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数学分析二知识点总结PPT课件 数学分析( (二)知识点总结在有理数系中这六个命题不成立。 1.确界原理在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。 ,2|2Q x x xS?反例,2inf,2sup?S S成立。 确界原理在有理数域不在有理数集没有确界。 即即S2.单调有界定理；在实数系中，单调有界数列必有极限。 是单调有界有理数列，反例)11(nn?.e但其极限是无理数即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 3.区间套定理若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点b an n,?,2,1,?n b an n?使,2,?n na a使使取单调递增有理数列,2,?n nbb使使取单调递减有理数列，套有理数域内构成闭区间则Q n nb a,.Q?2共点为其在实数系内唯一的公所以区间套定理在有理数系不成立。 反例4.有限覆盖定理在实数系中，闭区间a,b的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖a,b。 中所有有理数的集合，表示设212,1Q),2,2,1x x x Qrx rx rx?（使有理数,2,1|),(Q x xx rx rx H?令的一个开覆盖，是则QH2,1),(),(),(,22221111*n n n nrx rx rx rx rx rx HHH?合的有限个元素，构成集任取,2222*r nnH最靠近的数为个有理数中与设这个端点都是有理数，且中的开区间都不含由于反例个区间之外。 述之间所有有理数都在上与则在n r2.2,1QH住的任意有限覆盖不能盖即5.聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。 反例,|)11(Z nnSn?S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。 5.1致密性定理在实数系中，有界数列必含有收敛子列。 反例,)11(穷数列是有理数系中的有界无nnnx?其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。 故故x n在有理数域内没有收敛的子列。 6.柯西收敛准则.,0?m nna a N n m Na有收敛在实数系中，反例条件的有理数列，是满足Cauchynn)11(?.e但其极限是无理数即柯西收敛准则在有理数域不成立。 几个概念区间套（闭区间套），聚点（3个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。 举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。 ,0)01(lim10?nnn且是前一个包含后一个，），（如但不存在属于所有开区间的公共点。 举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。 ?,2,1)1,11(?nn，如开区间集合但不能从中选出有限个开区间盖住（0，1）。 因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，,11?N设为。 ）这部分将不能被盖住，则（110?N构成了开区间（0，1）的一个开覆盖，积分法原函数选择u u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分第八章不定积分 一、主要内容 1、原函数与不定积分的概念。 2、不定积分: (1)存在性; (2)唯一性; (3)如何求？ 3、不定积分运算与微分运算的互逆关系。 4、积分表。 5、不定积分的计算（ （1）基本思想化归为积分表中的积分；（ （2）常用积分方法1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角恒等变形）；2）线性运算；3）换元法第一类（凑分法）不需要变换式可逆；第二类变换式必须可逆；4）分部积分法常可用于两个不同类型函数乘积的积分；“对反幂三指，前者设为u”5）三种特殊类型函数“程序化”的积分法。 注检验积分结果正确与否的基本方法。 （ （3）求积分比求微分困难1）没有万能的积分法；2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积不出来”，如，和ln?xdxdxxe x积分对数?，、cos sindxx xdxx x积分余弦积分正弦?，、式及更一般的形式cos sinln dxx xdxx xdxxxdxxen nn nx?、还有)(c)sin(222dx x os dx x dx ex?14dx x?另外每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. 66、基本积分表?k Ckx kdx()1(是常数)1 (1)2(1?Cxdx x?C xxdxln)3(?dxx211)4(C x?arctan?dxx211)5(C x?arcsin?xdx cos)6(C x?sin?xdx sin)7(C x?cos?xdx xtan sec)10(C x?sec?xdx xotcsc)11(C x?csc?dx ex)12(C ex?xdx2cos)8(?xdx2sec C x?tan?xdx2sin)9(?xdx2csc C x?cot?dx ax)13(Caax?ln?C x xdxcos lntan)16(?C x xdx sinln cot)17(?Cx x xdx)tan ln(sec sec)18(?Cx xxdx)cot ln(csc csc)19(Caxadxx a?arctan11)20(22Cx ax aadxx a?ln211)22(22Caxdxx a?arcsin1)23(22C a x xdxa x?)ln (1)24(2222Ca xa xadxa x?ln211)21(22;)(.11dx xx fnn?;)(.2dxxx f;)(ln.3dxxx f;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdx x f;)(.6dx a a fxx 7、凑微分常见类型:;sec)(tan.72xdxx f;1)(arctan.82dxxx f?凑微分时常用到;22dx xdx?;1,11-nndxdx xnn?;x xdedxe?;21x ddxx?);ln(1c x d dxcx?;sin cosx dxdx?;arctan112x ddxx?;tansec2x dxdx?.0),(1?a b ax dadx凑微分法就是设法把,)()()(?xdx gdx x f?凑成一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。 三角代换去掉如下二次根式22)1(x a?可令,sin ta x?22)2(x a?可令,tan ta x?22)3(a x?可令,sec ta x?tax22x a?tax22ax?tax22ax? 8、常用代换:当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令x=t n,（其中n为各根指数的最小公倍数）l kxx,?当分母的阶分子的阶时,可考虑试用倒代换.1tx? 一、主要内容 11、定积分的定义的取法均无关。 及该极限与iT?ii i iTbax x f dx x f)()(lim)(10|?第九章定积分定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。 ?badx x f)(?badt tf)(?badu uf)(求出及特殊的点集取特殊的分割,)1(iT?ii iTbax f dx x f)(lim)(0|?取左端点或右端点。 等分，通常对in b a?,（ （2）利用牛顿-莱布尼兹公式。 babax Fa Fb Fdx x f|)()()()(? 22、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值 33、定积分的几何意义面积的代数和。 44、定积分的性质线性、关于积分区间的可加性、估值不等式、积分第 一、第二中值定理。 55、定积分与不定积分的联系 （11）变上限积分的导数公式；保号性、),()(x fdt tfdxdxa?)()()()(x axa f xb xb f?)()()(x bxadt tfdxd （22）牛-莱公式。 （33）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。 因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。 所以可积函数不一定有原函数。 ?0,01,10,1sin)(22xx xxxx f且?0,01,10,1cos21sin2)(22xx xxx xxx f且无界，从而不可积，在11)(?xf),(11)(x f x f的原函数是，在但?即说明有原函数的函数不一定可积。 66、可积条件必要条件若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界。 充要条件 （1）函数f在a,b可积当且仅当，使分割T?,0?.?Ti ix,0T分割、?使得属于T的所有小区间中，充要条件 （2）函数f在a,b可积当且仅当对应于振幅的那些小区间的总长.?kkx?kk? 77、可积函数类 1、在在a,b上连续的函数在a,b可积。 2、在在a,b上只有有限个间断点的有界函数在a,b上可积。 3、在在a,b上单调的有界函数在a,b上可积。 （允许有无限多个间断点）但并非可积函数只有这3类。 如黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。 在在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在a,b可积。 88、利用不定积分计算定积分 （11）线性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。 （22）与不定积分法的差别 （33）利用对称性、周期性及几何意义。 牛-莱公式积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。 （ （4）开偶次方时，要带绝对值。 99、杂记（ （1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。 （ （2）对D(x)和R(x)的可积问题多一些关注。 11、微元法的理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设U dUdx x fdx x f xdU x fdt tf x Ub ax fbabaxa?第第10章 22、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据dx x fdx x f Ub a dx x fdUAba?（ （1）U是与一个变量x的变化区间?b a,有关的量；（ （2）U对于区间?b a,具有可加性，就是说，如果把区间?b a,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和； （3）部分量i U?的近似值可表示为iix f?)(?；就可以考虑用定积分来表达这个量U. 33、所求量的特点；）的变化区间的相关量（记为确定）,1b axU2表达式微元的建立）U设想把区间,b a分成n个小区间，取其中任一小区间并记为,dx xx?，求出相应于这小区间的部分量U?值的近似值.如果U?能近似地表示为,b a上的一个连续函数在x处的值)(x f与dx，的乘积，即dx x f xdU dU)()(?,C)(b ax f?其中，即)()(x oxx f U?）。 （此时，以静代动以简代繁、以直代曲、。 则?badx x f U)( 44、解题步骤是非常困难的。 通常要验证)()(x oxx f U?一般来说不是唯一的。 中的且)()()(x f x oxx f U?也不是唯一的。 中的所以)()(x f dx x f Uba?平面图形的面积直角坐标参数方程极坐标弧微分弧长旋转体体积旋转体侧面积? 55、定积分应用的常用公式 (1)平面图形的面积xyo)(x f y?badx x f A|)(|xyo)(1x fy?)(2x fy?badx x f x f A)()(12AA直角坐标情形a b a b上曲线减下曲线对x积分。 yxOcdA x=f(y)（图5）x=g(y)?dcdy yg yf A)()(右曲线减左曲线对y积分。 一般解题步骤（ （1）画草图，定结构；（ （2）解必要的交点，定积分限；（ （3）选择适当公式，求出面积（定积分）。 注意答案永远为正。 如果曲边梯形的曲边为参数方程?)()(t yt x?曲边梯形的面积?21)()(ttdt t t A?（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在在1t,2t或（或2t,1t）上)(tx?具有连续导数，)(t y?续连续.参数方程所表示的函数?d A2)(21x o?d?)(?r?xo)(2?r)(1?r?d A)()(212122极坐标情形 (2)体积x dx x?x yo dx x fVbax2)(?dy yVdcy2)(?xyo)(y x?cddx xxf Vbay)(2?dy yy Vdcx)(2?xo?badx x A V)(x dx x?ab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA.sin) (320),(03?d rVr r?所成立体的体积为绕极轴旋转由)(?r r?）?）? (3)平面曲线的弧长x oyab x dx x?dy弧长dx ysba?21A曲线弧为?)()(t ytx?)(?t其中)(),(tt?在,?上具有连续导数弧长dt tt s?)() (22)(x fy?B曲线弧为22dy dxds?C曲线弧为)(?)(?r r?弧长?d rr s?)()(22 (4)旋转体的侧面积x dxx?x yo)(x fy?bxax fy?,0)(?badx x f x f S) (1)(22侧yds dS?2? (5)变力所作的功)(x Foa bx dxx?x?babadx xFdW W)( (6)液体压力xyoabxdx x?)(x f?babadx xxfdP P)(?)(为比重? (7)引力xyx dxx?oAl?l?lllly yxadx GadFF2322)(?.0?xF)(为引力系数G (8)函数的平均值?badx x fa by)(1第第11章 一、两类反常积分的概念?adx x f)(?ua udxx f)(lim?badx x f)(?bua udxx f)(lim?badx x f?)(lim0?dxx f)(?adx x f)(?adx x f)(当当?adx x f)(和?adx x f)(敛都收敛，时，a为任意常数,就称?dxx f)(收敛；如果a,b都是瑕点，则定义?badx xf)(?cadx xf)(?bcdx xf)(，c为(a,b)内任一实数。 当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。 二、计算方法求正常积分+求极限；)0(?axdxap?时，发散当时，收敛；当11pp?bapa xdx)(?时，发散当时，收敛；当110pp 三、两类反常积分的判敛方法 1、Cauchy准则?收敛)(adx xf有,021G u u aG?.)(21?uudx xf有),(,0,021?aau u.)(21?uudx xf?是瑕点）收敛（a dxx fba)( 2、比较法则?ba adx xf dxxf的敛散性，和用于判别|)(|)(|通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。 3、Dirichelet判别法和Abel判别法用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。 :)0(cos sin?a dxxxdxxxapap的敛散性和时，发散。 时，条件收敛；时，绝对收敛；0101?ppp 四、绝对收敛与条件收敛定积分可积，在可积在,|,ba f baf?无穷积分.)(|)(|收敛收敛?a adxxfdxxf瑕积分.)(|)(|收敛收敛?babadx xfdxxf可积，在可积在,|,2baf baf?.)(|)(|2收敛收敛?a adxxfdxxf.|)(|)(2收敛收敛?babadx xfdxxf.)()(2收敛收敛?a adxxfdxxf第第12章数项级数正项级数交错级数一般项级数?nnnu u u uu3211?nns?lim在存在.?nii n nu uuu s121?收敛?1nnu有,0,0?p Nm N?.|21?p m m muuu?收敛正项级数?1nnu?有界。 ns?发散时当收敛于时当,11,10qqaqaqnn?发散时当收敛时当,1,111ppnnp?时，发散当条件收敛时当绝对收敛时当0,10,11)1(1pppnnpn?11cos,sinnpnpnnxnnx时，绝对收敛；当1?p,0时，发散?p.,10条件收敛时，收敛当当?p相同。 敛散性与dxnnxp?1sin收敛级数的基本性质.0lim.11?nnnnu u收敛.0lim1发散?nn nnuu,)(,.2?d csdv cuv sun nnn?3.级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。 4.收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；5.绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。 6.收敛级数与发散级数的和必为发散级数。 正项级数审敛法 1、比较法（u n为有理表达式时）； 2、比式法（u n含含n!时）； 3、根式法（u n含含n次方时）； 4、积分法(）；敛散性易判别时当?adxxf)( 5、拉贝法（）；时当1lim1?nnnuu)1()1(111nnnnnnu u?或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(),3,2,1(1?n uun n;()0lim?nnu,则级数收敛,且其和1us?,其余项nr的绝对值1?nnur.)0(?nu其中交错级数审敛法这是Dirichelet判别法的特殊情形。 一般项级数审敛法 1、Abel判别法， 2、Dirichelet判别法。 敛。 则，再考虑是否条件收收敛则为绝对收敛，否敛），的敛散性（正项级数判一般先考虑|?nu用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。 ,.2B vA unn绝对收敛于绝对收敛于若?则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.111sv sunnnn也绝对收敛于，则其重排级数绝对收敛于设?绝对收敛级数的性质条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。 第第13章,|)()(|,0)1(?xfxf I xN nNn都有若等价于下列3条之一.0|)()(|sup lim)3(?xfx fnI xn好用！.|)()(|,0)2(?xfxfI xN nm Nmn都有一致收敛。 但在不一致收敛，在)1(,)1,1(?aaaxn典型例题)()(xfx fnI)()(xfx fnI的常用判定法.0|)()(|sup lim)1(?xfx fnI xn,|)()(|,0)2(000000?xfxfI xNnNn有上不连续。 在上连续，但在I xfI xf nn)()(,)3(?).()(1x sx ukk一致收敛于?,),()()1(D xx sx sn?有,0,0)2(D xp NmN?.|)()()(|21?x ux ux up mmm?.0|)()(|sup lim)3(?x sx snD xn等价于下列3条之一典型例题一致收敛。 但在不一致收敛，在)1(,)1,1(?aaaxn一致收敛的判别法?1)(kkx u（ （1）优级数判别法（ （2）Abel判别法（ （3）Dirichelet判别法)()(1x sx ukk不一致收敛于?的常用判定法,0)(1x un）（D,)()(2x sx sn）（D上不连续。 在上连续，但在I xs I x u nn)()(,)3(?一致收敛函数列的性质)(lim lim)(lim lim00xfx fnxx nnnxx?则（ （1）上也连续，且也在则其极限函数I xf)(（ （2）连续，在且I xf nn)(,?)()(xfx fnI)()(xfx fnI（ （3）.)(lim)(lim dxxfdxxfnba nnnba?收敛，在0)(xxfn连续，且在在I xfnn)(,?上一致收敛，则在在Ixfn)(?(lim()lim().nnnnf xfx?一致收敛函数项级数的性质则上一致收敛在,)(1Dx unn? (1) (2),0)(x unD,)(1一致收敛在在bax unn?连续，在且,)(,bax unn?且连续在则,)()(1bax ux snn?.)()(?baban ndxxudxxu（ （3）收敛，在0)(xxun?连续，且在在)(,Ixunn?上一致收敛，则在在Ixun?)()().n nfx fx?第第14章 一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域形如nnnx xa)(00?为的级数称为数幂级数.,00时当当?xnnn xa?0定理(1(Abel理定理)说明幂级数存在收敛半径。 收敛半径的求法 （1）根式法， （2）比式法，定理22如果幂级数?0nnn xa的所有系数0?na,设设?nnn aa1lim(或或?nnna lim) (1)则当0?时时,?1R; (3)当当?时时,0?R. (2)当当0?时时,?R;这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。 幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。 二、幂级数的性质（ （1）在收敛区间内闭一致收敛，（ （2）和函数在收敛区间连续，（ （3）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。 三、幂级数的求和通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。 .1|,110?xxxnn常用注意这个级数的各种变异。 记住下列幂级数的和函数;11)1(0xxnn?;11)1()4(202xxnn n?;1)3(202xaaxnn?;11)()2(0xxnn?.1|?x 四、函数展开成幂级数如果)(xf在点0x导处任意阶可导,则幂级数nnnx xnxf)(!) (000)(?称为)(xf在点0x的的数泰勒级数.如果f(x)能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是f(x)的泰勒级数。 ?0)(lim?x Rnn.如果)(xf在点0x导处任意阶可导,则则f(x)nnnx xnxf)(!) (000)(?.f(x)=nnnx xnxf)(!) (000)(?1.直接法(泰勒级数法)步骤:不能展成幂级数；不存在，说明，若求)()(!)()1 (0) (0)(xfxfnx faknn?).() (0)(limx fIx fx Rn内收敛于区间的泰勒级数在收敛，则若?,0)(lim (2)IxRnn的范围察考察?2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法法,求展开式.记住几个特殊函数的展开式),1ln(,11,11,cos,sin,xx xxx ex?注意收敛范围。 本章讨论了下面三类问题 1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。 2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。 3、函数展开成幂级数的条件及方法。 请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成立的区间就可以包含这个端点。 （这是P51.3的结果）逐项求导时，一般收敛域会减少。 如如,)(12?nnnx