9[1].6__空间向量的坐标运算(2).ppt

成都七中授课人 曹杨可课件制作 曹杨可 9 6空间向量的坐标运算 2 空间直角坐标系 单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量互相垂直 且长度都为1 则这个基底叫做单位正交基底 通常用 i j k 表示 单位 三个基向量的长度都为1 正交 三个基向量互相垂直 空间直角坐标系 空间直角坐标系的建立 选取空间一点O和一个单位正交基底 i j k 以点O为原点 分别以i j k的方向为正方向建立三条坐标轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫做坐标轴 这时就建立了一个空间直角坐标系O xyz 点O叫做原点 向量i j k都叫做坐标向量 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称为xOy平面 yOz平面 zOx平面 注意 具体建立坐标系时 要注意点O的任意性 一般可以利用正方体 长方体中有公共顶点的三条棱 作图方法 一般使 或 符合斜二测画法 右手直角坐标系 右手拇指指向x轴正方向 食指指向y轴正方向 中指指向z轴正方向 单位正交基底 i j k 按右手系排列 a i j k 有序实数组叫做a在空间直角坐标系O xyz中的坐标 简记为a 空间中相等的向量其坐标是相同的 空间向量的坐标表示 给定一个空间直角坐标系和向量a 且设i j k为坐标向量 则由空间向量基本定理 存在唯一的有序实数组 使 空间任意一点A的坐标 在单位正交基底i j k中与向量对应的有序实数组 叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标 记做 其中x叫做点P的横坐标 y叫做点P的纵坐标 z叫做点A的竖坐标 空间任意一点P的坐标的确定方法 过P分别作三个坐标平面的平行平面 分别交坐标轴与A B C三点 x OA y OB z OC 当与i方向相同时x 0 反之x 0 同理可确定y z 向量的直角坐标运算 向量的直角坐标运算 设a b 则 a b a b a a b 证明方法 与平面向量一样 将a i j k和b i j k代入即可 2 两个向量共线或垂直的判定 设a b 则 a ba b a ba b 0 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法 设A B 则 即 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 新课讲授 夹角公式 我们怎样求这两个向量的模呢 设a b 则 这两个式子我们称为向量的长度公式 这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度 请大家动手试一试 如果把上述结果代入两个向量的数量积 会得出什么结果呢 a b a b cos a b cos a b 由此可以得出 cos a b 这个公式成为两个向量的夹角公式 利用这个公式 我们可以求出两个向量的夹角 并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系 当cos a b 1时 a与b同向 当cos a b 1时 a与b反向 当cos a b 0时 a b 利用向量的长度公式 我们还可以得出空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中 设A B 则 或 例1已知A 3 3 1 B 1 0 5 求 线段AB的中点坐标和长度 到A B两点距离相等的点P x y z 的坐标x y z满足的条件 解 设M x y z 是线段AB的中点 则 3 3 1 1 0 5 2 3 线段AB的中点坐标是 2 3 设P x y z 到A B两点距离相等 则 化简 得 即为到A B两点距离相等的点P x y z 的坐标x y z满足的条件 说明 注意掌握中点坐标公式 例1 中点P的轨迹是线段AB的垂直平分平面 在空间中 关于x y z的三元一次方程的图形是平面 解 如图 建立空间直角坐标系 例2 在长方体OABC O1A1B1C1中 OA 2 AB 3 AA1 2 E是BC中点 1 求直线AO1与B1E所成角的大小 2 作O1D AC于D 求点O1到点D的距离 1 由题意得 A 2 0 0 O1 0 0 2 B1 2 3 2 E 1 3 0 2 0 2 1 0 2 直线AO1与B1E所成角的大小为 例3 求证 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 已知 直线OA 平面 直线BD 平面 O B为垂足 求证 OA BD 证明 以点O为原点 以射线OA为非负z轴 建立空间直角坐标系O xyz i j k为沿x轴 y轴 z轴的坐标向量 且 BD x 0 y 0 OA BD 由已知O B为两个不同的点 说明 请注意此例建立空间直角坐标系的方法 这是今后解题时常用的方法 如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面 则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作a 如果a 那么向量a叫做平面 的法向量 例4 Rt ABC中 AC BC 1 BCA 90 现将 ABC沿着平面ABC的法向量平移到 A1B1C1位置 已知AA1 2 P Q分别是A1B1和A1A的中点 1 求BQ的长 2 求异面直线BA1与CB1的夹角 3 求证 AB1 C1P 解 1 如图 以C点为原点建立直角坐标系 则 C 0 0 0 A 1 0 0 B 0 1 0 C1 0 0 2 Q 1 0 1 B1 0 1 2 A1 1 0 2 1 1 1 0 1 2 2 故异面直线BA1与CB1所成角的大小为 3 即AB1 C1P 练习 课堂练习 课本P42练习 课时小结 对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角 距离 垂直 平行的问题 都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角 模 垂直 平行的问题 从而利用向量的坐标运算求解 并可以使解法简单化 值得注意的是 坐标系的选取要合理 适当 课后作业 课本P42习题9 6 二教材读书P37 39 完成分级训练 课堂练习 课本P42练习 3 已知A 1 2 11 B 4 2 3 C 6 1 4 求证 ABC是直角三角形 证明 ABC是直角三角形 3 已知A 1 2 11 B 4 2 3 C 6 1 4 求证 ABC是直角三角形 另证 6 1 4 1 2 11 5 1 7 6 1 4 4 2 3 2 3 1 ABC是直角三