【数学分析课件@北师大】14曲面积分.pdf

1 曲线和曲面上的积分 曲面积分 2 曲面积分 2 第一型曲面积分定义 设 a b Rk a b Rn n k 1 正则 S a b h S R 如果h L a b 就说 h L S 并且定义 称其为h在S上的第一型曲面积分 面积元 det ba T S dttftftfgh dttftfd T det 3 第一型曲面积分与质量 设S是一个物质面 假设它的厚度与其广度 相比小得可以不计 也就是把它看成是一个 正则曲面 假设它的密度函数 x 是S上的连 续函数 那么这块物质面的总质量M是 x 在S上的第一型曲面积分 S dxM 4 用微元法推导公式 微元法 分块 近似 求和 取极限 分块 将曲面S分成m块S1 Sm 记 Sk为Sk的体 积 k 1 m 近似 取xk Sk 用 xk Sk近似Sk上的质量 在使用 中也简写成 xk d 求和 把各段的近似加起来 xk Sk 取极限 令最大块的直径趋于零 其极限定义为总 质量 5 第一型曲面积分例1 设S为R3中的抛物面型物体 其密度函数为 x y z z 计算其质量 解 S的面积元为 2 2 1 2222 yxyxyx dxdyyxyxzdM yx S 22 2 22 1 2 1 22 dxdyyxd 1 22 6 第一型曲面积分例1 续 利用极坐标变换 361 15 2 1 2 1 23 2 0 2 0 drdrrzdM S 7 n 1维球面的面积 Rn中的半径为r的球面的参数表示 其中 1 2 n 1 0 0 0 2 1 211 213 1212 1211 cos cos sin cos sin sinsin sin cossin sin rx rx rx rx rx n n n nn nn 1 n r S 8 n 1维球面的面积 续1 其面积元为 因此的面积为 11 2 1 1 1 sin n n k kn k n ddrd 1 n r S 1 2 2 2 1 1 n n S r n d n 9 微元法推导曲面质心 设S是一个物质曲面 其密度函数 x 计算其 质心P 解 与曲线棒的情形类似 分块 近似 xk xk d xk d 近似质心 xk xk d xk d 取极限得到质心公式 SS dxdxxP 10 第二型曲面积分 第二型线积分的定义 第二型线积分与流量 通量 11 几点说明 第二型曲面积分是在可定向 也就是双侧曲 面上定义的 要定义一般超曲面上的第二型曲面积分 需 要引入其他工具 张量和微分形式 这里仅 讨论n 1维双侧曲面上第二型曲面积分 此时 只需要用到向量的概念 一个n 1维正则曲面是双侧的充分必要条件 是在其上面存在一个连续的单位法向量场 12 中的单侧曲面例子 M bius带 下面是M bius带的一个例子 3 R 2 cos sin 2 sin2 cos 2 sin2 v u v v u v v u vuf z y x 2 0 1 1 vu 13 M bius带 续1 14 M bius带 续2 计算偏导数 2 sin 2 1 2 cos cos 2 sin2sin 2 cos 2 1 sin 2 sin sin 2 sin2cos 2 cos 2 1 cos 2 sin v u v v v uv v uv v v v uv v uv v vuf 15 M bius带 续3 法向量 2 sin 2 sin2 sin 2 cos2sincos 2 cos2 2 cossin 2 cos 2 2 v u v v v vv u v v vu v vuN 16 M bius带 续4 考察在 0 v 上的方向量场N 0 v 当v变到v 2 时 曲面上的点回到原处 二法向 量方向翻转 这表明M bius带是单侧曲面 2 sin2 sin 2 cos2 2 coscos2 0 0 sin2 cos2 0 v v v v v vNv v vf 17 第二型曲面积分的定义 设S Rn n 1 为n 1维双侧正则曲面 a b Rn 是其一个正则表示 N为S上的连续单位法向量场 F 为S上的一个向量场 如果F L S 就将其积分定 义为向量场F关于S的N侧的第二型曲面积分 记为 第二型曲面积分可以自然地推广到分片光滑曲面 称 F d F1dx2 dxn Fndx1 dxn 1为 n 1 微分形式 上述积分也叫 n 1 微分形式 沿曲面S 的积分 注意 第二型曲面积分与S的侧或方向有关 也就是与 单位法向量场的选择有关 N ba S dtfNtfFdF 18 第二型曲面积分的计算 设S Rn为n 1维正则曲面 a b Rn是其 正则表示 由 t 自然给出S的一个非零连续法 向量场 它可以以行列式的形式写成 11 2 1 1 11 2 1 1 21 n n nn n n t f t f t f t f t f t f eee tN 19 第二型线积分的计算 续 因此 当所选的S方向与上面的N一致时 dt t f t f t f t f t f t f fFfFfF NdF ba n n nn n n S 11 2 1 1 11 2 1 1 21 20 外微分记号 我们也用下面的记号 对n 3的情形 1113221 N nnnn S S dxdxFdxdxdxFxddxFdF RdxdyQdzdxPdydzdF S S N 21 第二型曲面积分例1 设S为Rn中的球面 x r 向量场F x x 计算 F关于S外侧的第二型曲面积分 解 S的单位外法向量场N x r 这就有 因此 n n SS r n rdNdF 2 2 2 r r xx xNxF 22 第二型曲面积分例2 N1 1 3 1 1 1 N2 1 0 0 N3 0 1 0 N4 0 0 1 23 第二型曲面积分例2 续1 计算 其中S为四面 体 x y z 1 x 0 y 0 z 0表面的外侧 解 向量场 F x 1 y 1 对S四个面分别考虑 S1 z 1 x y 0 x y 1 x 0 y 0 N 1 1 1 3 4 2 1 0 1 0 1 x S dydxyxNdF S dxdyydzdxdydzx 1 24 第二型曲面积分例2 续2 S2 x 0 0 y z 1 y 0 z 0 N 1 0 0 S3 y 0 0 x z 1 x 0 z 0 N 0 1 0 2 1 1 1 0 1 0 2 y S dzdyNdF 00 1 0 1 0 2 x S dzdxNdF 25 第二型曲面积分例2 续3 S4 z 0 0 x y 1 x 0 y 0 N 0 0 1 所以 2 1 1 1 0 1 0 4 y S dxdyNdF 3 1 1 3 4 1 S dxdyydzdxdydzx 26 第二型曲面积分与流量 下面用微元法导出流量场F穿过曲面S 关于 其法向 瞬时 总流量的第二型曲面积分表达 式 设S是Rn中的一个光滑曲面 F是 Rn中的一 个流量场 N是S的一个连续单位法向量场 计算F流过曲面S 关于N侧的总流量 分块 将曲面S分成m片S1 Sm 记 Sk为Sk的 面积 k 1 m 27 第二型曲面积分与流量 续 近似 取xk Sk 用F xk N xk Sk近似S