【数学分析课件@北师大】04多重积分的变量替换.pdf

1 积分学 多重积分的变 量替换 2 讨论的缘由 单积分或一重积分的变量替换 也 叫换元 的根据是微积分基本定理 其在计算和证明中的作用是巨大的 在证明了Fubini定理之后 它在重 积分的讨论中也获得应用 但这还 是不够的 多重积分的一般变量替换是一个十 分重要 有趣题目 3 基本思路 什么样的Rn到自身的变换是保集合 的可测性的 基本例子 正则变换 正则变换如何改变可测集的测度 线性变换 讨论特征函数 正则变换 讨论特征函数 非负可测函数和有积分函数的积分 变换公式 4 复习Rn上正则变换 定义 设 Rn是非空开集 T Rn满足 下列条件 T在 上是单射 T在 上有一阶连续导数 即是C1的 DT T 在 上处处可逆 即J T det T 恒不为零 则称T为 上的正则变换 结论 T 开集 T 1 T 也是正则 变换 且 1 1 xTxTTx 5 记号复习 导数矩阵 导数矩阵 也叫Jacobi矩阵 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 x x T x x T x x T x x T x x T x x T x x T x x T x x T xTxDT n nnn n n 6 记号复习 差分的表示 设x B x r r 0 y B x r T Rn 在x点可微 则 其中T y T x y和x都是n维列向量 y x 是 n维欧氏范数 也叫长度或距离 xyxyoxyxTxTyT n i ii xyxy 1 2 7 记号复习 差分矩阵表示 上页的式子的矩阵形式 11 1 1 1 1 11 xyxyo xy xy nnn nn n nn x T x T x T x T xTyT xTyT 8 记号复习 线性变换 设L Rn Rn为线性变换 在取定基 通常取标 准基 后 L可等同为一个n阶方阵 也记为L 线性变换是可微变换 如果还是非奇异 也叫 非退化的 就是正则变换 L x Lx L x L J L det L 线性变换的范数 L max Lx x 1 导数的范数 T E sup T x x E 9 正则变换是可测变换 可测变换 把可测集映射成可测集的变换叫 做可测变换 正则变换是可测变换 由正则变换把开集映 射成开集 再由正则变换是单射 因此在正 则变换下 交的像等于像的交 由任一个可 测集包含在可数多个开集的交中 并且两者 的差的测度为零 因此只要能证明零测集的 像还是零测集就行了 步骤 1 在一个闭方块中的零测集的像是 零测集 2 一般的零测集的像是零测集 10 闭方块中零测集的像 设 Rn中的开集 T为 上的C1变换 闭方块 Q E Q为零测集 即 E 0 则 T E 0 证明 只要证明 0 T E 0 由 E 0 存在可数多开方块Ck k 1 2 y x yTxTQyx 1 11 n k k k k n CCE 11 闭方块中零测集的像 续 不妨设 否则用CK Q替代CK 取为 Ck的中心 记Ck的边长为 我们有 因此 所以 QCk k k Ca 2 k kk k ln axaTxTCx k l k n n k n k n k ln k CnlnaTQ aTQCT k 0 L aI 位似变换 也叫伸缩变换 则 L E an E 19 线性变换积分公式 设L是Rn的可逆线性变换 E Rn可测 是 L E 上的可积函数 则下列公式成立 证明 考虑E Rn的情形就可以了 只要证明 对简单函数结论成立就行了 而这正是测度公 式所说的 惟一要注意的就是 EEEL LfLdxLLxff det det EEL Lff 20 正则变换的测度不等式 E为闭方块Q 成立 证明关键 E为开集 G 任意可测集E 闭方块Q情形的证明 记h为Q的边长 证明 的想法是对T用其导数 线性变换 局部 近似 具 体方法是等分Q和利用导数的连续性以及线性 变换时的结果 E TJET 21 闭方块测度不等式 通过把Q的各边m等分将等分Q为N mn个不 重叠的小方块 Qk 记Qk的中心为xk Lk T xk k 1 N 由可微性 由微分中值定理 得到不等式 记 x xxLxTxTQx k k k k k kkkk kk xxxTxx xT x Qx supyxQ x y y T x T 22 闭方块测度不等式 续1 由T 在Q上连续 0 0 下面估计 注意 其中 记 1 kk QTL m nh m nh M x LQx kkk 2 1 T Q 1 TM m nh M n m 23 闭方块测度不等式 续2 由关系式 可知包含在以为心 以 为边长的方块中 也就是 在注意到 111 x LxxxTLxTLQx kkkkkkk 1 kk QTL 1k k xTL m h m 1 k n mkk Q QTL 1 1 J 11 kk k kkkk QTLxTQTLLQT k k xTLJdet 24 闭方块测度不等式 续3 因此 令m 就得到 dxxTJxTJ dxxTJ QxTJ QT k Q k N k n m Q n m N k k k n m 1 1 1 1 1 dxxTJQT Q 25 开集的测度不等式 对于开集G 成立测度不等式 证明 取可数多个不重叠的闭方块QK G 满 足 因此 dxxTJGT G 1k k QG dxxTJ dxxTJQGT G Q kk k k 11 26 有界可测集的测度不等式 对于有界可测集E 成立测度不等式 证明 由E可测 取单调递减有界开集列Gk和 零测集Z满足 由此得到 由控制收敛定理 k 就得到不等式 dxxTJET E ZGE k k 1 dxxTJ dxxTJGTET k k G G G k 1 27 可测集的测度不等式 对于可测集E 成立测度不等式 证明 取两两不相交有界可测集列Ek满足 则 dxxTJET E 1k k EE dxxTJ dxxTJETET E E kk k k 11 28 非负可测函数的积分不等式 设 是T 上的非负可测函数 则 证明 上述不等式对非负简单函数成立 然 后利用Levi单调收敛定理就可以了 TJTff T 29 非负可测函数的积分公式 设 是T 上的非负可测函数 则 证明 由积分不等式 只要证明相反的不等式 成立就行了 在 上非负可测 是V T 上的正则变换 由积分不等式 TJTff T TJTfh 1 T 111 T fTJTTJTTf TJ