2019-2020学年赣州市十五县（市）高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年江西省赣州市十五县（市）高二上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为ABCD【答案】C【解析】根据直线的方程，求得直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系，即可求解.【详解】由题意，直线的点斜式方程是，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则且，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了直线的点斜式方程，以及直线的斜率与倾斜角的求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2如图所示，在正方体中，分别是，的中点，则图中阴影部分在平面上的正投影是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据投影的定义，分别找出点在平面上的投影，即可求解，得到答案【详解】由题意，阴影部分为三角形，其中点在投影面上，它的投影是其本身，点在平面上的投影是的中点，点在平面上的投影是的中点，所以三角形的投影为选项A符合题意故选：A【点睛】本题主要考查了平行投影及平行投影的作法，其中解答中熟记平行投影的定义，准确确定点在平面上的投影是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题3过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率，又知其过定点坐标，由点斜式可得所求直线方程【详解】根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过点，由点斜式可得所求直线方程为2x+y-1=0.故本题正确答案为B.【点睛】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况，属基础题4已知向量，且，则的值是（）ABC3D【答案】A【解析】由已知求得，然后展开两角差的正切求解【详解】解：由，且，得，即。，故选：A。【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题5阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-5,则输出的y值是( )A-1 B1 C2 D【答案】A【解析】第一次输入x=-5,满足|x|3,x=|-5-3|=8,第二次满足|x|3,x=|8-3|=5,第三次满足|x|3,x=|5-3|=2,第四次不满足|x|3,此时y=x=2=-1,输出y=-1.故选A.6已知是直线，是两个不同的平面，下列命题中的真命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解【详解】对于A，若，则或与相交，所以A错；对于B，若，则或或与相交，所以B错；对于C，若，则或，所以C错；对于D，若，则，由面面垂直的判定可知选项D正确【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题7已知圆的一般方程为，则下列说法中不正确的是（ ）A.圆的圆心为 B.圆被轴截得的弦长为 C.圆的半径为 D.圆被轴截得的弦长为【答案】C【解析】试题分析：由得 ，故圆的圆心为（4，-3），半径为5，故选C.【考点】圆的标准方程与一般方程的互化 8一组数据X1，X2，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1+2，3X2+2，3Xn+2的平均数和方差分别是（）A11,45B5,45C3,5D5,15【答案】A【解析】若X1，X2，Xn的平均数是，方差是，则数据的平均数为，方差为【详解】解：一组数据X1，X2，Xn的平均数是3，方差是5，数据3X1+2，3X2+2，3Xn+2的平均数为33211，方差为：故选：A【点睛】本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用9如图所示, ABC的三条边长分别为,现将此三角形以边所在直线为轴旋转一周,则所得几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】本道题发挥空间想象能力，知道旋转后的立体几何体是什么形状，计算底面周长，结合圆锥侧面展开为一个扇形，结合扇形面积计算公式，即可。【详解】A点到BC的距离，得到的立体几何体为两个圆锥，该圆锥底面周长为，所以表面积为,故选C。【点睛】本道题考查了空间几何体表面积计算方法和扇形面积计算公式，难度中等。10若点在圆上，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据的几何意义是点与两点连线的斜率，设，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为，因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即又由点在圆上，则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得，所以故选：B【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据的几何意义是点与两点连线的斜率，转化为直线与圆相切求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题11如图是某几何体的三视图，该几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三视图可知该几何体为一个三棱锥，将该三棱锥放入棱长为长方体中，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，求得球的半径，即可求得球的表面积【详解】根据三视图可知该几何体为一个三棱锥，记为，将该三棱锥放入棱长为长方体中，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设球的半径为，可得，解得，所以球的表面积为故答案为：C【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，球内接正方体的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中转化为球内接正方体，利用球直径等于长方体的体对角线长，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题12著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为ABCD【答案】C【解析】化简得，表示平面上点与点，的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论【详解】，表示平面上点与点，的距离和，连接NH，与x轴交于，由题得，所以，的最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键二、填空题13已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，、是下底面圆周上的两个不同的点，是母线，如图若直线与所成角的大小为，则_【答案】【解析】过点作与平行的母线，由异面直线所成角的概念，得到，由，即可求解【详解】如图所示，过点作与平行的母线，连接，则为直线与所成的角，所以，在直角中，可得，所以故答案为： 由题知，【点睛】本题主要考查了圆柱的结构特征，以及异面直线所成角的应用，其中解答中根据异面直线所成角的概念，在直角中求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题14如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的线性回归方程为，则_【答案】【解析】根据散点图中的数据，求得样本中心点，代入回归方程，即可求解【详解】由题意，根据散点图中的数据，可得，将点，代入回归方程，即，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题15已知实数，满足约束条件，则的取值范围为_（用区间表示）【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，平移直线，求出的取值范围，从而得到的取值范围.【详解】不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易得，令，可得，平移直线，易得在点处取得最小值为，与直线重合时取得最大值为，即的取值范围是，故的取值范围为【点睛】从历年高考题目来看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，也可能涉及非线性目标函数的最值问题，考查学生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键常见的有三种类型：（1）形如的目标函数，可化为可行域内的点与点间的距离的平方问题（2）形如的目标函数，由可将问题化为可行域内的点与点连线斜率的倍的范围或最值问题特别地，表示点与原点连线的斜率（3）形如的目标函数，由可将问题化为可行域内的点到直线的距离的倍的最值问题16如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是 _(填序号) 甲运动员的成绩好于乙运动员；乙运动员的成绩好于甲运动员；甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异；甲运动员的最低得分为0分【答案】【解析】本题考查的知识点是茎叶图，及平均数的概念，由茎叶图中分析出甲、乙两名篮球运动员某赛季各场次得分，再由平均数定义进行判断，易得结果【详解】分析茎叶图可得：甲运动员的得分为：10，15，22，23，31，32，34，36，37，38，44，44，49，51乙运动员的得分为：8，12，14，17，21，29，29，33，36，52则甲运动员得分的平均数为（10+15+22+23+31+32+34+36+37+38+44+44+49+51）=38，乙运动员得分的平均数为（8+12+14+17+21+29+29+33+36+52）=37甲运动员的最低得分为10分故答案为：【点睛】茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键三、解答题17数列满足，且，正项数列满足是1和的等比中项（1）求数列，的通项公式（2）求的前n项和【答案】（1），； （2）.【解析】（1）由，得到是公差为2的等差数列，进而求得数列的通项公式，又由是1和的等比中项，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用等差、等比数列的前前项和公式，即可求解【详解】（1）由题意，数列满足，即，所以是公差为2的等差数列又因为，即，解得，所以又由是1和的等比中项，且，可得，所以（2）由（1）可得，所以【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差、等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成40，50)，50，60)，90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分【答案】(1)0.3；图见解析；(2) 及格率是75%；平均分为71分【解析】(1)利用各组的频率和等于1可求；(2)及格率就是60,100之间的频率之和，平均分利用区间中点值和频率积进行求解.【详解】解：(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为.补全的频率分布直方图如图所示(2)依题意可得第三、四、五、六组的频率之和为(0.0150.0300.0250.005)100.75，则可估计这次考试的及格率是75%.因为抽取学生的平均分约为450.1550.156650.15750.3850.25950.0571(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，利用频率之和为1可以求解未知区间的频率，利用所有区间中点值与频率积的和可得平均数，侧重考查识图能力及数据分析的核心素养.19如图，在四面体中，平面，且，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）是棱中点，求证：平面【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）利用线面平行的判定定理，先证得平面，进而得到平面【详解】（1）在中，因为，可得，所以又平面，平面，又，平面（2）因为，分别是棱，的中点，所以又平面，平面，平面是中点，又平面，平面【点睛】本题主要考查了线面垂直与线面平行的判定与证明，其中解答中结合几何体的结构特征，熟练应用线面平行、线面垂直的判定定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题20在中，角，所对的边分别为，且，是边上的点.（I）求角；（）若，求的长，【答案】（I）；（）.【解析】（I）利用正弦定理将边化角为，再结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式即可得到B。（）利用余弦定理先求出进而得到，由正弦定理即可得到的长。【详解】（I）由，得，.（）在中，由余弦定理得，所以，在中， ，由正弦定理，得，所以.【点睛】本题关键是要掌握正弦定理的变形公式，将边化为角来处理问题，在解三角形时，往往三角形内角和定理最容易忽略的，利用内角和定理可简化未知角的数量。21在直三棱柱中，过的截面与面交于（1）求证：（2）若截面过点，求证：面（3）在（2）的条件下，求【答案】（1）见解析； （2）见解析；（3）.【解析】（1）由三棱柱结构特征，证得面，再由线面平行的性质定理，即可得到；（2）取的中点，连接和，得到，再由勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到面，进而得到面（3）由，即可求得三棱锥的体积【详解】（1）由题意，在直三棱柱中，可得，所以面，又面，面，由线面平行的性质定理，可得（2