【数学分析课件@北师大】06收敛判别法.pdf

2012 8 101 级数 收敛判别法 2012 8 102 内容提要 常数项级数复习和判敛法 函数项级数和一致收敛 求和号下取极限 幂级数与Taylor展开 三角级数与Fourier展开 Weierstrass定理 2012 8 103 常数项级数定义复习 级数定义 对于数列 称 为级数 无穷和 称为级数为前n项和 或第n个部分和 简称部分和 称为级数 的部分和序列 数列中的项也称为级数的项 1n n a n n n aaaa 21 1 n k kn as 1 1n n a 1n n s 1n n a 2012 8 104 常数项级数收敛复习 级数收敛 如果部分和序列收敛就说 级数收敛 并且定义部分和序列的 极限为级数的和 记为 1n n s 1n n a 1n n a 1n n s S n n k n k n n n saa limlim 11 2012 8 105 常数项级数发散复习 级数发散 如果部分和序列发散就说 级数发散 特别当部分和序列发散向 或 记为 或 1n n s 1n n a 1n n a 1n n a 2012 8 106 收敛级数的线性性质 若级数和收敛 则级数 收敛 且 1n n a 1n n b R 1 n nn ba 111 n n n n n nn baba 2012 8 107 级数的敛散性与级数的 前有限项无关 设N是一个给定的正整数 则级数的 敛散性 即收敛与否 与级数的敛散性 相同 证明 习题 1n n a Nn n a 2012 8 108 常数项级数的分类 按级数各项的符号分为正项级数 如 果级数的每一项都非负 和变号级数 如果有的项为正 也有的项为负 对收敛级数按其绝对值级数是 否收敛分为绝对收敛级数和条件收敛 级数 1n n a 2012 8 109 常数项级数的收敛准则 Cauchy准则 级数收敛的充分必要条 件是 0 N m n N 推论 如果绝对值级数收敛 则级数 收敛 1n n a a m nk k 1 因此 1n n a0lim n n a n n ss lim1 nnn ssa 0limlimlimlim 11 ssssssa n n n n nn n n n 2012 8 1012 例题二 下列级数发散 111 1 3 cos 2 1 1 nn n n n n n n n 2012 8 1013 正项级数的收敛原理 正项级数收敛的充要条件是其部分 和数列有上界 证明证明 此时部分和数列单调递增的 由单调数列收敛定理就得到结论 2012 8 1014 正项级数的比较原理 设和是两个正项级数 且存在N 当n N时 则下列两个结论成立 若收敛 则收敛 若发散 则发散 证明 练习 1n n a 1n n b nn ba 1n n b 1n n b 1n n a 1n n a 2012 8 1015 比较原理的极限形式 设和是两个正项级数 存在N 当n N时 如果 则下列结论 成立 1 若 收敛 则收敛 2 若 发散 则发散 0 n a l a b n n n lim 1n n a 1n n b 0 l 1n n b 1n n b 1n n a 1n n a 0 l 2012 8 1016 例题三 讨论下列级数的敛散性 11 11 2 1 2 1 5 1 cos1 4 13 1 3 43 1 2 sin 1 nn nnn nn n nnnn n 2012 8 1017 正项级数积分判敛法 设级数满足 其中 是 1 上单调下降的正函数 则级数的 敛散性 即收敛与否 与积分的敛散性相 同 证明 习题 1n n a 1nfan n 1n n a 1 f 2012 8 1018 例题四 讨论下列级数的敛散性 211 3 ln 1 2 1 1 nn n p n p r nnn 2012 8 1019 两类标准级数 几何级数 当 r 1时 收敛 p 1时 发散 证明 积分判敛法 1 1 n n r 1 1 n p n 2012 8 1020 级数的例子 Euler常数 不是级数收敛的充分条件 例子 调和级数 n k n n n knn 11 1ln 1 lim 1 1ln 1 0lim n n a 1n n a 1 1 n n 2012 8 1021 参照几何级数的判敛法 d Alambert 达兰贝尔 判敛法 Cauchy 柯西 判敛法 2012 8 1022 d Alambert 达兰贝尔 判敛法 设级数的各项为正 如果极限 则 q1时 级数发散 q 1 时需用其他方法 1n n a q a a n n n 1 lim 2012 8 1023 Cauchy 柯西 判敛法 对于任意级数 如果上极限 则 q1时 级数发散 q 1 时需用其他方法 1n n a qa n n n suplim 2012 8 1024 例题五 判断下列级数的敛散性 1 ln 2 ln 11 1 1 4 1 5 ln 1 4 0 x 1 3 12 2 1 n n n n nn n k k n n n n x x n n n n 2012 8 1025 正项级数第二比较原理 设和是两个正项级数 且存在N 当n N时 则下列两个结论成立 若收敛 则收敛 若发散 则发散 证明 练习 1n n a 1n n b n n n n b b a a 11 1n n b 1n n b 1n n a 1n n a 2012 8 1026 参照p级数的判敛法 Raabe 拉贝 1801 1859 瑞士 判敛法 设级数的各项为正 如果极限 q 1时 级数收敛 q1时 为简单起见 设 即 注意到 因此 r a a nnr n n 211 1 0 1 n r a a n n n 21 1 1 1 r nn r NnN 1 1 1 21 1 r r n n n n a a NnN 1 1 1 1 2012 8 1028 拉贝判敛法证明 续 q n n n n nn n e e n n x nxx n nn n 2012 8 1030 变号级数的判敛法 Dirichlet判敛法 Leibniz判敛法 Abel判敛法 2012 8 1031 Dirichlet判敛法 设数列单调递减到零 级数的 部分和序列一致有界 则级数收敛 并 且 1n n a 1n n b 1n nnb a 11 1 1 n n k knn n nn baaba 2012 8 1032 Dirichlet判敛法的证明 注意等式 右端的级数收敛 考虑左端级 数的部分和 令n趋于无穷 就得到等式 n j jn n k k j jkk n k kk babaaba 1 1 11 1 1 2012 8 1033 Leibniz判敛法 设数列严格单调递减到零 则级数 收敛 证明 取 然后应用Dirichlet判 敛法 1n n a 1 1 n n n a n n b 1 2012 8 1034 Abel判敛法 设数列单调递减地收敛到A 级数 收敛 则级数收敛 并且 证明 由Dirichlet判敛法 右端第一个级 数收敛 余下利用级数的线性性质 1n n a 1n n b 1n nnb a 111 n n n nn n nn bAbAaba 2012 8 1035 例题七 判断下列级数的敛散