含时间因素的货币等值计算教材(PPT 71页).ppt

第三章含时间因素的货币等值计算 讲授内容 一 利息计算公式二 等值的计算三 电子表格的运用 一 利息计算公式 一 利息的种类1 单利利息 2 复利利息 二 现金流量图 CashFlowDiagram 三 利息计算公式1 一次支付复利公式 2 一次支付现值公式3 等额支付系列复利公式 4 等额支付系列积累基金公式5 等额支付系列资金恢复公式 6 等额支付系列现值公式7 均匀梯度系列公式 四 运用利息公式应注意的问题 五 名义利率和有效利率1 离散式复利 2 连续式复利 一 利息的种类 假设以年利率6 借入资金1000元 共借4年 其偿还情况如表所示 1 单利计息 即每期均按原始本金计算利息 这种计息方式称为单利 计息 利息与时间呈线性关系 不论计息期数为多大 只有本金计息 而利息本身不再计息 设P代表本金 n代表计息期数 i代表利率 I代表所付或所收的总利息 F代表本利和 则有 I PniF P 1 ni 2 复利计息 将本期的利息转为下期的本金 下期将按本利和的总额计息 这种计息方式称为复利 计息 同样设P代表本金 n代表计息期数 i代表利率 I代表所付或所收的总利息 F代表本利和 则有 F P 1 i nI P 1 i n 1 我国银行目前名义上用的还是单利计算 只是通过存期的不同 规定不同的单利利率 我国当前居民银行存款利率 一年 2 25 二年 2 79 三年 3 33 五年 3 60 贷款利率 半年至一年 5 31 一至三年 5 40 三至五年 5 76 五年以上 5 94 符号定义 P 现值F 终值i 年利率n 计息期数A 年金 年值 Annuity计息期末等额发生的现金流量G 等差支付系列中的等差变量 三 利息公式 第一年年初 P第一年年末 P 1 i 第二年年末 P 1 i P 1 i i P 1 i 2 第n年年末 P 1 i n 三 利息公式 1 一次支付复利公式F P 1 i ni 利率 interestrate n 计息期数 number P 现在值 PresentValue worth F 将来值 FutureValue worth 1 i n 一次支付复利系数 single paymentcompoundamountfactor 有时记为 F P i n 则有F P F P i n 案例 在第一年年初 以年利率6 投资1000元 则到第四年年末可得本利和多少 2 一次支付现值公式 一次支付现值系数 案例 为了在第四年年末得到1262 50元 按年利率6 计算 现在必须投资多少 答 或 3 等额支付系列复利公式 等额支付系列复利系数 案例 连续5年每年年末借款1000元 按年利率6 计算 第5年年末累积借款多少 答 4 等额支付系列积累基金公式 等额支付系列积累基金系数 案例 如果要在第5年年末得到资金1000元 按年利率6 计算 从现在起连续5年每年必须存储多少 答 等额支付系列资金回收 恢复 公式 等额支付系列资金回收现金流量图 F A P i n 资金回收系数 capitalrecoveryfactor 而 于是 P A P i n 5 等额支付系列资金恢复公式 等额支付系列资金恢复系数 案例 如果现在以年利率5 投资1000元 在今后的8年中 每年年末以相等的数额提取回收本利和 则每年年末可以等额提取多少 6 等额支付系列现值公式 等额支付系列现值系数 案例 按年利率6 计算 为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润 假设不考虑残值的影响 现在应投资多少 答 7 均匀梯度系列公式 某工厂购进一台机器设备 每年都需要设备制造商提供一次有偿维护服务 该机器设备随着使用而日益老化 所需劳动力和备件将越来越多 所需维护费用也将逐步增加 该工厂可选择以下两种维护费支付方式 1 在使用n年以后再支付前n年的维护费 2 在购进机器时一次性支付n年维护费 已知第一年年末的维护费用为A1 当每年的维护费用以相同的金额G增加时 在考虑资金时间价值的情况下 这两种方式分别应支付多少维护费 7 均匀梯度系列公式 如果将上面现金流量图转化为等额支付系列 1 第一种支付方式 等额支付系列复利公式 F 2 第二种支付方式 等额支付系列现值公式 P 7 均匀梯度系列公式 7 均匀梯度系列公式 等额支付系列积累基金公式 等额支付系列资金恢复公式 等额支付系列复利公式 7 均匀梯度系列公式 等额支付系列复利系数 梯度系数 A G i n 案例 假定某人第一年末把1000元存入银行 以后9年每年递增存款200元 如果年利率为8 把这笔存款折算成10年的年末等额支付系列 相当于每年存入多少 答 案例 假定某人第一年末把5000元存入银行 以后5年每年递减600元 如果年利率为9 把这笔存款折算成6年的年末等额支付系列 相当于每年存入多少 答 等比梯度系列 8 运用利息公式应注意的问题 1 为了实施方案的初始投资 假定发生在方案的寿命期初 2 方案实施工程中的经常性支出 假定发生在计息期末 3 本年的年末即是下一年的年初 4 P是在当前年度开始时发生 5 F是在当前以后的第n年年末发生 6 A是在考察期间各年年末发生 当问题包括P和A时 系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生 当问题包括F和A时 系列的最后一个A是和F同时发生 7 均匀梯度系列中 第一个G发生在系列的第二年年末 四 名义利率和有效利率 当利率的时间单位与计息期不一致时 就出现了名义利率和有效利率的概念 有效利率 effectiveinterestrate 资金在计息期所发生的实际利率 年 名义利率 nominalinterestrate 当计息期短于一年时 每一计息期的有效利率乘上一年中计息期数所得到的年利率 例如 每半年计息一次 计息期的利率为3 3 为实际计息用的利率 即有效利率 3 2 6 为 年 名义利率 四 名义利率和有效利率 有效利率和名义利率的关系实际上是复利和单利的关系 例如 年利率12 每月计息一次 此时 12 为名义利率 年有效利率为 案例 如果实际的年有效利率为12 按每月计息一次 那么实际的月有效利率为多少 年名义利率为多少 解析 假设月实际利率为r 则有 1 r 12 1 12 从而可估算出月有效利率为0 95 年名义利率为 12 0 95 11 4 1 离散式复利 离散式复利 按期 年 季 月和日 计息的方法 例如 年利率为6 每半年计息一次 有效年利率是多少 年利率为6 每月计息一次 有效年利率又是多少 两者进行比较后可以得出什么结论 一年中计算复利的次数越频繁 则年有效利率比年名义利率越高 1 离散式复利 如果名义利率为r 一年中计算利息n次 每次计息的利率为r n 根据一次支付复利系数公式 年末本利和为 案例 假定某人把1000元进行投资 时间为10年 利息按年利率8 每季度计息一次计算 求10年末的将来值 解析 每年计息4次 10年的计息期为4 10 40次 每一计息期的有效利率为8 4 2 10年末的将来值 名义利率为8 每年的计息期n 4 年有效利率为 名义利率为6 计息期不同时的年有效利率比较 由小到大 频率增大 连续复利下的利息计算公式 二 等值的计算 同一利率下不同时间的货币等值 在某项经济活动中 如果两个方案的经济效果相同 就称这两个方案是等值的 例如 在年利率6 情况下 现在的300元等值于8年末的300 1 0 06 8 478 20元 这两个等值的现金流量如下图所示 一 等值的概念 即使金额相等 由于发生的时间不同 其价值并不一定相等 反之 不同时间上发生的金额不等 其货币的价值却可能相等 货币的等值包括三个因素 金额 金额发生的时间 利率 如果两个现金流量等值 则在任何时间其相应的值必定相等 货币等值是考虑了货币的时间价值 从利息表上查到 当n 9 1 750落在6 和7 之间 6 的表上查到1 6897 的表上查到1 839 从 用直线内插法可得 二 计息期为一年的等值计算 相同 有效利率 名义利率 直接计算 例 当利率为多大时 现在的300元等值于第9年年末的525元 解 F P F P i n 525 300 F P i 9 F P i 9 525 300 1 750 计算表明 当利率为6 41 时 现在的300元等值于第9年年末的525元 例 当利率为8 时 从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000等值 A F A F 8 6 10000 0 1363 1363元 年计算表明 当利率为8 时 从现在起连续6年1363元的年末等额支付与第6年年末的10000等值 解 例 当利率为10 时 从现在起连续5年的年末等额支付为600元 问与其等值的第0年的现值为多大 解 P A P A 10 5 2774 59元计算表明 当利率为10 时 从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274 50元是等值的 三 计息期短于一年的等值计算如计息期短于一年 仍可利用以上的利息公式进行计算 这种计算通常可以出现下列三种情况 1 计息期和支付期相同例 年利率为12 每半年计息一次 从现在起 连续3年 每半年为100元的等额支付 问与其等值的第0年的现值为多大 解 每计息期的利率 每半年一期 n 3年 每年2期 6期P A P A 6 6 100 4 9173 491 73元计算表明 按年利率12 每半年计息一次计算利息 从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491 73元的现值是等值的 例 求等值状况下的利率 假如有人目前借入2000元 在今后两年中分24次等额偿还 每次偿还99 80元 复利按月计算 试求月有效利率 名义利率和年有效利率 解 现在99 80 2000 A P i 24 A P i 24 99 80 2000 0 0499查表 上列数值相当于i 1 5 因为计息期是一个月 所以月有效利率为1 5 名义利率 r 每月1 5 12个月 18 年有效利率 2 计息期长于于支付期通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息 在计息期间存入的款项在该期不计算利息 计息期间的存款应放在期末 而计息期间的提款应放在期初 计息期间的存款应放在期末 而计息期间的提款应放在期初 每季度计息一次 年利率8 求年底帐户总额 例 二 计息期大于支付期的情况 解 按上述原则 现金流量图可改画为 例 求每半年向银行借1400元 连续借10年的等额支付系列的等值将来值 利息分别按 1 年利率为12 每年计息一次 2 年利率为12 每半年计息一次3 年利率12 每季度计息一次 这三种情况计息 0 1 2 10年 2800 2800 1400 1400 2800 解 1 计息期长于支付期 1400 2 计息期等于支付期 F 1400 F A 12 2 10 2 51500 元 3 计息期短于支付期 F 1400 A F 3 2 F A 3 4 10 52000 元 3 计息期短于支付期例 按年利率为12 每季度计息一次计算利息 从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元 问与其等值的第3年年末的借款金额为多大 解 其现金流量如下图 第一种方法 取一个循环周期 使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列 其现金流量见下图 将年度支付转化为计息期末支付 单位 元 A F A F 3 4 1000 0 2390 239元 239 F 季度 0123456789101112 经转变后计息期与支付期重合 单位 元 F A F A 3 12 239 14 192 3392元 第二种方法 把等额支付的每一个支付看作为一次支付 求出每个支付的将来值 然后把将来值加起来 这个和就是等额支付的实际结果 F 1000 F P 3 8 1000 F P 3 4 1000 3392元 F A F A 12 55 3 1000 3 3923 3392元 第三种方法 将名义利率转化为年有效利率 以一年为基础进行计算 年有效利率是 通过三种方法计算表明 按年利率12 每季度计息一次 从现在起连续三年的1000元等额年末借款与第三年年末的3392元等值 例4 假定现金流量是 第6年年末支付300元 第9 10 11 12年末各支付60元 第13年年末支付210元 第15 16 17年年末各获得80元 按年利率5 计息 与此等值的现金流量的现值P为多少 解 P 300 P F 5 6 60 P A 5 4 P F 5 8 210 P F 5 13 80 P A 5 3 P F 5 14 300 0 7162 60 3 5456 0 6768 210 0 5303 80 2 7232 0 5051 369 16也可用其他公式求得P 300 P F 5 6 60 F A 5 4 P F 5 12 210 P F 5 13 80 F A 5 3 P F 5 17 300 0 7462 60 4 3101 0 5568 210 0 5303 80 3 153 0 4363 369 16 例5 某项目第1 4年平均投资50万元 第4年建成投产 年净收益40万元 第5 10年生产达产后年均净收益70万元 第11 12年生产约有下降 年均净收益50万元 在年利率8 时 求终值 现值 第4年期末的等值资金 62 课堂练习 1 某工程投资100万元 第三年开始投产 需要流动资金300万元 投产后 每年销售收入抵销经营成本后为300万元 第5年追加投资500万元 当年见效且每年销售收入抵销经营成本后为750万元 该项目的经济寿命为10年 残值100万元 绘制该项目的现金流量图 63 课堂练习 2 贷款上大学 年利率5 每学年初贷款6000元 4年毕业 毕业1年后开始还款 6年内按年等额付清 每年应付多少 1 绘制该问题的现金流量图 2 写出计算式 课堂练习 3 某投资工程 第4年投产 生产期20年 预测投产后年均净收益180万元 若基准投资收益率为10 如果第1年投资400万元 第2年投资300万元 试求第3年尚需投资多少万元 1 绘制该问题的现金流量图 2 写出计算式 某新工程项目欲投资200