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文档简介

一个不等式的七种证明方法证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识.题目：已知a,b,c,dR,求证:ac+bd分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd0时,显然成立.(2)当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcdb2c2+a2d2即证0(bc-ad)2因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立.分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd.故命题得证.分析三:用比较法证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd.分析四:用放缩法证法四:为了避免讨论,由ac+bd|ac+bd|,可以试证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).由证法1可知上式成立,从而有了证法四.分析五:用三角代换法证法五:不妨设 (r1,r2均为变量).则ac+bd=r1r2coscos+r1r2sinsin=r1r2cos（-）又|r1r2|=|r1|r2|=及r1rcos（-）|r1r2|所以ac+bd. 分析六:用换元法证法六:(1)当(a2+b2)(c2+d2)=0时,原不等式显然成立.(2)当(a2+b2)(c2+d2)0时,欲证原不等式成立,只需证| |1.即证|1,注意到()2+()2=1与()2+()2=1和cos2x+sin2x=1的结构特征很类同,不妨设=cos, =cos,则=sin, =sin,故|=|coscos+sinsin|=|cos（-）|1所以ac+bd.分析七:用构造函数法(判别式法)证法七:待证不等式的结构特征与一元二次方程的判别式 =b2-4ac0的结构特征很类似,由此不妨构造函数,f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)=(a2x2+2acx+c2)+(b2x2+2bdx+d2)=(ax+c)2+(bx+d)2显然不论x取任何实数,函数f(x)的值均为非负数,因此,(1)当a2+b20时,方程f(x)=0的判别式0,即2(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)0,即(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)故ac+bd|ac+bd| (2)当a2+b2=0时,原不等式显然成立.分析八:用构
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