大学基础物理学下册经典课件5-4.pdf

例例2 一质量为一质量为100g的子弹 在其运动过程中的某一的子弹 在其运动过程中的某一 瞬时 测得位置的不确定量为瞬时 测得位置的不确定量为 10 6米 试求子弹速米 试求子弹速 率的不确定量 率的不确定量 解 由不确定关系解 由不确定关系 hxP VmP 和和有 有 xm h V s m 106 6 27 61 34 1010 1063 6 两者相比 前者可以忽略不计 所以坐标及动量两两者相比 前者可以忽略不计 所以坐标及动量两 x2 vm x h 6 34 10 10 s mkg 10 28 置是完全确定的 其动量是否可以完全确定 置是完全确定的 其动量是否可以完全确定 的乒乓球的乒乓球 其直径为其直径为例例3 质量为质量为 kg10m 2 cm5d 若 若 可以认为其位可以认为其位 1 x sm200v m10 x 6 速度为速度为 而算出的动量为 而算出的动量为 解 由不确定关系解 由不确定关系算出的动量不确定度算出的动量不确定度 2 xP h 20010vm 2 x 者均可以同时确定 者均可以同时确定 s mkg 2 xm2 vx h 1 1031 34 sm 1010 10 17 sm10 16 x sm10v 即 宏观粒子的动量和位置是可以同时确定的 即 宏观粒子的动量和位置是可以同时确定的 穿过某种穿过某种例例4 一电子束以速度一电子束以速度 16 1001 sm vx 晶体 求速度的不确定度大小 晶体 求速度的不确定度大小 0 1Adx 解 电子的粒度为 解 电子的粒度为 速度不确定度 速度不确定度 即 微观粒子的动量和位置是不可能同时确定的 即 微观粒子的动量和位置是不可能同时确定的 5 3 4 薛定谔方程薛定谔方程 一 自由粒子的薛定谔方程一 自由粒子的薛定谔方程 考虑能量为考虑能量为E 动量为 动量为P的自由粒子 其波函数为 的自由粒子 其波函数为 上式对时间求导一上式对时间求导一 次次 对 对空空间坐标求导间坐标求导 二次二次 rPEt i 0e t r v v h v 1 并加并加以以整理后整理后有有下列方下列方程 程 t r m2 t r t i 2 2 vhv h 即即 2 上式为上式为 含含时时 的的自由粒子自由粒子 薛薛定定谔方谔方程程 2 2 2 2 2 2 2 zyx 为为拉普拉斯拉普拉斯算算符符 其中算其中算符符 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 中整理后为 中整理后为 r E r r U m2 2 2 vvvh 3 r v 3 式是关式是关于空于空间波函数间波函数的的方方程 程 称称为为定定态薛态薛定定谔谔 方方程程 其解为 其解为 定定态态波函数波函数 Et i e r t r h vv 即波函数可以即波函数可以 写写为 为 则则粒子在粒子在空空间出间出现现的的几几率率密密度为 度为 二 势场中粒子的定态薛定谔方程二 势场中粒子的定态薛定谔方程 若粒子若粒子处于势场处于势场中 中 则则 r U v r U m2 p E 2 v r U v 当势当势能能不不含含时间时间变变量时 可量时 可 用分离变用分离变 量量法将法将波波 函数函数写写为 为 t f r t r vv 将将上上述述两式两式代入代入 2 2 Et i 22 e r t r h vv 2 r v 几几率率密密度度与与时间时间无无关 关 说明说明波函数波函数描述描述的是的是定定态态 r U v r v 对一对一个个质量为质量为m 并并在在势场势场中运动的粒子中运动的粒子 来说来说 有一有一个个波函数波函数与该与该粒子运动的粒子运动的 稳稳定定状态状态 不不随随时时 间间变化变化 相对相对应应 这这一波函数一波函数满足薛满足薛定定谔方谔方程 程 这个这个 方方程的程的每每一一个个解解表示表示粒子运动的某一粒子运动的某一 稳稳定定状态状态 与这与这 个个解相对解相对应应的的常常数数就就是是这个稳这个稳定定态态的能量的能量E 并且该并且该 方方程程只只有有当总当总能量能量E具具有某有某些特些特定定值值时时才才有解 有解 这些这些 E的的值叫值叫本征值本征值 相 相应应的波函数的波函数叫叫本征本征函数函数 三 定态薛定谔方程的意义三 定态薛定谔方程的意义 5 3 5 一维无限深方势阱一维无限深方势阱 一 势能函数一 势能函数 设金属设金属中的自由电子在一中的自由电子在一 维无限深势阱维无限深势阱 中运动 中运动 则则 势势能能分布分布为 为 U O a U x 0U x U ax or 0 x ax0 0 二 薛定谔方程的解二 薛定谔方程的解 波函数波函数 ax or 0 x 0 x 1 当当时 时 ax0 2 在在区区间 间 薛薛定定谔方谔方程程变变为 为 0 mE2 dx d 22 2 h 令令 h mE2 k 0k dx d 2 2 2 则则 该方该方程的程的通通解为 解为 kxcosBkxsinA x 1 将边界条件将边界条件 0 a 0 0 代入代入上式中有 上式中有 2 00cosB0sinA 3 0kacosBkasinA 由由 2 式解得 式解得 B 0 代入代入 3 式有 式有 nka 0kasinA P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 L 3 2 1 n a n k 由由此此可以解得 可以解得 将将上上述结果代入述结果代入 1 式有 式有 x a n sinA x n 再利用归再利用归 一一化条件化条件 1xdx a n sinAdx x a 0 a 0 22 2 n 解得系数 解得系数 a 2 A 则则一一维无限深方势阱维无限深方势阱 波函数波函数为 为 L 3 2 1 n x a n sin a 2 x n 三 一维无限深方势阱的能量三 一维无限深方势阱的能量 可解出一可解出一 维无限深方势阱维无限深方势阱 的能量为 的能量为 L 3 2 1 n a n k 由由和和 h mE2 k ma2 n m2 k E 2 22 2 22 hh n 1 2 3 注意注意 n 0时 时 不不满足归满足归一一化条件化条件 0E0 在在无限深方势阱无限深方势阱 中的粒子 其能量是量子中的粒子 其能量是量子 化化的 的 2 22 1 ma2 E 1n h 即 即 称称为为基基态态能量能量 零点零点能能 四 几率密度四 几率密度 LQ 3 2 1 n x a n sin a 2 x n L 3 2 1nx a n sin a 2 x 2 2 n 在一在一维方势阱维方势阱中运动的粒子 其波中运动的粒子 其波 形形为为驻驻波 波 势阱势阱 两两端端 x 0和和x a 为波为波节点节点 能 能级越高级越高 驻驻波的波波的波 长越短长越短 见见后后图图a 在一在一维方势阱维方势阱中粒子的中粒子的 分布分布情况情况由粒子由粒子概概率率密密度度决决 定 定 节点节点处处粒子粒子分布分布为为零零 峰峰值处值处粒子出粒子出现现的的概概率率 最最大大 见见后后图图b 一一 维维 无无 限限 深深 势势 阱阱 中中 的的 粒粒 子子 x 2 x O O a x x 1 n 2 n 3 n 4 n 1 E 2 E 3 E 4 E a P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 五 波动图象五 波动图象 在一维方势阱中运动的粒子所 产生波是沿两个相反在一维方势阱中运动的粒子所 产生波是沿两个相反 方向传播的德布罗意平面波叠加而成的驻波 两端方向传播的德布罗意平面波叠加而成的驻波 两端 面粒子出现的几率是零 则面粒子出现的几率是零 则 L 3 2 1 n 2 na 则则 n a2 a2 nhh p m2 p E 2 由由和和可以得可以得到到能量能量 2 222 n a4 n m2 4 E h 2 22 2 ma2 n h 上上述结果与薛述结果与薛 定定谔谔推推出的出的结果结果一一致致 例例1 粒子在粒子在无限深势阱无限深势阱 中中处于处于基基态态 试求在 试求在 a 3 1 x1 a 3 2 x2 范围内找到范围内找到 粒子的粒子的概概率是率是多少多少 dx a x sin a 2 2 a 3 2 a 3 1 a 3 2 a 3 1 a x2 sin 4 1 a2 x2 9 60 dxP a 3 2 a 3 1 2 1 解 解 例例2 在在宽宽度为度为a 的一的一维无限深方势阱维无限深方势阱 中 中 当当粒子粒子处处 在在以及以及状态状态时 求时 求发发现现粒子的粒子的概概率率最最大的大的 位置 位置 21 5 解 解 当当n 1 时 时 本征本征函数为 函数为 x a sin a 2 1 111 P x a sin a 2 2 2 a x 1x a sin 即即时 时 最最大 解出大 解出 1 P 当当n 2 时 时 本征本征函数为 函数为 x a 2 sin a 2 2 222 P x a 2 sin a 2 2 a 4 3 4 a x 1x a 2 sin 即即时 时 最最大 解出大 解出 2 P 当当n 5 时 时 本征本征函数为 函数为 x a 5 sin a 2 5 555 P x a 5 sin a 2 2 1x a 5 sin 即即时 时 最最大 解出大 解出 5 P 10 a 1k2 x 4 3 2 1 0k 其中 其中 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 例例3 有一微观粒子 沿 有一微观粒子 沿x 轴正方向运动 描述其运轴正方向运动 描述其运 动的波函数为动的波函数为 ix1 A x 1 将此将此波函数波函数归归一一化化 2 求出粒子坐标的求出粒子坐标的 几几率率 分布分布函数 函数 3 在在何何处处找到找到粒子的粒子的几几率率最最大大 解解 1 令令1dx x x 1A 2 xarctanA x1 dx A 2 2 2 则则 选取选取A的的辐角辐角为为零零 就就可得可得到到 因因此归此归一一化化 波函数为 波函数为 1 A ix1 11