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欢迎访问我的博客 三角形内心充要条件的证明三角形内心充要条件的表述如下：在如下三角形ABC中，则O为内心的充要条件是：图示1(r为内接圆半径)下面证明： 充分性：充分性表述成，若O为所在平面内的点，当满足条件：时，O即为的内心。证明：即为方向的单位向量，即为方向单位向量，所以即为以和构成角的角平分线。(原因如下图所示：，向量即为以和为边构成的平行四边形的对角线，由于和为单位向量，即构成的平行四边形为菱形，所以即为以和构成角的角平分线)图示2由上面的分析，我们可以得到：即在所在角平分线上，同理可证，、在在和所在角平分线上，即O为内角平分线的交点，即为内心的定义，充分性的证明完毕。 必要性：分析：由上面充分性的证明中的(*)表达式可知，只要由内心的定义证明常数即可。证明：图示3在图示3中，的长度为：在图示1中，的长度为：将用来表示，有：由O为的内心，则在所在角平分线上，因此有：对上式两边取模长，并由(1)可得：由可得：即：按照前面充分性的证明过程逆推：必要性证明完毕。
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