数列复习总结(通项公式、求和方法).doc

数列复习总结一、基础知识：数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和数列： 1数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 2数列的项的性质： 有序性 ； 确定性 ； 可重复性 3数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，（），简记作 an 其中an是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法 4数列的一般性质：单调性 ；周期性 5数列的分类：按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列 6数列的通项公式：如果数列an的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式a=f（n）（nN+或其有限子集1，2，3，n） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一 7数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，）间关系可以用一个公式 an=f（a）（n=2，3，） （或 an=f（a,a）(n=3，4，5，)，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 8数列的求和公式：设Sn表示数列an和前n项和，即Sn=a1+a2+an，如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式 Sn= f（n）（n=1，2，3，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 9通项公式与求和公式的关系：通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：等差数列与等比数列：等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义分类递增数列：递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：通项其中（）前n项和其中中项主要性质等和性：等差数列若则推论：若则即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列若则推论：若则即：首尾颠倒相乘，则积相等其它性质1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：等差，公差为则有2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）3、等差，则，也等差。4、等差数列的通项公式是的一次函数，即：() 等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，即：()5、项数为奇数的等差数列有：项数为偶数的等差数列有：，6、则则则1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为。 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）3、等比，则，也等比。其中4、等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：2、中项法：3.、通项公式：4、前n项和 ：证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：2、中项法：设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。2 考点分析 数列是高考热点内容，考查主要为等差，等比数列的基本性质、数列的通项公式的求法、数列前n 项和的求法，其中数列的通项公式的求法基础，在复习过程中注意等差、等比数列定义及性质要复习扎实，常用的通项公式的求法是重点，难点。在复习过程中一定要学生注意课后巩固。等差与等比数列例1：等差数列an中，a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.求数列an前20项的和S20.练习：1.已知等差数列 an 中， 求an的前n项和 .2.已知an为等差数列，a3+a8=22,a6=7,求a5;3.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和4.等差数列an、bn的前n项和分别是Sn、Tn,且 求等差数列前项和的最值问题：1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。（）若已知通项，则最大；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值（）若已知通项，则最小；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；例2.在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。作差、商法：已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。累加法若求用累加法：。累乘法已知求，用累乘法：。构造法已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；，； ；二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、 公式法等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式解：设数列公差为成等比数列，即，得，由得：，注：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。2、已知前n项和，求通项公式例1. 已知数列的前n项和为，求数列的通项公式解：（1）当n=1时， （2）当时，注：一般的利用公式 求，特别要注意是否合适练习：1.设正数数列的前n项和，求数列的通项公式 2.已知数列an的前n项和为Sn,且满足 (1)求证: 是等差数列； （2）求an的表达式. 3、求差（商）法 解： 练习 4、累乘法 解： 注：若数列满足，且可求和，累乘法是反复利用递推关系得到n1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的积，要注意求积的技巧 5、累加法 练习 注：求形如（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累加求得通项，累加法是反复利用递推关系得到n1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的和，要注意求和的技巧 6、等比型递推公式 例：已知数列an满足a1=1，且an+1 =+2，求解：设，则，为等比数列， ，练习 注：求递推式如（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列an+1+=p(an+)来求得,也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型例： 已知数列满足求an解：将两边同除，得，变形为设，则令，得条件可化成，数列为首项，为公差的等比数列因，所以=得=点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型例：已知数列满足求an解：设展开后，得由，解得，条件可以化为得数列为首项，为公差的等比数列，问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得注：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由求出，从而化归为上述已知题型 7、倒数法 注：本题借助为等差数列得到了的通项公式