《抛物线的简单几何性质》教案全面版.doc

抛物线的简单几何性质教案课 题：86抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为（或），则轴（或轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数 本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入： 1抛物线定义：图形方程焦点准线平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 二、讲解新课：抛物线的几何性质1范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率轴轴轴轴注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附：抛物线不存在渐近线的证明（反证法）假设抛物线y22px存在渐近线ymxn，A（x，y）为抛物线上一点，A0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，则有和y1mxn 当m0时，若x，则当m0时，当x，则这与ymxn是抛物线y22px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以 ，即 因此，所求的抛物线方程为将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是 (p0)由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即 所求的抛物线标准方程为例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷证明：如图设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC2EH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线相切四、课堂练习：1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ C ）（A） （B） （C） （D）4过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 _ (答案： ) 5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标（答案： , M到轴距离的最小值为）五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等 六、课后作业：1根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，3）到焦点距离为52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则A2FB2等于3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1（1）y232x（2）x28y（3）x28y2903x216 y45米七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：86抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率轴轴轴轴注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线，抛物线， 抛物线， 抛物线，2直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于当直线为，即，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当，设将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，其中a和分别是（*）中二次项系数和判别式，k为直线的斜率当代入消元消掉的是y时，得到，此时弦长公式相应的变为：（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线， 抛物线， 当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线， 抛物线，（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：（5）若已知过焦点的直线倾斜角则（6）常用结论：和和3抛物线的法线：过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的 4抛物线的参数方程：（t为参数）三、讲解范例：例 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则 ，又|OA|OB|，所以 即 ，由此可得，即线段AB关于x轴对称因为x轴垂直于AB，且AOx30，所以 所以， 四、课堂练习：1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长（答案：边长为）2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，又 圆过点， 所求圆的方程为3已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：）4已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（1）； ；（2）直线过定点（3）点的轨迹方程为 5已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）6已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：）7已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程（答案：）8顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（答案：或）五、小结 ：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式 六、课后作业：七、板书设计（略）八、测 试 题：1顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) 2抛物线y28x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，4） (C) （1，） (D) （1，）3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为4抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是5以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求OAB的面积测试题答案：1A2D 3x28y 4 5 只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和