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中考数学专题1 动态几何问题第一部分 真题精讲【例1】如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形， （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 解得【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论： 当时，如图作交于，则有即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质），解得 当时，如图，过作于H则， 当时， 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形【例2】在ABC中，ACB=45点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：（1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90即 CFBD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CFBD(1)中结论成立 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证AQDDCP， ， ， 点D在线段BC延长线上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G，则 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式；ADCBPMQ60（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：是等边三角形是中点 梯形是等腰梯形（2）解：在等边中， (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解： 为直角三角形当取最小值时，是的中点，而以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1） （2）（1）中结论没有发生变化，即证明：连接，过点作于，与的延长线交于点在与中， 在与中， 在矩形中， 在与中， 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。（3）（1）中的结论仍然成立 【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B 处（1）当=1 时，CF=_cm，（2）当=2 时，求sinDAB 的值；CADB（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2） 如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M，图1 ABCF， ABEFCE， =2， CF=3 ABCF，BAE=F又BAE=B AE， B AE=F MA=MF设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM=（设元求解是这类题型中比较重要的方法）图2 sinDAB=； 如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B E于点N，同可得NA=NE设NA=NE=m，则B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）当点E在BC上时，y=； （所求A B E的面积即为ABE的面积，再由相似表示出边长）当点E在BC延长线上时，y= 【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分 发散思考【思考1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且（1）求证：；（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考2】 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若PBC180，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），BPD= ；（2）当BP在ABC的内部时（如图2），求BPD的度数；（3）当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形 【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN（1）当BO=AD时，求BP的长；（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；ABCDOPMNABCD（备用图）（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作C，请直接写出当C存在时，O与C的位置关系，以及相应的C半径CN的取值范围。【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考4】在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。第三部分 思考题解析【思考1解析】（1）证明： ， 又 ， 第25题 （2）证明：如图，过点作，交于点， 是的中点，容易证明 在中， ， （3）解：的周长， 设，则 ， 即 由（1）知， 的周长的周长 的周长与值无关 【思考2答案】解：（1）BPD= 30 ； （2）如图8，连结CD 解一： 点D在PBC的平分线上， 1=2 ABC是等边三角形，图8 BA=BC=AC，ACB= 60 BP=BA， BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD BPD =30 解二： ABC是等边三角形， BA =BC=AC DB=DA， CD垂直平分AB BP=BA， BP=BC 点D在PBC的平分线上， PBD与CBD关于BD所在直线对称 BPD=3 BPD =30 （3）BPD= 30或 150 图形见图9、图10 图9图10【思考3解析】解：（1）过点A作AEBC,在RtABE中，由AB=5，cosB=得BE=3 CDBC，AD/BC，BC=6，AD=EC=BCBE=3 当BO=AD=3时， 在O中，过点O作OHAB,则BH=HP ,BH= BP= （2）不存在BP=MN的情况- 假设BP=MN成立，BP和MN为O的弦，则必有BOP=DOC. 过P作PQBC，过点O作OHAB,CDBC，则有PQODOC- 设BO=x，则PO=x,由，得BH=, BP=2BH=. BQ=BPcosB=，PQ=OQ=PQODOC，即，得 当时，BP=5=AB，与点P应在边AB上不符，不存在BP=MN的情况. （3）情况一：O与C相外切，此时，0CN6；-7分 情况二：O与C相内切，此时，0CN.-8分ABCDOPMNQH 【思考4解析】解：（1）直线与直线的位置关系为互相垂直证明：如图1，设直线与直线的交点为线段分别绕点逆时针旋转90依次得到线段，FDCBAE图1G2G1P1HP2，按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直（2）四边形是平行四边形，可得由（1）可得四边形为正方形DG1P1HCBAEF图2如图2，当点在线段的延长线上时，FG1P1CABEDH图3如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，当点与点重合时，即时，不存在综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或中考数学专题2 多种函数交叉综合问题 【例1】将直线沿轴向下平移后，得到的直线与轴交于点，与双曲线交于点求直线的解析式；若点的纵标为，求的值（用含有的式子表示）【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行.【解析】将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A（），设直线AB的解析式为 则解得 直线AB的解析式为 图3（2）设点的坐标为，直线经过点， 点的坐标为， 点在双曲线上， 【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，【思路分析】第一问直接看图写出A，B点的坐标（-6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。【解析】解：（1）由图象知反比例函数的图象经过点B(4，3)，m=12 - 反比例函数解析式为 由图象知一次函数的图象经过点A(6，2) ， B(4，3)， 解得 - 一次函数解析式为 （2）当0x4或x6时， 【例3】已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.【解析】解：（1）将分别代入中，得，反比例函数的表达式为：； 正比例函数的表达式为 （2）观察图象得，在第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值 （3） 理由：， ，即，（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）【例4】已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数（1）求的值；（2）求的值；（3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k的范围，加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定mn,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B表示出来，然后利用构建方程即可。【解析】（1） 为非负整数， 为一元二次方程 (2)把代入方程得, 解得 把代入与可得 (3)把代入与可得，由，可得解得，经检验为方程的根。【例5】已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为（1）求与的值；（2）设一次函数的图像与轴交于点，连接，求的度数【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而BAO=ABO,然后求出BAO即可。解：（1）点在双曲线上， 又在直线上， . （2）过点A作AMx轴于点M. 直线与轴交于点， . 解得 . 点的坐标为. . 点的坐标为， .在Rt中，,.- 由勾股定理，得 .-【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。第二部分 发散思考【思考1】如图，A、B两点在函数的图象上.（1）求的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1-6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。【思考2】xyABODC如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线分别交轴、轴于两点（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的值【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。【思考3】已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k3)x+k3 = 0有两个不相等实数根（k1)盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是。 n=2 n=3 n=4S=3 S=6 S=9分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S=3n3。解：S=3n3。三、拓宽应用例6、如下表：方程1，方程2，方程3，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：序号方程方程的解123若方程的解是，求a，b的值，该方程是不是中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。分析：通过解方程不难求出：x1=3,x2=4，将，代入方程易求a=12,b=5。本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。解：（1）解方程得，x1=3,x2=4； （2）将，代入方程，易求得a=12,b=5； （3）第n个方程是：，它的解是：。例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直放行上的边长均为b）：在图1中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）在图2中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）（图1） （图2） （图3）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：=；=；=联想与探索：如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a1,b，这样面积就不难求了。解：（1）（2）=ab-b；=ab-b；=abb;(3) 空白部分表示的草地面积是abb。（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a1,b）例8、阅读下列材料，按要求解答问题。观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：A=2B。我们由此出发来进行思考。在图a中，作斜边上的高CD，由于B=30，可知c=2b，ACD=30，于是AD=，BD=，由CDBACB，可知，即，同理，于是。 图a 图b 图c对于图b由勾股定理有，由于b=c，故也有，这两块三角尺都具有性质，在ABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测：如图c，在ABC中，若CAB=2ABC，则，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（ ） 分类的思想方法；转化的思想方法；由特殊到一般的思想方法；数形结合的思想方法。这个猜测是否正确？请证明。分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。故选；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。解：（1）； （2）猜测是正确的。证明：延长BA到D，使AD=AC=b，连结CD，则ACD=ADC，BAC=ACD+ADC，BAC=2ADCCBAC=2ABC ABC=ADC，且BC=CD=a，ACDCBDDABaabbc想一想：还有其他证明方法吗？四、巩固训练1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数： 2、观察下列图形并填表。 1 1 1 2梯形的个数123456n周长5811143、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子来表示。 n=2 S=4 n=3 S=8 n=4 S=12 n=5 S=164、判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“”，不成立的打“”（ ） （ ） （ ） （ ）你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：。请用数学知识说明你所写的式子的正确性。5、已知AC、AB是O的弦，ABAC。（1）如图9，能否在AB上确定一个点E，使AC=AEAB，为什么？（2）如图10，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB。如果PB=PE，试判断PB和O的位置关系并说明理由。（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题） A A D C C E O O P B B 图9 图10本题三个小题全是结论探索题。参考答案1、， 2、17，20，2+3n 3、4n-4 4、（1），（2）5、（1）能，连结BC，作ACE=B。（证明略） （2）PB是O的切线（证明略）（3）是。（提示：利用切割线定理和PE=PB、PD=2PE）。专题4几何探索题巡视探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。一、实验型探索题 例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在ABC中，ABAC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。图1 问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？ 探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？ 如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。图2 （1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。图3 （2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。 （3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？图4 （4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）图5 分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。 解：（1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。 （2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。 理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等