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第一部分 （第一单元）A 电路 电路或电网络由以某种方式连接的电阻器、电感器和 电容器等元件组成。如果网络不包含能源，如电池或发电机，那么就被称作无源网络。换句话说，如果存在一个或多个能源，那么组合的结果为有源网络。在研究电网络的特性时，我们感兴趣的是确定电路中的电压和电流。因为网络由无源电路元件组成，所以必须首先定义这些元件的电特性。 就电阻来说，电压-电流的关系由欧姆定律给出，欧姆定律指出：电阻两端的电压等于电阻上流过的电流乘以电阻值。在数学上表达为： u=iR (1-1A-1) 式中 u=电压，伏特；i =电流，安培；R = 电阻，欧姆。 纯电感电压由法拉第定律定义，法拉第定律指出：电感两端的电压正比于流过电感的电流随时间的变化率。因此可得到：U=Ldi/dt式中 di/dt = 电流变化率， 安培/秒； L = 感应系数， 享利。 电容两端建立的电压正比于电容两极板上积累的电荷q 。因为电荷的积累可表示为电荷增量dq的和或积分，因此得到的等式为 ：式中电容量C是与电压和电荷相关的比例常数。由定义可知，电流等于电荷随时间的变化率，可表示为i = dq/dt。因此电荷增量dq 等于电流乘以相应的时间增量，或dq = i dt，那么等式 (1-1A-3) 可写为U=(1/c)idt式中 C = 电容量，法拉。归纳式(1-1A-1)、(1-1A-2) 和(1-1A-4)描述的三种无源电路元件如图1-1A-1所示。 图1-1A-1 无源电路元件 a)电阻 b)电感 c)电容注意，图中电流的参考方向为惯用的参考方向，因此流过每一个元件的电流与电压降的方向一致。 有源电气元件涉及将其它能量转换为电能，例如，电池中的电能来自其储存的化学能，发电机的电能是旋转电枢机械能转换的结果。 有源电气元件存在两种基本形式：电压源和电流源。其理想状态为：电压源两端的电压恒定，与从电压源中流出的电流无关。因为负载变化时电压基本恒定，所以上述电池和发电机被认为是电压源。另一方面，电流源产生电流，电流的大小与电源连接的负载无关。虽电流源在实际中不常见，但其概念的确在表示借助于等值电路的放大器件，比如晶体管中具有广泛应用。电压源和电流源的符号表示如图1-1A-2所示。图1-1A-2 电压源和电流源a) 电压源 b) 电流源分析电网络的一般方法是网孔分析法或回路分析法。应用于此方法的基本定律是基尔霍夫第一定律，基尔霍夫第一定律 指出：一个闭合回路中的电压代数和为0，换句话说，任一闭合回路中的电压升等于电压降。网孔分析指的是：假设有一个电流即所谓的回路电流流过电路中的每一个回 路，求每一个回路电压降的代数和，并令其为零。 考虑图1-1A-3a 所示的电路，其由串联到电压源上的电感和电 图1-1A-3 含有R、 L 和 C的串联电路 阻组成，假设回路电流i ，那么回路总的电压降为 -e+ur+ul=0因为在假定的电流方向上，输入电压代表电压升的方向，所以输入电压在（1-1A-5）式中为负。因为电流方向是电压下降的方向，所以每一个无源元件的压降为正。利用电阻和电感压降公式，可得Ldi/dt+Ri=e (1-1A-6)等式(1-1A-6)是电路电流的微分方程式。 或许在电路中，人们感兴趣的变量是电感电压而不是电感电流。正如图1-1A-1指出的 。用积分代替式(1-1A-6)中的i，可得Ul+R/Luldt=e (1-1A-7)在对时间微分后，式(1-1A-7) 变为duldt+(R/L)*ul=de/dt (1-1A-8)上式是电感电压的微分方程。 图1-1A-3b 给出了一个由电阻、电感和电容组成的串联电路，根据上述的网孔分析法，可得电路方程式为L +Ri+(1/c)idt =e (1-1A-9)由本文可知电流 i = dq/dt，用dq/dt代替i 变量以消除式中积分，可得二次微分方程为：Ld2q/dt2+Rdq/dt+q/c =eB 三相电路 三相电路不过是三个单相电路的组合。因为这个事实，所以平衡三相电路的电流、电压和功率关系可通过在三相电路的组合元件中应用单相电路的规则来研究。这样看来，三相电路比单相电路的分析难不了多少。 使用三相电路的原因 在单相电路中，功率本身是脉动的。在功率因数为1时，单相电路的功率值每个周波有两次为零。当功率因数小于1时，功率在每个周波的部分时间里为负。 虽然供给三相电路中每一相的功率是脉动的，但可证明供给平衡三相电路的总功率是恒定的。基于此，总的来说三相电气设备的特性优于类似的单相电气设备的特性。三相供电的机械和控制设备与相同额定容量的单相供电的设备相比： 体积小， 重量轻，效率高。除了三相系统提供的上述优点，三相电的传输需要的铜线仅仅是同样功率大小单相电传输所需铜线的3/4。三相电压的产生 三相电路可由三个频率相同、在时间相位上相差120电角度的电动势供电。这样的三相正弦电动势如图 1-1B-1 所示。这些电动势由交流发电机的三套独立电枢线圈产生，这 图1-1B-1 用于给三相电路供电的相位相差120 的三相正弦电动势 三套线圈安装在发电机电枢上，互相之间相差120电角度。线圈的头尾可以从发电机中全部引出，组成三个独立的单相电路。然而，一般线圈无论在内部或在外部均会相互连接，形成三线或四线三相系统。 连接三相发电机线圈有两种方法，一般来说，把任何类型的装置连接到三相电路也存在两种方法。它们是星（Y）形联接和角（D）形联接。大多数发电机是星（Y）形联接，但负载可以是星（Y）形联接或角（D）形联接。 星（Y）形联接发电机的电压关系 图1-1B-2a 表示发电机的三个线圈或相绕组。这些绕组在电枢表面上是按它们产生的电动势在时间相位上相差120分布的。每一个线圈的两端均标有字母S和F (起始和终结)。图1-1B-2 a) Y形联接发电机的相绕组连接 b) Y形联接的常规图 c) 表示相位与线电压关系的相量图图1-1B-2a中，所有标有S的线圈端连接到一个公共点N，三个标有F的线圈端被引出到接线端A、B和C ，形成三相三线电源。这种联接形式被称为Y形联接。中性联接经常被引出接到接线板上，如图1-1B-2a 的虚线所示，形成三相四线系统。 交流发电机每相产生的电压被称为相电压（符号为Ep）。如果中性联接从发电机中引出，那么从任一个接线端A、 B或 C到中性联接N间的电压为相电压。三个接线端A、 B或 C 中任意两个间的电压被称为线到线的电压，或简称线电压（符号为EL）。 三相系统的三相电压依次出现的顺序被称为相序或电压的相位旋转。这由发电机的旋转方向决定，但可以通过交换发电机外的三条线路导线中的任意两条(不是一条线路导线和中性线)来改变相序。将三相绕组排列成如图1-1B-2b 所示的Y形有助于Y形联接电路图的绘制。注意，图1-1B-2b所示的电路与图1-1B-2a所示的电路完全一样，在每一种情况下，连接到中性点的每一个线圈的S端和F端都被引出到接线板。在画出所有的接线点都标注了字母的电路图后，绘制的相量图如图1-1B-2c所示。相量图可显示相隔120 的三相电压 、 和 。 请注意在图1-1B-2中每一个相量用带有两个下标母表示。这两个下标字母表示电压的两个端点，字母顺序表示在正半周时电压的相对极性。例如，符号 表示点A和N间的电压，在其正半周，A点相对于N点为正。在所示的相量图中，已假定在正半周时发电机接线端相对于中性线为正。因为电压每半周反一次相，所以我们也可规定在电压的正半周A点相对于N点为负，但对每一相的规定要一样。要注意到，如果是在电压的正半周定义A点相对于N的极性(EAN) ，那么ENA在用于同一相量图中时就应该画得同EAN相反，即相位差为180。 Y形联接发电机的任意两个接线端间的电压等于这两个接线端相对于中性线间的电位差。例如，线电压EAB等于A接线端相对于中性线间的电压(EAN)减去B接线端相对于中性线间的电压(EBN)。为了从EAN中减去EBN ，必需将EBN 反相，并把此相量加到EAN上。相量EAN和EBN幅值相等，相位相差60，如图1-1B-2c所示。由图形可以看出通过几何学可以证明 等于1.73乘以EAN或EBN 。图形结构如相量图所示。因此，在对称Y形联接中星（Y）形联接发电机的电流关系 从发电机接线端A、 B和C (图 1-1B-2)流到线路导线的电流必定从中性点N中流出，并流过发电机线圈。因此流过每一条线路导线的电流( )必定等于与其相连接的相电流( )。在Y形联接中 IL=Ip第二部分 第一单元A 控制的世界简介 控制一词的含义一般是调节、指导或者命令。控制系统大量存在于我们周围。在最抽象的意义上说，每个物理对象都是一个控制系统。控制系统被人们用来扩展自己的能力，补偿生理上的限制，或把自己从常规、单调的工作中解脱出来，或者用来节省开支。例如在现代航空器中，功率助推装置可以把飞行员的力量放大，从而克服巨大的空气阻力推动飞行控制翼面。飞行员的反应速度太慢，如果不附加阻尼偏航系统，飞行员就无法通过轻微阻尼的侧倾转向方式来驾驶飞机。自动飞行控制系统把飞行员从保持正确航向、高度和姿态的连续操作任务中解脱出来。没有了这些常规操作，飞行员可以执行其他的任务，如领航或通讯，这样就减少了所需的机组人员，降低了飞行费用。在很多情况下，控制系统的设计是基于某种理论，而不是靠直觉或试凑法。控制系统能够用来处理系统对命令、调节或扰动的动态响应。控制理论的应用基本上有两个方面：动态响应分析和控制系统设计。系统分析关注的是命令、扰动和系统参数的变化对被控对象响应的决定作用。如某动态响应是满足需要的，就不需要第二步了。如果系统不能满足要求，而且不能改变被控对象，就需要进行系统设计，来选择使动态性能达到要求的控制元件。控制理论本身分成两个部分：经典和现代。经典控制理论始于二次大战以传递函数的概念为特征，分析和设计主要在拉普拉斯域和频域内进行。现代控制理论是随着高速数字计算机的出现而发展起来的。它以状态变量的概念为特征，重点在于矩阵代数，分析和设计主要在时域。每种方法都有其优点和缺点，也各有其倡导者和反对者。 与现代控制理论相比，经典方法具有指导性的优点，它把重点很少放在数学技术上，而把更多重点放在物理理解上。而且在许多设计情况中，经典方法既简单也完全足够用。在那些更复杂的情况中，经典方法虽不能满足，但它的解可以对应用现代方法起辅助作用，而且可以对设计进行更完整和准确的检查。由于这些原因，后续的章节将详细地介绍经典控制理论。 控制系统的分类和术语 控制系统可根据系统本身或其参量进行分类： 开环和闭环系统（如图2-1A-1）：开环控制系统是控制行为与输出无关的系统。而闭环系统，其被控对象的输入在某种程度上依赖于实际的输出。因为输出以由反馈元件决定的一种函数形式反馈回来，然后被输入减去。闭环系统通常是指负反馈系统或简称为反馈系统。图2-1A-1 开环控制系统和闭环控制系统连续和离散系统：所有变量都是时间的连续函数的系统称做连续变量或模拟系统，描述的方程是微分方程。离散变量或数字系统有一个或多个只是在特殊时刻可知的变量，如图2-1A-2b，描述方程是差分方程。如果时间间隔是可控的，系统被称做数据采样系统。离散变量随机地产生，例如：为只能接受离散数据的数字计算机提供一个输入。显然，当采样间隔减小时，离散变量就接近一个连续变量。不连续的变量，如图2-1A-2c所示，出现在开关或乓-乓控制系统中。这将分别在后续的章节中讨论。图2-1A-2 连续系统和离散系统线性和非线性系统：如果系统所有元件都是线性的，系统就是线性的。如果任何一个是非线性的，系统就是非线性的。 时变和时不变系统：一个时不变系统或静态系统，其参数不随时间变化。当提供一个输入时，时不变系统的输出不依赖于时间。描述系统的微分方程的系数为常数。如果有一个或多个参数随时间变化，则系统是时变或非静态系统提供输入的时间必须已知，微分方程的系数是随时间而变化的。 集中参数和分散参数系统：集中参数系统是其物理性质被假设集中在一块或多块，从而与任何空间分布无关的系统。在作用上，物体被假设为刚性的，被作为质点处理；弹簧是没有质量的，电线是没有电阻的，或者对系统质量或电阻进行适当的补偿；温度在各部分是一致的，等等。在分布参数系统中，要考虑到物理特性的连续空间分布。物体是有弹性的，弹簧是有分布质量的，电线具有分布电阻，温度在物体各处是不同的。集中参数系统由常微分方程描述，而分布参数系统由偏微分方程描述。 确定系统和随机系统：一个系统或变量，如果其未来的性能在合理的限度内是可预测和重复的，则这个系统或变量就是确定的。否则，系统或变量就是随机的。对随机系统或有随机输入的确定系统的分析是基于概率论基础上的。 单变量和多变量系统：单变量系统被定义为对于一个参考或命令输入只有一个输出的系统，经常被称为单输入单输出（SISO）系统。多变量（MIMO）系统含有任意多个输入和输出。控制系统工程设计问题控制系统工程由控制结构的分析和实际组成。分析是对所存在的系统性能的研究，设计问题是对系统部件的一种选择和安排从而实现特定的任务。控制系统的设计并不是一个精确或严格确定的过程，而是一系列相关事情的序列，典型的顺序是： 1)被控对象的建模；2）系统模型的线性化；3）系统的动态分析；4）系统的非线性仿真；5）控制思想和方法的建立；6）性能指标的选择；7）控制器的设计；8）整个系统的动态分析；9）整个系统的非线性仿真；10）所用硬件的选择；11）开发系统的建立和测试；12）产品模型的设计；13）产品模型的测试。 这个顺序不是固定的，全包括的或必要次序的。这里给出为后续单元提出和讨论的技术做一个合理的阐述。 B 传递函数和拉普拉斯变换传递函数的概念 如果像式2-1B-1表示的线性系统的输入输出关系已知，则系统的特性也可以知道。在拉普拉斯域表示的输入输出关系被称做传递函数。由定义，元件或系统的传递函数是经拉氏变换的输出与输入 (2-1B-1)此传递函数的定义要求系统是线性的和非时变的，具有连续变量和零起始条件。传递函数最适用于系统是集中参数和当传输延迟不存在或可忽略的情况。在这种条件下，传递函数本身可表示为拉普拉斯复数变量s的两个多项式的比值：对于物理系统，由于系统特性是积分而不是微分，所以N(s)的阶次比D(s)要低。后面我们将看到用于频域的频率传递函数，它是通过把传递函数中拉普拉斯变量s用jwt代换得到的。 在式2-1B-2中，传递函数分母D(s)由于包含系统中所有的物理特征值而被称做特征方程。令D(s)等于0即得到特征方程。特征方程的解决定系统的稳定性和对任一输入下的暂态响应的一般特性。多项式N(s)是表示输入如何进入系统的函数。因而N(s)并不影响绝对稳定性或者暂态模式的数目和特性。 在特定的输入下，它决定每一暂态模式的大小和符号，从而确定暂态响应的图形和输出的稳态值。 对于一个闭环系统，其传递函数为：式中W(s)为闭环传递函数，G(s)H(s)称为开环传递函数，1+G(s)H(s)是特征函数。 传递函数可以通过多种方法求得。一种方法是纯数学的，先对描述元件或系统的微分方程取拉普拉斯变换，然后求解得出传递函数。当存在非零起始条件时将之看作外加输入对待。第二种方法是试验法。通过给系统加上已知的输入，测出输出值，通过整理数据和曲线得出传递函数。某子系统或整个系统的传递函数经常通过对已知的单个元件传递函数的正确合并而得到。这种合并或化简称做方块图代数。 拉氏变换源于工程数学领域，广泛用于线性系统的分析和设计。常系数的常微分方程转变为代数方程可通过传递函数的概念实现。此外，拉氏域更适合于工作，传递函数容易处理、修改和分析。设计人员很快就会熟练地把拉普拉斯域的变化与时域状态联系起来而不需真地解系统方程（时域）。当需要时域解时拉氏变换法可直接使用。解是全解，包括通解和特解，初始条件被自动包含在内。最后，可以很容易从拉氏域转到频域中去。 变换拉氏是从傅立叶积分演变而来，它定义为： (2-1B-4) 这里F(s)是f(t)的拉氏变换。相反，f(t)是F(s)反变换，它们之间的关系可由下式表达， (2-1B-5) 符号s表明拉氏变量是一个复数变量(s+jw)。因此，s有时表示复频，拉氏域称做复频域。 由于式（2-1B-4）的积分是不定积分，因此不是所有函数都可以进行拉氏变换。幸运的是，系统设计者感兴趣的函数通常都可以。拉氏变换的使用条件、理论证明和其他用途可见于工程数学的标准著作中。 式（2-1B-4）的定义可用来找到我们最常见和用到的函数的拉氏变换。为了方便，我们过去常建一个变换对的表，用于简化拉氏域变换和反变换。这里有几条拉氏变换的定理和性质，它们既必需也很有帮助。 1.线性和叠加 式中c和ci都是常数。 2. 微分和积分定理：对时间导数的拉氏变换可写为式中f(0)， df(0)， 等是初始条件。如果初始条件为零，正如控制系统分析和设计的一般情况，最后的方程可缩减为：初始条件为零，它也可缩减为F(s)/s。 3. 初值和终值定理：初值定理表述为在进行拉氏反变换时有用处。终值定理表述为这里fss是f(t)的稳态值。 4. 平移定理：第一个平移定理表明 或 (2-1B-6)式(2-1B-6)表示在拉氏域内移动a个单位，变换后在时域内得到e-a倍。第二个平移定理表明 这个定理在对延迟的输入和信号如传输滞后和由分析函数表示的连续输入很有用。建模分析技术需要数学模型。对于具有有限数目微分方程和用方块图代数表示的时不变线性系统的分析和设计，传递函数是一种方便的模型形式。从描述一个特定对象、过程或元件的微分或积分-微分方程，运用拉氏方程及其性质可以得到传递函数。 我们可以通过一个简单的例子说明：图中输出电压uc由输入电压u激励。根据基尔霍夫定律，二者关系可写为下式图 2-1B-2 一个电力系统运用定理，零初始条件的变换方程如下 求解变换输出与输入的比，即得到系统的传递函数（第二单元）A 稳定性和时域响应简介连续系统或离散系统的稳定性是由其对输入或扰动的响应决定的。直观地说，稳定系统是在没有外部激励时保持静态或平衡的系统，如果去掉所有的激励，系统会返回到静止状态。输出将经过一个过度过程，稳定在一个与输入一致或由其决定的稳态。如果我们将同样的输入加到一个不稳定系统上，输出将不会稳定到稳态过程，它将无限制的增加，通常为指数形式或增幅震荡。稳定性可以由连续系统的脉冲响应或离散系统的Kronecker delta响应如下精确地定义：当时间趋近无穷时，如果脉冲响应为零，则连续系统是稳定的。一个可接受的系统至少应满足三个基本指标：稳定性、精度和满意的暂态响应。这三项标准体现在一个可接受的系统必须对特定的输入和扰动具有满意的时间响应。因此，虽然我们为了方便在拉氏域和频域研究问题，但至少应在定性上将这两个域同时域联系起来。实际上，拉氏域既能提供稳定和不稳定系统的暂态响应信息，也能提供稳定系统的稳态响应的信息。本文讨论拉氏域和时间响应的关系，并重点强调暂态响应，和在拉氏域中建立系统稳定性的判剧。精度将在下一篇文章中讨论，频率响应在以后的单元中讨论。特征方程系统对任何输入的时间响应可表示为下式：式中css(t)是稳态响应，ctr(t)是暂态响应。如果系统是不稳定的，就将没有稳态响应，只暂态响应。没有传输延时的情况下，系统的传递函数可以表示为拉氏复变量s的多项式的比值。 (2-2A-1) 将分母多项式等于零即得到特征方程(2-2A-2) 并可写作因子形式 (2-2A-3)式中ri表示特征方程的根，即使得D(s)等于零的s值。这些根可以是实根、复根或零，如果为复根，则由于微分方程的系数为实数，复根都是成对共扼的。拉氏域中n个不同根的暂态响应如下：(2-2A-4) 在时域中为 后一个方程的每一项被称做暂态模式。每个根都有一个暂态模式，其形状仅由根在s域中的位置决定。因此，系统稳定的充分必要条件就是特征方程根的实部为负。这保证脉冲响应将按指数形式随时间衰减。 劳斯稳定性判剧 劳斯判剧是判断连续系统稳定性的一种方法，适用于形式如下的n阶特征方程的系统。(2-2A-6) 使用劳斯判剧表的准则如下这里是特征方程的系数etc. etc. 这张表向水平（向右）垂直（向下）方向延伸，直到得到的都是零为止。在计算下一行前，任一行都可以乘以一个正常数，这不会影响表的性质。劳斯判剧：当且仅当劳斯表的第一列符号相同时，特征方程的所有根都有负实部。否则，具有正实部根的个数和符号变化的次数相等。赫尔维茨判据是另一种判断连续系统特征方程的所有根都有负实部的方法。实际上，虽然形式或方式不同，它和劳斯判据原理相同，因此它们常被称为：劳斯-赫尔维茨判据。简单滞后：一阶系统对形如式（2-2A-1）的传递函数，系统的阶次被定义为特征方程D(s)的阶次，也就是其中s的最高次幂决定了系统的阶次。简单一阶系统的传递函数为 ，如图2-2A-1示，图2-2A-1 一阶系统如果输入是一个单位阶跃R(s)=1/s，则输出为 因此暂态响应 。 第一项为强制分量，由输入引起，第二项为暂态分量，由系统的极点决定。图2-2A-2 给出了暂态和c(t)。暂态呈指数衰减，常用的表示衰减速度的量是时间常数：图2-2A-2 一阶系统的暂态响应时间常数是衰减指数暂态降到初始值e-1=0.368倍所用的秒数。因为e-t/T=e-1当 t=T时，可以看出简单滞后1/(Ts+1)的时间常数是T秒。实际上，这就是简单滞后传递函数常被写为这种形式的原因。s的系数直接表明衰减的速度，4T秒后，暂态衰减到初值的1.8%。简单滞后有两个重要特征。1. 稳定性：对于系统稳定性，系统极点必须位于s平面的左半边，这样系统暂态衰减，而不是随时间增加而增加。2. 响应速度：加速系统的响应（即减小时间常数）， 极点1/T应左移。时间常数是衰减指数暂态降到初始值e-1=0.368倍所用的秒数。 因为e-t/T=e-1当 t=T时，可以看出简单滞后1/(Ts+1)的时间常数是T秒。实际上，这就是简单滞后传递函数常被写为这种形式的原因。s的系数直接表明衰减的速度，4T秒后，暂态衰减到初值的1.8%。简单滞后有两个重要特征。1. 稳定性：对于系统稳定性，系统极点必须位于s平面的左半边，这样系统暂态衰减，而不是随时间增加而增加。2. 响应速度：加速系统的响应（即减小时间常数）， 极点1/T应左移。多阶滞后：二阶系统这种常见的传递函数通常可以简化为如下的标准形式：(2-2A-7) 式中wn 是无阻尼自然频率，z 是阻尼比。这些参数的意义将被讨论。根据阻尼比，系统特征方程(2-2A-7)的根（极点）有三种可能：z 1: 过阻尼： z =1: 临界阻尼： z 1时，极点在负实轴上wn的两侧，暂态是两个衰减指数的和，每个各有其自己的时间常数。离原点最近的极点对应的指数项具有最大的时间常数，用最长的时间衰减。这个极点称为主极点。z =1时，两极点重合于wn。z 1时，极点沿着以原点为中心，wn为半径的圆周上移动。从图2-2A-3中的三角形，可以看出cosf =wzn/wn=z。输出为 (2-2A-9)图2-2A-4中为对于不同阻尼比z的归一化响应曲线。暂态项为以阻尼自然频率的震荡，其幅值按 衰减。 图2-2A-4 二阶系统中不同阻尼比z的标准响应图重要的性能指标如图2-2A-5所示：稳定时间Ts是响应永久在稳态值上下5%或2%所需的时间Ts=3T (5%)或Ts =4T (2%)。超过稳态值的最大超调量百分比是一项严格的性能指标。图2-2A-5 响应的性能指标令式(2-2A-9)中c(t)的导数为零，得出响应的极值，得到方程：(2-2A-10) 这意味着在各峰值i=1， 3，因为左右相等。因此最大值必在峰值(i=1)，峰值时间Tp为 如果式(2-2A-10)的角度的正切是，其正弦值，将式Eq. (2-2A-11)代入式 (2-2A-9)中得到 上升时间Tr，如式2-2A-5定义为响应第一次达到稳态值的时间，同极值时间Tp紧密相关。应注意到各时间常数Ts，Tp，和Tr同时依赖于wn和z，而P.O.仅依赖于阻尼比z (图2-2A-6)。允许最大超调，和允许最小阻尼比z依赖于实际应用。对于机床进给，超调会导致车刀进入加工件，因此需要阻尼比大于1。但在很多情况下，一定的超调是允许的，由于可缩短时间Tp 和Tr，阻尼比小于1是合适的。阻尼比等于0.7，超调仅为5%，响应达到稳态更快。如果wn增加时阻尼比不变极点会沿圆周外移，稳态时间和上升时间会下降。因此，我们可以通过调整闭环极点来调整暂态响应。 B 稳态稳态误差 控制系统的设计目标是控制一个系统的动态性能，使之响应于命令或扰动。设计者应充分了解稳态方程和误差在整个过程中的作用，同时也应知道它们在被控对象动态性能上的影响。控制系统的精度是对系统跟随控制命令情况的衡量尺度。它是一个重要的性能指标；一个导航系统，如果不能把航天器置于合适的轨道上，它的暂态响应再好也没用。精度通常是按可接受的对特定输入(Er)或扰动(Ed)的稳态误差而定的。误差e(t)定义为期望输出值r(t)和实际输出值c(t)的差。要注意，这里的误差并不一定是启动信号e(t)，除非是单位反馈系统。当系统的暂态结束后，误差e(t)成为稳态误差ess。根据终值定理，时域中的稳态误差可写作下式： (2-2B-1)指定输入的稳态误差对如图2-2B-1中的单位反馈系统，闭环传递函数如下式：(2-2B-2) 式中G=GcGp 是开环传递函数。指定输入的误差E为：(2-2B-3)式中Gr(s)=1/1+G(s)是指定输入的误差传递函数。对开环传递函数G(s)，设有如下的通用式子：(2-2B-4)在这个式子中：1) K 已知，在分子分母多项式中，以常数项出现，使分式单位化，即传递函数G的增益。它和下一节介绍的根轨迹增益不同，后者的最高次幂项的系数是单位值1。 2) G的型数是整数n。分母中s因子代表着积分，型数就是G中积分环节的数目n。3) 增益，根据n的不同取值，通常的惯例，把下列名字和注解与K相联系。n = 0:Kp = position error constant 位置误差常数n = 1:Kv = velocity error constant 速度误差常数n = 2:Ka = acceleration error constant 加速度误差常数式(2-2B-4)显示，结合等式(2-2B-3)，这样式 (2-2B-1)可以写为： (2-2B-5)这样容易得到对应于不同型数和输入的稳态误差表2-2B-1。表 2-2B-1 稳态误差扰动误差实际系统也受非期望输入的影响，比如：控制命令中的噪声，设备运行时由于设备参数变化和运行环境变化引起的扰动。夹杂在控制命令中的噪声输入，需要用滤波技术除去或抑制，使之不影响控制输入本身。我们仅讨论在设备处进入系统的扰动，而不是从控制器中进入的，如图2-2B-2a。以干扰d作为主要输入的重画图如图2-2B-2b。由于系统是线性的，叠加定理成立，我们可以假定r为零。单位反馈系统的扰动传递函数可写作下式：将这个传递函数和d=0的普通输入输出传递函数相比较，如同期望的，其特征方程是一样的，但是分子函数是不同的。因此可知扰动输入不会影响系统的稳定性，但是可以改变暂态响应的形状，并且它要引入到在测量整个系统精度所必须考虑的稳态误差。由于扰动而引起的输出的任何变化都是不希望发生的，扰动误差Ed就是它的实际输出Cd(2-2B-6)系统总误差是输入误差和扰动误差的总和(2-2B-7) 同时减少误差的各方面因素通常是很困难的。很明显，了解一些关于干扰输入特性的知识是相当有必要的。在控制器中加一个积分器，可将式(2-2B-7)中两个误差项置为零。这个附加的积分增加了系统的型，消除了速度型误差。在扰动进入系统的入口处加上积分器，可以消除有扰动输入时阶跃信号引起的稳态误差，如果要系统稳定，这个附加的积分器必须伴有至少一个零点。 （第三单元）A 根轨迹简介控制系统三个基本的性能指标是稳定性、满意的稳态精度和满意的暂态响应。如果已知系统的传递函数，劳斯-胡尔维茨判据会告诉我们系统是否稳定。如果系统稳定，可以确定各种类型输入时系统的稳态精度。为了确定暂态响应的特性，我们需要知道特征方程的根在s 平面上的位置。遗憾的是，特征方程通常不能分解成因式并且是高阶的。根轨迹技术是一种当任意单一参数，如增益或时间常数，从零变到无穷时确定特征方程的根的位置的一种绘图方法。因此，根轨迹不仅提供系统绝对稳定性而且提供稳定裕量的信息，稳定裕量是描述暂态响应特性的另一种方法。如果系统是不稳定的或暂态响应不令人满意，根轨迹给出可能改进响应的方法并很方便地定性描述这些改进的效果。幅角与幅值判据没有传输延迟，系统的传递函数可以简化成两个多项式之比如下 (2-3A-1)根轨迹技术是将特征方程D(s)表示为1和一个新的s的多项式之和。特征方程可以写作 (2-3A-2)公式中K 是我们关注的参数，-z1， -z2， 是开环零点，-p1， -p2， .是开环极点。K 与s 无关，一定不能出现在多项式Z(s)和P(s)中。KZ(s)/P(s)这个形式是重要的，这些极点和零点可能是实数或共轭复根。注意在公式(2-3A-2)中，s的系数总是定为1以用于根轨迹运算。零点是使Z(s)等于零的值，用符号 o 表示。不要自动认为这个零点也是使系统（闭环）传递函数N(s)也等于零的闭环零点；它可能是，但不一定非是。极点是使P(s)等于零的值，用符号 表示。sn 项代表n 重极点，n 个极点都等于零且位于s 平面的原点。特征方程的根以前已经定义为使D(s)等于零的值。由于s 是复变量，亟待和零点可能是复数，KZ(s)/P(s) 是复变函数，因此可用一个有幅值和与其相关的角度或叫幅角的矢量来表示。在公式(2-3A-2)右边的每一个分解因子可被看作具有独自幅值和幅角的矢量，如图2-3A-1所示。注意幅角f是以水平方向为基准、逆时针方向为正来计量的。 如果我们用极坐标表示每一个因子，得到 如果我们合并幅值项并将指数项相乘，得到 (2-3A-3) 注意特征方程公式(2-3A-3)，求解KZ(s)/P(s)得 (2-3A-3)而-1可表示成幅值为1，幅角为奇数倍180的矢量。根据公式(2-3A-3)和(2-3A-4)，我们看到有两个参数使特征方程D(s)等于零，即当K从0增加到无穷大时，有两个参数可以确定系统（闭环）极点。幅值判据：幅角判据绘制根轨迹的规则应用幅角和幅值判据，显然根轨迹可由计算机绘出，但是，我们要介绍根轨迹草图的快速绘制方法。以下规则有助于根轨迹的绘制。1. 当K=0时，闭环极点等于开环极点。2. 当K时，闭环极点趋近开环零点。3. 根轨迹的分支数等于开环极点数。当K=0时，分支起始于每一个开环极点。随着K值的增加，闭环极点位置绘出根轨迹，当K时，根轨迹终止于开环零点。4. 如果开环零点少于开环极点（ji），那些无零点趋近的根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷大。渐近线的条数为（i-j）。5. 可从幅角判据中得到渐近线的方向。从所有m个开环零点和n个开环极点到s的矢量具有相同的角度a。因此渐近线的角度a必须满足 （k=任意整数）。渐近线的角度是均匀分布的。6. 每一条渐近线与实轴有一个交点，与原点的距离为r0 7. 根轨迹对称于实轴，因为复数开环极点和零点都是共轭对。 8.实轴上某个区间右侧实轴上的开环零极点数之和为奇数时，这个区间形成根轨迹，因为这个区间上的任一点满足幅角判据。 9.如果实轴上两个开环极点（或两个开环零点）之间有根轨迹，那么实轴上一定存在分离点（或汇合点）。如果附近没有其它的极点和零点，分离（或汇合）点一定位于两个极点（或两个零点）的中间。在图2-3A-2d中，添加极点p3将会推远分离点，类似地，在p3的位置添加一个零点将会吸近分离点。图 2-3A-2 根轨迹图10. 复数开环极点的出射角（或复数开环零点的入射角）是根轨迹最后一个重要的特征。对图2-3A-3上紧挨着p1的根轨迹上的点应用幅角判据。则有从其它零、极点到这一点的矢量角与它们到p1点的矢量角相同。从p1到这点的角度一定满足如下公式： 出射角： 类似地，入射角：图 2-3A-3 根轨迹的出射角使用根轨迹法作系统设计与补偿根轨迹被用于确定增益以获得预想的阻尼比或时间常数。比例控制设计不改变根轨迹的形状。但如果需要动态补偿，一个串联的补偿器会添加极点和零点到开环极、零点图形中去，以按照预想的方向改变根轨迹的图形。 像图2-3A-4所示的那样，添加一个极点会将根轨迹推离这个极点，添加一个零点会将根轨迹吸近这个零点。随着到原点图 2-3A-4 添加极点或零点的效果距离的减小，它们的作用强度会增加。添加零点可以改善相对稳定性，因为它可以吸引根轨迹、或根轨迹的一部分离开虚轴进入左半平面，较远地离开虚轴。在模拟控制系统中，通常用无源和有源电路来实现这些非常重要的补偿。包含补偿增益，传递函数具有如下形式：相位超前时，zp。图 2-3A-5给出了极-零点图形。相位超前补偿近似于PD （比例-微分）控制，经常用 图 2-3A-5 相位超前和相位滞后举例于降低信号噪声，因此而改善稳定性。相位滞后是一种常用的补偿，例如PI （比例-积分）控制，用来改善精度。但是，相位超前可能也改善精度，相位滞后也改善稳定性。相位超前和相位滞后补偿举例：在图2-3A-6a中，用相位超前代替比例控制，借助于补偿极点的作用，打算“吸引”比例控制的根轨迹分支回到左半平面图 2-3A-6 相位补偿上来。忽略常被置于10倍于零点到原点距离处的附加极点的微弱作用，零点被用来满足补偿的需要。类似地，在相位滞后补偿中也使用一对极-零点。但是，这对极-零点离原点非常近，比图2-3A-6b 所表示的要近得多，画成这样是为了看清楚靠近原点根轨迹的形状。正像到虚线根轨迹上的点的矢量所表示的那样，这样一对极-零点电路对矢量角的影响很小。因此，主要的根轨迹几乎没有什么变化。靠近原点的图形具有图2-3A-4c 的形状。虽然主要的根轨迹几乎没有什么变化，我们感兴趣的增益系数已包含在回路增益函数中，可增加增益系数以改善稳态误差。B 频率响应：奈奎斯特图简介有时在频域而不是在根轨迹的s域开展研究工作是必要或有益的。因为做系统分析时，根轨迹法需要传递函数，但获得某些元件、子系统以致系统的传递函数很困难、甚至是不可能的。在这种情况下，可用实验方法确定在已知频率和幅值的正弦测试波作用下的频率响应。输入信号的性质也影响系统分析和设计方法的选择。许多命令输入仅仅是让系统从一个稳态转移到另一个稳态。这类输入可用位置、速度和加速度恰当的步骤进行充分的描述，并适合在s域作分析。但是，当各个步骤的时间间隔减少到系统没有时间到达每一步输入的稳态时，用阶跃表示法和s域作分析就力不从心了。如此快速变化的命令输入（或扰动）可能是周期的、随机的、或二者并存。例如，跟踪雷达天线的风力负载是由一个随时间变化的平均速度成分与叠加的随机阵风组成的。如果这些输入的频率分布可以计算、检测甚至预测，频率响应可用来确定输入对系统输出的作用。频率响应是一种稳态响应。虽然可以得到某些关于暂态响应的信息，但这些信息只是近似的而且容易判断错误。频率传递函数有必要建立在频域使用的输入-输出关系，即频率传递函数。讨论具有已知传递函数G(s)的线性系统，施加正弦输入或 公式中r0是幅值，w0是输入或强制频率。转换后的输出是C(s)的部分分数展开式为 公式中-r1, -r2, 是传递函数特征方程的根。反变换为公式中头两项代表来自正弦输入的无阻尼振荡，其它项是暂态响应。如果系统是稳定的，暂态响应将随时间衰减到零，留下来的是稳态响应。(2-3B-1)系数C1和C2用海维赛德展开定理求得 将结果代入C1和C2，式(2-3B-1)为 (2-3B-3)因为它们是复变函数公式中角度f是G(jw0)的幅角，等于(ImG/ReG)的余切。式(2-3B-2)现可写成因为括弧内的项等于sin(w0t+f)，稳态响应可以写成从这些公式中我们看到给一个线性稳定系统施加正弦输入会产生一个正弦稳态响应，输入和输出频率相同，但有一个相角位移f 并且幅值可能不同。这个稳态正弦响应被称作系统的频率响应。由于相角是与复变函数G(jw0)相关的角度而幅值比(c0/r0)是G(jw0)的幅值，G(jw0)的情况说明了频域下稳态输入-输出关系。G(jw0)称作频率传递函数并可将传递函数G(s)中的s 用jw0替代而得到。因此，如果通过实验可以确定G(jw0)，将jw0换成s即可得到G(s)。 对一个给定的系统，如果输入频率从零到无穷大每单位时间弧度变化时的幅值比和相角已知，则频率响应可以完全确定。 考虑图2-3B-1传递函数 为 的稳定一阶系统，频率传递函数是 公式中的w可以是任意频率。幅值比是 相角为图 2-3B-1 一阶系统的M, f 和极坐标图当输入频率w从零增加到无穷大时，我们可以画出M 和f随w的变化曲线和极坐标图形， 极坐标图形指的是随w的变化频率传递函数矢量顶端的轮廓线。在频域，极坐标图、M 和f随w的变化曲线被用来表示不同类型的复变函数。注意，在频域作研究时为方便起见，每个因子的常数项定为1，而在s域s的最高次数项的系数被定为1。奈奎斯特稳定判据在频域，留数定理被用来检测右半平面的根。与根轨迹方法一样，特征方程还是用 1+ KZ(s)/P(s) 的形式，同样函数 KZ(s)/P(s) 可以是或不是开环传递函数。为建立奈奎斯特判据，特征方程可写成多项式之比，即 (2-3B-3)比较恒等式(2-3A-2)，我们看到-r1, -r2, 是特征方程的根，-p1, -p2, 是特征方程和KZ(s)/P(s)的极点。为简化起见，原点处的极点和根被忽略。但是，在很多情况下，为找到在s平面极点的位置去分解闭环传递函数D(s)的分母多项式是困难的。为证明D(s)的稳定性，必要且充分的条件是是没有零点（对闭环传递函数是极点）-ri 在s 平面的右半平面。我们引进奈奎斯特轮廓线D 如图2-3B-2所示，它包含了s平面的整个右半平面。D由从-j到+j的虚轴和半径R的半圆组成。从原理上说，稳定性分析是基于在复平面上当s 沿着封闭轮廓线D顺时针旋转一周时绘制1+ KZ(s)/P(s)的图形。因子(s+ri)和(s+pi)是从-ri和-pi到s的矢量，对任意值s，如果ri 已知，1+ KZ(s)/P(s)的幅值和相位可通过测量图2-3B-2的矢量长度和角度用图形法确定。注意在虚轴上s=jw。当s沿虚轴从w=0+ 变化到 w时1+KZ(s)/P(s)的图形就是频率响应函数1+ KZ(jw)/P(jw)的图形。因此频率响应函数可用绘图法确定，根据极-零点分布通过测量得图2-3B-3。图2-3B-2表明：如果s 绕D 顺时针旋转一周，每一个D 内极点和零点所构成的矢量(s+ri) 和 (s+pi)顺时针旋转360；而对每一个D 外极点和零点所构成的矢量(s+ri) 和 (s+pi)则不构成净旋转。如果分子上的矢量(s+r1)顺时针旋转360，这将导致复平面上的矢量1+ KZ(s)/P(s) 顺时针旋转360。如果分母上的矢量(s+p1)顺时针旋转360，这将导致矢量1+ KZ(s)/P(s) 逆时针旋转360。D 外部的极点和零点不会导致任何净旋转。结果表述如下：幅角原理：如果1+KZ(s)/P(s)有R个零点和P个极点在奈奎斯特轮廓图D内，当s沿D顺时针旋转一周时，图形1+KZ(s)/P(s)将按顺时针方向环绕复平面原点N=R-P次。 图形1+KZ(s)/P(s)环绕原点的次数等于图形KZ(s)/P(s)环绕负实轴上-1点的次数。利用这一点，下述结论已得到证明。奈奎斯特稳定判据：如果而且只要回路增益函数KZ(s)/P(s)的图形逆时针环绕-1点的次数等于KZ(s)/P(s)在右半平面的极点数，则这个反馈系统是稳定的，这些在右半平面的极点称作开环不稳定极点。 对KZ(s)/P(s)在虚轴上有极点的临界情况，通过造一个绕着这些极点、半径为无穷小的半圆形缺口将它们排除在奈奎斯特图之外。做法如图2-3B-4所示，这