析让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期t2；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(ll)，周期t2，a正确，b、c、d错误1在运用t2时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动周期2改变单摆振动周期的途径是：(1)改变单摆的摆长(2)改变单摆所处环境的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)3明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系三、实验：用单摆测定重力加速度1实验原理由t2，得g，则测出单摆的摆长l和周期t，即可求出当地的重力加速度2实验器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺、游标卡尺3实验步骤(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂在单摆平衡位置处做上标记(3)用刻度尺量出悬线长l(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为ll.(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5，释放摆球摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格4数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和t代入公式中求出g值，最后求出g的平均值设计如下所示实验表格实验次数摆长l/m周期t/s重力加速度g/(ms2)重力加速度g的平均值/(ms2)1g23(2)图象法：由t2得t2l，作出t2l图象，即以t2为纵轴，以l为横轴其斜率k，由图象的斜率即可求出重力加速度g.5注意事项(1)选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1m，摆球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm.(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小(3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，每当摆球从同一方向通过最低位置时计数，要测n次(如30次或50次)全振动的时间t，用取平均值的方法求周期t.例4某同学利用如图6所示的装置测量当地的重力加速度实验步骤如下：图6a按装置图安装好实验装置；b用游标卡尺测量小球的直径d；c用米尺测量悬线的长度l；d让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、，当数到20时，停止计时，测得时间为t；e多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤c、d；f计算出每个悬线长度对应的t2；g以t2为纵坐标、l为横坐标，作出t2l图线结合上述实验，完成下列问题：(1)用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图7所示，读出小球直径d为_cm.图7(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t2l图线如图8所示根据图线拟合得到方程t2404.0l3.0，由此可以得出当地的重力加速度g_m/s2.(取29.86，结果保留3位有效数字)图8(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是_a不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点开始计时b开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数c不应作t2l图线，而应作tl图线d不应作t2l图线，而应作t2(ld)图线答案(1)1.52(2)9.76(3)d解析(1)如题图所示游标卡尺主尺的示数是1.5 cm15 mm，游标尺示数是20.1 mm0.2 mm，小球的直径d15mm0.2mm15.2mm1.52cm.(2)根据单摆周期公式t2得：2，即t24002.故t2l图象的斜率表示的大小，由题意知斜率k404.0，则404.0，代入29.86得g9.76m/s2.(3)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和，把摆线长度作为单摆摆长，摆长小于实际摆长，t2l图象不过原点，在纵轴上截轴不为零，故d正确1(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图9所示，以下说法正确的是()图9at1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零bt2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小ct3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大dt4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大答案cd解析由题图读出t1时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故a错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故b错误；t3时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，故c正确；t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故d正确2(单摆的周期公式)(多选)图10为甲、乙两单摆的振动图象，则()图10a若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲l乙21b若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲l乙41c若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲g乙41d若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲g乙14答案bd解析由题图可知t甲t乙21，根据公式t2，若两单摆在同一地点，则两单摆摆长之比为l甲l乙41，故a错误，b正确；若两单摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲g乙14，故c错误，d正确3(单摆的周期公式)有一单摆，其摆长l1.02m，摆球的质量m0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆30次全振动所用的时间t60.8s，试求：(1)当地的重力加速度约为多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2s)，摆长应怎样改变？改变约为多少？答案(1)9.79m/s2(2)缩短0.027m解析(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式t2，由此可得g，只要求出t值代入即可因为t s2.027 s，所以g m/s29.79 m/s2.(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动周期公式有，故有：l0 m0.993 m.其摆长要缩短lll01.02 m0.993 m0.027 m.4(用单摆测定重力加速度)某同学利用单摆测定重力加速度(1)(多选)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是()a组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球b组装单摆须选用轻质且不易伸长的细线c实验时须使摆球在同一竖直面内摆动d摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图11所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期t1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期t2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离l.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g_.图11答案(1)bc(2)解析(1)在利用单摆测定重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、直径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选b、c.(2)设第一次摆长为l，第二次摆长为ll，则t12，t22，联立解得g.一、选择题考点一单摆及单摆的回复力1(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()a摆线质量不计b摆线不可伸缩c摆球的直径比摆线长度小得多d只要是单摆的运动就是一种简谐运动答案abc解析单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩只有在摆角很小(5)的情况下才能视单摆运动为简谐运动故正确答案为a、b、c.2关于单摆，下列说法中正确的是()a摆球运动的回复力是它受到的合力b摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的c摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置d摆球经过平衡位置时，加速度为零答案b解析摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，a错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，c、d错误；由简谐运动特点知b正确3(多选)关于单摆的运动，下列说法中正确的是()a单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力b单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力c摆球做匀速圆周运动d单摆做简谐运动的条件是最大偏角很小，如小于5答案bd解析单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，千万不要误认为是摆球所受的合外力，所以a错误，b正确；单摆在摆动过程中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，c错误；在摆角很小时，单摆近似做简谐运动，d正确考点二单摆的周期公式4(多选)某单摆由1m长的摆线连接一个直径为2cm的铁球组成，关于单摆周期的下列说法正确的是()a用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变b用大球替代小球，单摆的周期不变c摆角从5改为3，单摆的周期会变小d将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变小答案ad解析用等大的铜球替代铁球，摆长不变，由单摆周期公式t2可知，单摆的周期不变，故a正确；用大球替代小球，单摆摆长变长，单摆的周期变大，故b错误；在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5改为3时，单摆周期不变，故c错误；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，单摆周期变小，故d正确5(多选)如图1所示为单摆的振动图象，取g10m/s2，根据此振动图象能确定的物理量是()图1a摆长b回复力c频率d振幅答案acd解析由题图知，单摆的周期为t2s，由单摆的周期公式t2得摆长l1m，振幅为a3cm，频率f0.5hz，摆球的回复力fmg，由于摆球的质量未知，无法确定回复力，a、c、d正确6.如图2所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为m，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期()图2a不变b先变大后变小c先变小后变大d逐渐变大答案b解析在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故选b.7做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的()a周期不变，振幅不变b周期不变，振幅变小c周期改变，振幅不变d周期改变，振幅变大答案b解析由单摆的周期公式t2可知，当摆长l不变时，周期不变，故c、d错误；由能量守恒定律可知mv2mgh，其摆动的高度与质量无关，因平衡位置的速度减小，则最大高度减小，即振幅减小，选项b正确，a错误8(多选)如图3甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示不计空气阻力，g取10m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是()图3a单摆的位移x随时间t变化的关系式为x8sin (t) cmb单摆的摆长约为1mc从t2.5s到t3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大d从t2.5s到t3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小答案ab解析由振动图象可读出周期t2 s，振幅a8 cm，由得到圆频率 rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为xasint8sin (t) cm，故a正确由公式t2，代入得到l1 m，故b正确从t2.5 s到t3 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故c、d错误9如图4所示，甲、乙两个单摆的悬点在同一水平天花板上，两摆球拉到同一水平高度，并用一根细线水平相连，以水平地板为参考面平衡时，甲、乙两摆线与竖直方向的夹角分别为1和2，且12.当细线突然断开后，两摆球都做简谐运动，则()图4a甲、乙两摆的周期相等b甲、乙两摆的振幅相等c甲的机械能小于乙的机械能d甲的最大速度小于乙的最大速度答案c解析根据几何关系得，甲的摆长大于乙的摆长，甲的摆角大于乙的摆角，所以甲的振幅大于乙的振幅根据t2知，甲摆的周期大于乙摆的周期，故a、b错误；两球开始处于平衡状态，设两球之间细线拉力为ft，根据共点力平衡知，m甲g，m乙g，则m甲m乙，在摆动的过程中，机械能守恒，则甲摆球的机械能小于乙摆球的机械能，故c正确；根据机械能守恒定律得，因为甲球下降的高度大，则甲摆球的最大速度大于乙摆球的最大速度，故d错误二、非选择题10(单摆的周期公式)正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图5所示，从小球第1次通过图中的b点开始计时，第21次通过b点用时30s；球在最低点b时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期t_s；房顶到窗上沿的高度h_m.图5答案33解析n(211)10，t3s，t(22)，解得h3m.11(用单摆测定重力加速度)某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长l，通过改变摆线的长度，测得5组l和对应的周期t，画出lt2图线，然后在图线上选取a、b两个点，坐标如图6所示他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g_.请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将_(填“偏大”“偏小”或“相同”)图6答案相同解析由周期公式t2，得g，结合题图图象得到g，因为这样处理数据后用到的是前后两次摆长的差值，与重心位置无关，所以测量结果不受影响12(用单摆测定重力加速度)某同学在做利用单摆测重力加速度的实验中，先测得摆线长为97.50cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为99.7s，则：(1)该摆摆长约为_cm，周期约为_s(计算结果保留2位小数)(2)如果测得g值偏小，可能的原因是_a测摆线长时摆线拉得过紧b测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径c开始计时时，秒表过迟按下d实验中误将49次全振动次数记为50次(3)某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录数据如下：l/m0.50.80.91.01.2t2/s22.023.203.614.004.84试以l为横坐标，t2为纵坐标，如图7所示，作出t2l图线，并利用此图线求出重力加速度为_m/s2.(保留两位小数)图7答案(1)98.501.99(2)b(3)见解析图9.86解析(1)单摆的摆长为ll97.50cm1.00cm98.50cm，周期t1.99s.(2)由单摆周期公式t2得，g.测摆线长时摆线拉得过紧，会使l变大，故会使g变大，a错误；测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径，l变小，故会使g变小，b正确；开始计时时，秒表过迟按下，会使周期t变小，故会使g变大，c错误；实验中