【数学分析课件@北师大】10三角级数.pdf

1 级数 三角级数与 Fourier展开 2 三角级数的意义和定义 欧氏空间的 极限 形式 Hilbert空 间 级数理论的初始问题之一 具有广泛的应用 3 三角级数 定义 形式为 的函数项级数 2 周期函数 其第n个部分和 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a n k kkn kxbkxa a xSn a xS 1 00 0 sincos 2 1 2 4 三角函数系 三角函数的正交性 T 2 1 sin cos 2 1 kkxkxT 0 5 三角级数的收敛性 三角级数的收敛性概念 点态收敛 点点收敛 几乎点点收敛 一致收敛 依范数收敛或平均收敛 L收敛 依L 范数收敛 L p 收敛 依L p 范数收敛 6 Fourier级数 设 L 称 为 的Fourier系数 称 为 的Fourier级数 1 sin 1 1 0 cos 1 nxdxxffb nnxdxxffa n n 1 0 sin cos 2 n nn nxfbnxfa fa 7 一致收敛性与Fourier级数 若三角级数 在 上一致收敛到 则它是 的Fourier级数 证明 利用三角函数系T的正交性和逐项积分 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 8 Riemann Lebesgue引理 设 L 那么 证明 若 在 上有一阶连续导数 则 一般情况 利用光滑函数在L 中对 的逼近就可 以了 0 sin lim cos lim dxxxfdxxxf 0sin 1 sin cos xdxxf xxf xdxxf 9 Bessel不等式 设 L 那么 证明 若左边的积分为无穷大 则这个不等 式成立 下面设积分有限 利用恒等式 然后在两边在 上积分除以 就行了 1 22 2 0 2 2 1 n nn fbfa fa dxxf 22 2 2 fSfSfffSf nnn 10 Fourier部分和 设 L 其第n个Fourier部分和 其中 dttxDtf dttxktfxfS n n k n 1 cos 2 1 1 1 t tn kttD n k n 2 1 sin2 2 1 sin cos 2 1 1 11 Fourier部分和 续 我们总可以假设 是2 周期函数 由此可以 把 的第n个Fourier部分和写成 记2 周期函数可积函数的全体为L2 卷积 设 g是2 周期函数 dttDtxfxfS nn 1 dttgtxfxgf 1 12 Fourier级数的局部化原理 设 L2 0 x0 R 若 在I x0 为零 则 证明 令 0 lim 0 xfSn n 0 2 sin2 0 t t t txf tg 13 局部化原理证明 续 易见g L2 由Riemann Lebesgue引理 0 2 1 sin 1 0 ntdtntgxfSn 14 点收敛的Dini判别法 设 L2 R 若作为t的函数 则 证明 由下式和Riemann Lebesgue引理 0 2 00 L t txftxf lim 0 xfSn n tdtn t txftxf xfSn 2 1 sin 2 sin2 2 0 00 0 15 Dini判别法常用的一个推论 设 L2 分段光滑 即 在 上除去有限 多个点外处处有连续导数并且在导数不存在 的点左右极限都存在且有限 则其Fourier级 数点点收敛 也就是 2 sin cos 2 1 0 xfxf nxfbnxfa fa n nn 16 Fourier级数例1 考虑函数 x x 2 x 0 2 有 有前面的推论 1 1 1 0 0 n n fbnfa nn 1 sin 2 2 0 n n nxx x 17 Fourier级数例1 续 下面是 和S5 的图像 18 Fourier级数例2 考虑函数 x cos x x 偶函数 n n sin n n sin1 n cosn cos 1 cos cos 2 0 sin2 1 0 0 0 0 dxxx nxdxx fan fanfb n n 19 Fourier级数例2 续1 注意 x cos x x 处处连续且除了 在x 2k 1 处左右导数可能不等外 在其他点 都连续可导 因此 特别令x 0就得到 1 22 cos2 1 1sin n n n nx xfRx 1 22 2 1 1 sin n n n 20 Fourier级数例2 续2 由此得到 函数的余元公式 下面来证明 sin 11 1 0 1 22 2 1 1 1 1 0 n n n 21 Fourier级数例2 续3 在 函数的积分表达式中做代换t u 1 u 在第二个积分中做变量替换u 1 t 就得到 1 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 1 111 1 1 1 1 1 1 du u u du u u du u u u du uu u dttt 1 0 1 0 1 11 1 du u u du u u 22 Fourier级数例2 续4 注意 所以 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n nn n n n nn n duudu u u n duudu u u 1 11 1 1 1 n n nn 23 Fourier级数一致收敛的定理 记C2 为连续2 周期函数的集合 设 C2 则 的Fourier级数绝对收敛 且 一致收敛到 证明 由 连续可导 的Fourier级数点点收 敛到 再由 1 1 0fa n fbfb n fan nnnn 24 一致收敛的定理 续 因此 这就给出了结论 2 2 2 2 1 1 0 fa n fb fb n fan nn nn 25 Fej r和 设 L2 Sk 为 的Fourier部分和称 为 的Fourier级数的第n个Fej r 1880 1959 匈牙利 和 我们有 1 1 0 xfS n xf k n k n 1 1 0 xD n fxf k n k n 26 Fej r核 计算 由 所以 2 sin2 2 1 sin 1 1 1 1 00 t tk n tD n tF n k k n k n t n tn tkkttkt n k n k 2 1 sin2 1cos 1 1cos cos 2 1 sin 2 1 sin2 2 00 2 2 sin 2 1 sin 1 2 1 t t n n tFn 27 Fej r定理 设 C2 为 的连续模函数 则当 n 10时 证明 取定x 记h t x t x t 2 x 有 n n fxfxfRx n ln 4 dttFthxfxf n n n n n n 1 ln ln 0 28 Fej r定理证明 续1 第一个积分的估计 注意 1 2 0 dttFn n n dttF n n dttFthdttFth n n n n n n n ln ln2 1 1 0 ln 0 ln 0 29 Fej r定理证明 续2 为了估计第二个积分 注意连续模函数的不 减性质和三角不等式 所以 对于 0 srsrsr n n n nt n n n nt n n n nt t n n n nt t n n t ln ln 2ln 1 ln ln ln ln ln ln 30 Fej r定理证明 续3 第二个积分的估计 2 ln 2 2 ln ln ln 2 2 1 2 1 ln 2ln2 2 sin 1 2 2 1 sin ln 2ln2 1 1 t n n nt n n dt t n t n n nt n n dttFthdttFth n n n n n n n n n n 31 Fej r定理证明 续4 因此 n n n n nn nn n n nn nnn dt tn n nn n dttFth n n n n n ln 3 ln ln1 lnln2 ln ln1 lnlnlnln2 1ln ln1