人教版必修一 2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 学案.docx

第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系课前自主预习一、匀速直线运动的位移1. 位移公式：x_。 2. 由vt图象求位移：做匀速直线运动的物体，其vt图象是一条平行于_的直线，其位移在数值上等于vt图线与对应的时间轴所包围的矩形的_。如图所示。二、匀变速直线运动的位移1. 位移在vt图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着vt图象中的图线和_包围的面积，如图所示，在0 t时间内的位移大小等于_的面积。2. 位移公式：x_。三、用图象表示位移(xt图象)1. 定义：以_为横坐标，以_为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象。 2. 静止物体的xt图象：是一条_的直线。 3. 匀速直线运动的xt图象：由xvt可知，其位移时间图象是一条_。如图中所示。4. 匀变速直线运动的xt图象：当v00时，xat2，其位移时间图象是抛物线的一部分。如图中所示。图象是曲线，反映物体的位移x与时间t不成正比，而是x_。四、想一想（1）利用公式xv0tat2求出的位移大小等于物体运动的路程吗？（2）物体做匀加速直线运动时速度随时间均匀增大，位移也随时间均匀增大吗？（3）vt图象中图线与时间轴所围成的面积有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？（4）初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大吗？（5）匀变速直线运动的位移公式为xv0tat2，那么它的xt图象应为什么形状？【答案】 一、1. vt 2. 时间轴 面积二、1. 时间轴 梯形 2. v0tat2三、1. 时间t 位移x 2. 平行于时间轴 3. 过原点的直线 4. t2 四、（1）不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程。（2）不是，匀加速直线运动的速度公式是vv0at，速度与时间成线性关系，均匀增大；位移公式是xv0tat2，位移与时间不成线性关系，位移虽增大，但不是均匀增大。（3）据vt图象的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的矩形的面积代表物体的位移为正值，同理图线与时间轴所围的矩形的面积在时间轴的下方表明物体的位移是负值。（4）不一定，匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关，仅根据初速度和时间不能确定位移的大小。（5）匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的xt图象应为抛物线。课堂重难突破一、匀变速直线运动的位移时间关系式导学探究某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.(1)把匀变速直线运动的vt图象分成几个小段，如图所示每段位移每段起始时刻速度每段的时间对应矩形的面积故整个过程的位移各个小矩形的面积之和 (2)把运动过程划分为更多的小段，如图所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移 (3)把整个运动过程分得非常细，如图所示，很多小矩形合在一起形成了一个梯形oabc，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移如图所示，vt图线下面梯形的面积s(ocab)oa把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成x(v0v)t又因为vv0at由式可得xv0tat2.知识深化一、微分与极限思想的应用在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量vat，只要时间足够短，速度的变化量就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移。如图所示，甲图中与t对应的每个小矩形的面积就可以看做t时间内的位移。如果把每一小段t内的运动看做匀速直线运动，则各小矩形面积之和等于各段t时间内做匀速直线运动的位移之和。时间t越短，速度变化量v就越小，我们这样计算的误差也就越小。当t0时，各矩形面积之和趋近于vt图象与时间轴所围成的面积。由梯形面积公式得x在任何运动中都有xt因此(适用匀变速直线运动)，把vv0at代入x得xv0tat2在vt图中表示v与v总结推论：vvxttv0tat2二、对位移公式xv0tat2的进一步理解1. 公式的物理意义：反映了位移随时间的变化规律。2. 公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。若选v0方向为正方向，则：(1)物体加速，a取正值。(2)物体减速，a取负值。(3)若位移为正值，位移的方向与正方向相同。(4)若位移为负值，位移的方向与正方向相反。3. 位移公式中v0、v 、a与时间t相对应：v0是t时间开始时刻的瞬时速度，v是t时间结束时刻的瞬时速度；同一个匀变速直线运动，过程（时间段）取的不一样，对应的v0、v也不一样。在整个t时间内加速度a不变。4. 位移公式有两项组成，其中v0t对应图象中矩形的面积，对应图象中三角形的面积。5. 两种特殊形式(1) 当a0时，xv0t(匀速直线运动)。(2) 当v00时，xat2(由静止开始的匀加速直线运动)。【典例1】一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a2 m/s2，求：(1)第5 s末物体的速度多大？(2)前4 s的位移多大？(3)第4 s内的位移多大？【答案】(1)10 m/s(2)16 m(3)7 m【解析】(1)第5 s末物体的速度由v1v0at1得v1025 m/s10 m/s.(2)前4 s的位移由x1v0tat2得x10242 m16 m.(3)物体第3 s末的速度v2v0at2023 m/s6 m/s则第4 s内的位移x2v2t3at61 m212 m7 m.【典例2】某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x0.5tt2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为()a1.25 s b2.5 sc3 s d6 s【答案】a【解析】由x0.5tt2知，v00.5 m/s，a2 m/s2，再由速度公式vv0at知，t1.25 s，选项a正确二 匀变速直线运动的两个重要推论知识深化1. 平均速度公式：v即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.由xv0tat2得，平均速度v0at.由速度公式vv0at知，当t时，vv0a，由得v.又vva，由解得v，所以v.2. 逐差相等匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间t内的位移分别为x、x、x、xn，则xxxxxat2.推导：x1v0tat2，x2v02tat2，x3v03tat2，所以xx1v0tat2；xx2x1v0tat2；xx3x2v0tat2，故xxat2，xxat2，所以，xxxxxat2.提示：1. 此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。2. 以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。3. 推论式xxat2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度。【典例3】 汽车从a点由静止开始沿直线acb做匀变速直线运动，第4 s末通过c点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s到达b点停止，总共通过的位移是30 m，则下列说法正确的是()a. 汽车在ac段与bc段的平均速度相同b. 汽车通过c点时的速度为3 m/sc. 汽车通过c点时的速度为6 m/sd. ac段的长度为12 m【答案】acd【解析】设汽车通过c点时的速度为vc，由可知，汽车在ac段与bc段的平均速度均为，a正确；由t1t2xab，t1t210 s可得vc6 m/s，c正确，b错误；由xact1可得：xac12 m，d正确。【典例4】 从斜面上某位置每隔0.1s释放一个小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上的小球拍下照片，如图所示，测得xab15cm，xbc20cm。试求：(1) 小球的加速度；(2) 拍摄时b球的速度vb；(3) 拍摄时xcd；(4) a球上面滚动的小球还有几个？【答案】(1)5m/s2(2)1.75m/s(3)0.25m(4)2个【解析】小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为t0.1s，可以等效为a、b、c、d各点是一个小球在不同时刻的位置。(1)由推论xat2可知，小球的加速度为：acm/s2500cm/s25m/s2(2)由题意知b点是ac段的中间时刻，可知b点的速度等于ac段的平均速度即，vbaccm/s1.75m/s(3)由于相邻相等时间的位移差恒定，即xcdxbcxbcxab，所以xcd2xbcxab40cm15cm25cm0.25m(4)设a点小球的速度为va，因为vbvaat，vavbat1.75m/s50.1m/s1.25m/s，所以a球的运动时间为：tas0.25s，因为每隔0.1s释放一个小球，故a球的上方正在滚动的小球还有2个。三、 位移时间图象(xt图象)知识深化1. 三种常见运动的图象(1) 静止物体的xt图象是平行于时间轴的直线，如图中a.(2) 匀速直线运动的xt图象是一条倾斜的直线，如图中b.(3) 匀变速直线运动的xt图象是抛物线，如图235中c.2. 物理意义：xt图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。 3. 根据xt图象分析物体的运动 (1) 由xt图象可以确定物体各个时刻所对应的位置或物体发生一段位移所需要的时间。(2) 若物体做匀速直线运动，则xt图象是一条倾斜的直线，直线的斜率表示物体的速度。斜率的大小表示速度的大小，斜率的正、负表示物体的运动方向，如甲图中的a、b所示。(3) 若xt图象为平行于时间轴的直线，表明物体处于静止状态。如甲图中的c所示。(4) 物体做初速度为零的匀加速直线运动的xt图象，如图乙所示。 4. 对图象的几点说明 (1) 纵截距：表示初始时刻的位置。(2) 横截距：表示物体从开始计时到开始运动间隔的时间或物体运动到原点时的时刻。(3) 两图象的交点：表示两物体在同一位置(即相遇)。(4) 图象的斜率等于物体运动的速度，斜率为正值表明速度为正，物体向正方向运动；斜率为负值表明速度为负，物体向负方向运动。(5) 乙图表示速度越来越大，曲线弯曲不表示做曲线运动。【典例5】(多选)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移时间图象如图5所示，则下列说法正确的是() a前15 s内汽车的位移为30 mb20 s末汽车的速度为1 m/sc前10 s内汽车的加速度为3 m/s2d前25 s内汽车做单方向直线运动【答案】ab【解析】从图象上可以看出前15 s内汽车的位移为30 m，选项a正确；图象的斜率表示速度，故15 25 s内汽车反向做匀速直线运动，速度为v m/s1 m/s，选项b正确；前10 s内汽车做匀速直线运动，加速度为零，10 15 s内汽车静止，15 25 s内汽车做反向匀速直线运动，选项c、d错误【典例6】如图是在同一条直线上运动的a、b两质点的xt图象，由图可知()at0时，a在b后面bb质点在t2秒末追上a并在此后跑在a的前面c在0 t1时间内b的运动速度比a大da质点在0 t1做加速运动，之后做匀速运动【答案】b【解析】由图象可知，t0时，b在a后面，故a错误；b质点在t2秒末追上a并在此后跑在a的前面，b正确；在0 t1时间内b的斜率小于a，故b的运动速度比a小，c错误；a质点在0 t1时间内做匀速运动，之后处于静止状态，故d错误四 逆向思维法在匀变速直线运动中的应用知识深化把人们通常思考问题的思维反过来思考的思维方式就是逆向思维，运用逆向思维分析和解决问题的方法叫做逆向思维法。所谓逆向思维，简单来说就是“倒过来想一想。”例如：末速度为0的匀减速直线运动可看成初速度为0、加速度大小相等的反向匀加速直线运动。1. 逆向思维法的优点：逆向后，速度公式vv0at变为vat，位移公式xv0tat2变为xat2，不仅简化了运算，也使问题变得更加简洁。2. 处理该类问题时应注意：逆向思维法可简化问题的处理过程，但要注意原过程与逆过程的速度、位移的大小相等，但方向相反。3. 设物体的初速度为v0，加速度大小为a，做匀减速直线运动至速度为零，则可将此运动逆向看成初速度为0，加速度大小为a的匀加速直线运动，末速度为v0，若历时t，则经过的位移可有以下一些表达：xv0tat2(顺向的表达)，xat2(逆向的表达)，xt(平均速度表达)。【典例7】物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为()a5.5 m/s b5 m/sc1 m/s d0.5 m/s【答案】d【解析】物体减速时间t010 s该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等由xat2112 m0.5 m，故物体停止运动前1 s内的平均速度0.5 m/s，选项d正确课堂小练1下列关于匀变速直线运动及公式xv0tat2中的加速度的方向和正、负值的说法，正确的是()a对匀加速直线运动，公式中a一定取正值b匀加速直线运动中加速度方向一定和初速度方向相同c匀加速直线运动中加速度也有可能取负值d若规定初速度方向为正方向，则匀加速直线运动公式中a取正值【答案】bcd【解析】只有加速度方向与初速度方向相同时，物体才会做加速运动，所以选项b正确；若规定初速度方向为负方向，则减速运动时，加速度为正值，加速运动时，加速度为负值，所以选项a错误，c、d正确2一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)，汽车行驶了36 m汽车开始减速时的速度是()a9 m/s b18 m/s c20 m/s d12 m/s【答案】c【解析】由xv0tat2，将x36 m，a2 m/s2，t2 s，代入解得：v 020 m/s，选项c正确3一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是()a6 m b8 m c4 m d1.6 m【答案】a【解析】根据速度公式v1at，得a m/s24 m/s2.第1 s末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移x2v1tat241 m412 m6 m故选a.4由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 m/s，下列叙述中正确的是()a前10 s内通过的位移为10 mb每秒速度变化0.2 m/sc10 s内平均速度为1 m/sd第10 s内的位移为2 m【答案】abc【解析】由vat，得a0.2 m/s2，故前10 s内的位移xat20.2102 m10 m，选项a、b正确.10 s内平均速度 m/s1 m/s，选项c正确t10 s时，x10at2a(t1)21.9 m，选项d错误5. 如图是a、b两个质点做直线运动的位移时间图象则()a在运动过程中，a质点总比b质点运动得快b在0 t1这段时间内，两质点的位移相同c当tt1时，两质点的速度相等d当tt1时，a、b两质点的加速度不相等【答案】a【解析】位移时间图象中，图线的斜率对应质点的速度，所以a质点的速度比b质点的速度大，a正确位移时间图象中，位移等于初、末时刻对应的纵坐标的坐标差，所以在0 t1这段时间内，a质点的位移大于b质点的位移，b错误t1时刻，两图象的斜率不同，两质点的速度不同，c错误两质点都做匀速直线运动，加速度都等于零，d错误6 (多选)甲、乙两物体同时开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图象如图所示，则()a甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动b甲、乙两物体从同一地点出发c出发时乙在甲前x0处d甲、乙两物体有两次相遇【答案】cd【解析】由于图象是xt图象，过原点的直线表示物体做匀速直线运动，所以甲做匀速直线运动，a错；甲从原点出发，乙从x0处出发，故b错，c对；由图看出，甲、乙有两个交点，故两物体有两次相遇，d是正确的7(多选)汽车从a点由静止开始沿直线acb做匀变速直线运动，第4 s末通过c点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s到达b点停止，总共通过的位移是30 m，则下列说法正确的是()a汽车在ac段与bc段的平均速度相同b汽车通过c点时的速度为3 m/sc汽车通过c点时的速度为6 m/sdac段的长度为12 m【答案】acd【解析】设汽车通过c点时的速度为vc，由可知，汽车在ac段与bc段的平均速度均为，a正确；由t1t2xab，t1t210 s可得vc6 m/s，c正确，b错误；由xact1可得：xac12 m，d正确课后课时作业1关于匀变速直线运动，下列说法正确的是()a位移与时间的平方成正比b位移总是随着时间的增加而增加c加速度、速度、位移三者方向一致d加速度、速度、位移的方向并不一定都相同【答案】d【解析】根据xv0tat 2，位移与时间的平方不是正比关系，a错误；位移可能随时间的增加而增加，也可能随时间的增加而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移先增加后减小，b错误；加速度、速度、位移的方向可能相同，也可能不同，c错误，d正确2根据匀变速直线运动的位移公式xv0tat2和xt，关于做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是()a加速度大的物体位移大b初速度大的物体位移大c末速度大的物体位移大d平均速度大的物体位移大【答案】d【解析】由xt知，t一定时平均速度大的物体位移大，选项d正确3如图所示描述了一位骑自行车者的位置随时间变化的关系，则此人在下列区间中，行驶最快的是()a区间 b区间c区间 d区间【答案】c【解析】位移时间图象的斜率表示速度，在区间内，图线的斜率最大，则速度最大4在交警处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到汽车在水平路面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为：x30t3t 2(x的单位是m，t的单位是s)则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为()a25 mb50 mc75 md150 m【答案】c【解析】由xv0tat 2得v030 m/s，a3 m/s2，即a6 m/s2.汽车由v0刹车到静止，由vv0at得t5 s，汽车在路面上留下的刹车痕迹长度，由xv0tat 2得x30 m/s5 s(6 m/s2)(5 s)275 m，故选项c正确5一质点沿一条直线运动的位移时间图象如图所示，则() at0时刻，质点在坐标原点b从t0时刻到t1时刻，质点位移是x0c从t1时刻到t2时刻，质点位移大小等于路程d质点在t1时刻的速度比t2时刻的速度大【答案】c【解析】t0时刻，质点在x0处，选项a错误；从t0时刻到t1时刻，质点位移大于x0，选项b错误；从t1时刻到t2时刻，质点做单方向匀速直线运动，位移大小等于路程，选项c正确，选项d错误6. 如图所示为甲、乙两物体运动的xt图象，下列关于甲、乙两物体运动的说法，正确的是()a甲、乙两个物体同时出发b甲、乙两个物体在同一位置出发c甲的速度比乙的速度小dt2时刻两个物体速度相同【答案】c【解析】由题图可知甲物体从t0时刻开始运动，而乙物体从t1时刻开始运动，故a错误；由题图可知甲物体从坐标为x1的位置开始运动，而乙物体从坐标为0的位置开始运动，故b错误；xt图象的斜率等于物体运动的速度，由题图可知乙运动的速度大于甲运动的速度，t2时刻两物体的位移相同即两物体相遇，故c正确，d错误7如图所示是一辆汽车做直线运动的xt图象，对线段oa、ab、bc、cd所表示的运动，下列说法正确的是()aoa段运动速度最大bab段物体做匀速运动ccd段的运动方向与初始运动方向相反d运动4 h汽车的位移大小为30 m【答案】c【解析】分析题图可知：oa段表示汽车向正方向做匀速直线运动，voa15 m/h，ab段表示汽车静止；bc段表示汽车向正方向做匀速直线运动，vbc15 m/h；cd段表示汽车反方向做匀速直线运动，vcd30 m/h，负号表示运动方向与初始运动方向相反运动4 h汽车的位移大小为0.8一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m则刹车后6 s内的位移是()a20 mb24 mc25 md75 m【答案】c【解析】由xat 2得：9 m7 ma12s2，a2 m/s2，由v0t1atx1得：v01 s2 m/s212s29 m，v010 m/s，汽车刹车时间t5 s6 s，故刹车后6 s内的位移为xat 2252 m25 m，故选c.9一质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x(10tt2) m，则()a质点初速度为10 m/sb质点的加速度大小是1 m/s2c2 s末的速度为6 m/sd在2 s末，质点在出发点西边，距出发点24 m【答案】ac【解析】由xv0tat210tt2知，v010 m/s，a2 m/s2，选项a正确，b错误；将t2 s代入v(102t) m/s和x(10tt2) m得，2 s末速度v6 m/s,2 s内位移x16 m，为正值，故质点在出发点东边，c正确，d项错误10a、b两质点从同一地点运动的xt图象如图239所示，下列说法正确的是()aa、b两质点在4 s末速度相等b前4 s内a、b之间距离先增大后减小，4 s末两质点相遇c前4 s内a质点的位移小于b质点的位移，后4 s内a质点的位移大于b质点的位移da质点一直做匀速运动，b质点先加速后减速，8 s末回到出发点【答案】b【解析】xt图象中，图线的斜率表示速度，4 s末二者的斜率不同，所以速度不同，故a错误；前4 s内a、b之间距离先增大后减小，4 s末两质点位置坐标相同，表示相遇，故b正确；前4 s内a质点的位移等于b质点的位移，后4 s内a质点的位移与b质点的位移大小相等，方向相反，故c错误；由图象斜率可知，a质点一直做匀速运动，b质点先减速后加速，8 s末回到出发点，故d错误11一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零已知运动中滑块加速度恒定若设斜面全长为l，滑块通过最初l所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为()a.t b(2)tc3td2t【答案】