清华大学微积分课件——极值与凸性.pdf

1 2011 10 191 第十讲 极值与凸性 一 极值与最值 二 函数的凸性 三 曲线的渐近线 四 函数作图 2011 10 192 00 0 取得极值在则两侧异号在且导数 的某邻域内有一阶在点设函数 取得极值在则两侧异号在且导数 的某邻域内有一阶在点设函数 xfxf xf 一 极值的第一充分条件 定理 一 极值的第一充分条件 定理1 0 0 0 1 000 00 极小值 取得在则内而在 内使在若 极小值 取得在则内而在 内使在若 xfxfxx xfxx 0 0 0 2 000 00 极大值 取得在则内而在 内使在若 极大值 取得在则内而在 内使在若 xfxfxx xfxx 一 极值与最值一 极值与最值 2011 10 193 证证 1 0 0 00 xfxx内使在若内使在若 00 xfxx内在内在 000 xfxfxxx 0 0 00 xfxx内使在又内使在又 00 xfxx内在内在 000 xfxfxxx 0取得极小值 在即取得极小值在即xf 2011 10 194 0 1 00 取得极小值在则若取得极小值在则若xfxf 二 极值的第二充分条件 定理 二 极值的第二充分条件 定理2 0 00 0 存在又且导数 的某邻域内有一阶在点设函数 存在又且导数 的某邻域内有一阶在点设函数 xfxf xf 0 2 00 取得极大值在则若取得极大值在则若xfxf xfxf 有根据二阶导数定义有根据二阶导数定义 0 lim 0 0 xx xf xx 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 2011 10 195 中有 使在由极限性质 中有 使在由极限性质 0 00 xx 0 0 xx xf 0 00 xfxx有内在有内在 1 0取得极小值 在知根据定理取得极小值在知根据定理xf 2011 10 196 1 1 32 的极值求例的极值求例xxxf 驻点和不可导点先求可能的极值点驻点和不可导点先求可能的极值点 3 3 1 32 3 25 3 2 1 x x xxxxf 5 2 0 xxf得驻点令得驻点令 5 2 0 0 xx x 可能的极值点 故有两个为导数不存在的点又 可能的极值点 故有两个为导数不存在的点又 解 解 2 2011 10 197 x 0 0 5 2 0 5 2 5 2 xf 0 不存在不存在 0 极大值极小值极大值极小值 3 20 25 3 0 0 极大值 极大值 f极小值极小值 20 25 3 5 2 3 f 3 25 3 x x xf 2011 10 198 的极值求例的极值求例 33 9 2 xaxy 1 驻点和不可导点求可能的极值点驻点和不可导点求可能的极值点 22 273 xaxxf 求导函数 求导函数 0 x f令令 判断驻点是否为极值点判断驻点是否为极值点 2 没有不可导点没有不可导点 axax 2 3 4 3 21 得驻点 得驻点 89 6 546xaxaxy 018 4 3 aay 0时时当当 a 018 2 3 aay 解 解 2011 10 199 有极小值时当故有极小值时当故yax 4 3 3 16 9 ay 极小值为 极小值为 有极大值时有极大值时当当yax 2 3 3 4 9 ay 极大值为 极大值为 时当同理可求得时当同理可求得0 a 3 3 4 9 2 3 16 9 4 3 aayy aayy 的极小值为 的极大值为 的极小值为 的极大值为 2011 10 1910 三 函数的最大 最小值 A 闭区间上连续函数的最大 最小值 三 函数的最大 最小值 A 闭区间上连续函数的最大 最小值 欲求其最大 最小值设欲求其最大 最小值设 Rbaf 方法如下方法如下 2 1 1 nix baf i L 不可导点 上的所有驻点和在求 不可导点 上的所有驻点和在求 nixfbfaf xf i bax 2 1 max max 2 L 2011 10 1911 1 0 0 最大值或最小值 就是所要求的则而且是极值点 有唯一的驻点内如果在 最大值或最小值 就是所要求的则而且是极值点 有唯一的驻点内如果在 xf xxfba 2 0 0 小值为所要求的最大值或最则 内部取得最大值或最小值必在 的知道又从实际问题本身可以 有唯一的驻点内如果在 小值为所要求的最大值或最则 内部取得最大值或最小值必在 的知道又从实际问题本身可以 有唯一的驻点内如果在 xf ba xf xxfba B 最大 最小值应用问题 B 最大 最小值应用问题 2011 10 1912 2 1 1 1 3 32 最大 最小值 的在求例 最大 最小值 的在求例 xxxf 内在由前面的例题知内在由前面的例题知 2 1 1 xf 0 5 2 21 xx不可导点有驻点不可导点有驻点 经计算得 经计算得 0 0 f 2 1 f 2 1 0 0 minmax ffff 3 20 25 3 5 2 f 3 2 8 1 2 1 f 解 解 3 2011 10 1913 用料最省 时 多少问底半径与高的比例为铁桶 的圆柱形无盖要做一个容积为例 用料最省 时 多少问底半径与高的比例为铁桶 的圆柱形无盖要做一个容积为例 4 0 V 所需铁皮面积为高为设底半径为所需铁皮面积为高为设底半径为 hr 0 2 02 r r V rS 解 解 0 222 2 2 0 3 2 0 r Vr r V rrS 令令 3 0 1 V r 得唯一驻点 得唯一驻点 2011 10 1914 必存在 的最小值从问题的实际意义知道 必存在 的最小值从问题的实际意义知道rS lim lim 0 rSrS r r 又又 0 3 0 1 是最小值点唯一驻点从而达到 的内部的最小值一定在因此 是最小值点唯一驻点从而达到 的内部的最小值一定在因此 V r rS r V V V r V h rr 3 0 3 2 0 0 2 0 1 用料最省相等时与高当底半径即用料最省相等时与高当底半径即hr 2011 10 1915 截取 试问应该怎样最大抗弯强度的矩形梁 截取一个具有的圆形木中在直径为例 截取 试问应该怎样最大抗弯强度的矩形梁 截取一个具有的圆形木中在直径为例 5 d o h b 则有设比例系数为 成正比的强度与 具有矩形截面梁知 由材料力学强度为 高为设矩形底为 则有设比例系数为 成正比的强度与 具有矩形截面梁知 由材料力学强度为 高为设矩形底为 k bh y hb 2 2 kbhy d 3 1 解 解 2011 10 1916 0 22 222 的最大值 求函数 所以问题化为因为 的最大值 求函数 所以问题化为因为 dbbdby bdh 22 3bdy 求导数得 求导数得 3 0 d by 得唯一驻点令 得唯一驻点令 06 by因为因为 是唯一极大值点所以是唯一极大值点所以 3 d b 也就是最大值点也就是最大值点 2011 10 1917 所以有此时所以有此时 3 2 dh 1 2 3 bhd 即为所求端点的连线 作这点与直径两作垂线交圆于一点 在等分点把直径三等分这就是说 即为所求端点的连线 作这点与直径两作垂线交圆于一点 在等分点把直径三等分这就是说 2011 10 1918 1 x 2 xxx xfy y o A B 下凸下凸 二 函数的凸性二 函数的凸性 4 2011 10 1919 y xo 1 x 2 xx 上凸上凸 xfy A B 2011 10 1920 可表示为如下形式 可表示为如下形式 xxxx 21 11 1 21 x k k x k x 可解出 可解出 1 1 0 2121 kk xx xx 记记 1 1 1 21 k k k 令令 2011 10 1921 弦线弦线AB的方程为的方程为 1 12 12 1 xx xx xfxf xfxY 2211 21 xxYxY xxx 有 有 1 21 Q 2211 xfxfxY 12211 12 12 1 xxx xx xfxf xf 2011 10 1922 1 22112211 2121 22112211 21 函数上为上凸在则称 如果 函数下凸上为在则称都成立 和的任意非负实数对于满足 不等式如果 设函数 函数上为上凸在则称 如果 函数下凸上为在则称都成立 和的任意非负实数对于满足 不等式如果 设函数 baf xfxfxxf baf xfxfxxf baxx Rbaxf 一 凸性定义 一 凸性定义 2011 10 1923 二 凸函数的性质 二 凸函数的性质 n i ii n i ii n n n xfxf baxxx baxf 11 21 21 21 1 都有数 的非负任意一组满足 以及必要条件是 上为下凸的充分在函数 都有数 的非负任意一组满足 以及必要条件是 上为下凸的充分在函数 L L L n i ii n i ii xfxf 11 上凸的充分必要条件是上凸的充分必要条件是 性质性质1 2011 10 1924 xfy 1 x 2 x xx y o 都有 及必要条件是 上为下凸的充分在函数 都有 及必要条件是 上为下凸的充分在函数 21 2121 xxx xxbaxx baxf 性质性质2 xx xfxf xx xfxf 2 2 1 1 5 2011 10 1925 1 22112211 xfxfxxf 则有记则有记 1 21 1 1 2121 xfxfxxf 12 2 21 1 xx xx xxx 设设 12 1 1 xx xx 2 2 12 1 1 12 2 xf xx xx xf xx xx xf 则则 1 式等价于式等价于 证证 必要性必要性 为下凸假设 为下凸假设 f 2011 10 1926 有式两端乘以将设有式两端乘以将设 2 1221 xxxx 0 212112 xfxxxfxxxfxx 1212 xxxxxx 由于 上式可改写为 由于 上式可改写为 0 211212 xfxxxfxxxfxxxfxx 即 即3 2 2 1 1 xx xfxf xx xfxf xx xfxf xx xfxf 2 2 1 1 上凸上凸 2011 10 1927 非增内单调非减 在函数的充分必要条件是上凸 为下凸在则可导开区间 在连续在闭区间设函数 非增内单调非减 在函数的充分必要条件是上凸 为下凸在则可导开区间 在连续在闭区间设函数 ba xf bafba baxf 三 凸性的判定 定理 三 凸性的判定 定理1 用一阶导数判定函数的凸性用一阶导数判定函数的凸性 证证 必要性必要性 上为下凸函数在区间设上为下凸函数在区间设 baxf 2011 10 1928 212121 xxxxxxbaxx 且且 有性 根据极限的保号都可导与在因为 有性 根据极限的保号都可导与在因为 21 xxxf 2 2 1 1 lim lim 11xx xfxf xx xfxf xxxx 21 21 1 xx xfxf xf 即 即 2 2 1 1 xx xfxf xx xfxf 有 有 2011 10 1929 2 2 1 1 lim lim 22xx xfxf xx xfxf xxxx 也有也有 2 12 12 xf xx xfxf 即 即 21 xfxf 于是有 于是有 2121 xxxbaxxx 且充分性 且充分性 有 满足存在根据微分中值定理 有 满足存在根据微分中值定理 2211 21 xxx 2011 10 1930 2 2 2 f xx xfxf 1 1 1 f xx xfxf 21 ff 有由已知 有由已知 2 2 1 1 xx xfxf xx xfxf 因此有 因此有 下凸的 上是在区间函数这就是说 下凸的 上是在区间函数这就是说baxf 6 2011 10 1931 定理定理2 用二阶导数判定函数的凸性用二阶导数判定函数的凸性 0 0 xfxf baf babaxf 的充分必要条件是 函数上凸为下凸在则二阶可导 内在上连续在设函数 定理 的充分必要条件是 函数上凸为下凸在则二阶可导 内在上连续在设函数 定理3 用切线位置判定函数的凸性用切线位置判定函数的凸性 000 0 xxxfxfxf bax bafba baxf 有分必要条件是 为下凸函数的充在则可导间 在开区连续在闭区间设函数 有分必要条件是 为下凸函数的充在则可导间 在开区连续在闭区间设函数 切线位于切线位于 曲线下方曲线下方 2011 10 1932 证证 必要性必要性 为下凸函数假设 为下凸函数假设f 有且有且 1010 xxxbaxxx 01 01 1 1 xx xfxf xx xfxf 0 0 0 01 xf xx xfxf xx 令 令 000 xxxfxfxf 2011 10 1933 充分性充分性曲线的切线方程为曲线的切线方程为 0 bax 0 000 xxxfxfxfxyxf bax有若有若 000 xxxfxfxy 0 0 0 0 xf xx xfxf xx 有时 有时 有时当当 有且有且 2121 xxxbaxxx 2 2 1 1 xx xfxf xx xfxf 2011 10 1934 00 00 的拐点为曲线 则称点反在该点两侧曲线凸性相 上的一个点 的拐点为曲线 则称点反在该点两侧曲线凸性相 上的一个点 是曲线设点 拐点定义 是曲线设点 拐点定义 xfy xfx xfyxfx 0 x x y 00 xfx o xfy 四 拐点 定理 四 拐点 定理1 拐点必要条件 拐点必要条件 0 0 00 x f xfxfx xf 则有拐点 的为若 有二阶导数设 则有拐点 的为若 有二阶导数设 2011 10 1935 000 0 个拐点 的一是则两侧异号在若 的某邻域内有二阶导数在点设 个拐点 的一是则两侧异号在若 的某邻域内有二阶导数在点设 fxfxxf xf 定理定理2 拐点的充分条件 拐点的充分条件 证证 00 的拐点为的拐点为xfxfx 右侧下凸侧上凸 不妨设该点左 右侧下凸侧上凸 不妨设该点左 00 00 单调非减内在非增 单调内则在 单调非减内在非增 单调内则在 fxx fxx 0 xxf在在 0 0 x f xf所以有二阶导数存在处取得极值 且所以有二阶导数存在处取得极值 且 2011 10 1936 曲线的渐近线 则称该直线为于零某一定直线的距离趋近 若此动点到点时动点沿曲线无限远离原 曲线的渐近线 则称该直线为于零某一定直线的距离趋近 若此动点到点时动点沿曲线无限远离原 x y o xfy bkxy P M 三 曲线的渐近线三 曲线的渐近线 40 7 2011 10 1937 垂直渐近线垂直渐近线 1 垂直渐近线 的为曲线 则直线 或 若 垂直渐近线 的为曲线 则直线 或 若 lim lim xfy ax xf xf ax ax x y o xfy a ax 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法 2011 10 1938 件是斜渐近线的充分必要条 的是曲线直线 件是斜渐近线的充分必要条 的是曲线直线xfybkxy 0 lim 1 kk x xf x x lim 2 kxxfb x x lim 的水平渐近线 是曲线则直线若 的水平渐近线 是曲线则直线若 xfy bybxf x x 定理 定理 斜渐近线斜渐近线 3 水平渐近线水平渐近线 2 2011 10 1939 2 1 k bkxxf PM 0 1 lim 2 k bkxxf x x 0 lim bkxxf x x 1 lim bkxxf x x 证 必要性 证 必要性 的渐近线是曲线