2019-2020学年大庆市让胡路区第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆市让胡路区第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1若集合Mx|log2(x1)1，Nx|()x1，则MN()Ax|1x2 Bx|1x3Cx|0x3 Dx|0x2【答案】A【解析】由log2(x1)1，得0x12,1x3，即Mx|1x3；由()x1，得0x2，即Nx|0x2，所以MNx|1xf（x3）恒成立，则实数m的取值范围是( )A1，4）B（1，4）C（）D【答案】D【解析】根据题意任意两个函数值之和都大于另外一个函数值，考虑临界情况即最小值之和的二倍大于最大值即可，注意分析最值取得的情况.【详解】由题，函数可变形为：，令，考虑函数，根据勾型函数性质，在递减，递增，所以，原函数的值域等价于讨论：的值域，当，恒成立，显然满足题意；当，单调递减，值域为，若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）f（x3）恒成立，即，解得：；当，单调递增，值域为，若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）f（x3）恒成立，即，解得：；综上所述：.故选：D【点睛】此题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于求出函数值域，利用值域区间端点考虑，其中用到换元法，涉及转化与化归思想.10已知函数=2cos（x）（0）满足：f（）=f（），且在区间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：P1：在0，2上单调递减；P2：的最小正周期是4；P3：的图象关于直线x对称；P4：的图象关于点（，0）对称.其中的真命题是( )AP1，P2BP2，P4CP1，P3DP3，P4【答案】B【解析】根据对称性和最值求出函数解析式，即可判定单调性，周期和对称性.【详解】函数=2cos（x）（0）满足：f（）=f（），即对称轴，且在区间（，）内有最大值但没有最小值，且，即，所以，所以，对于P1：，所以在0，2上不单调，P1不是真命题；P2：的最小正周期是4，P2是真命题；P3：不是最值，的图象不关于直线x对称，P3不是真命题；P4：，的图象关于点（，0）对称，P4是真命题.故选：B【点睛】此题考查根据函数图像性质求参数的取值得函数解析式，再讨论函数的单调性，周期性和对称性，综合性强.11已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（）A5个B6个C7个D8个【答案】A【解析】以f（x）1的特殊情形为突破口，解出x1或3或或4，将x+2看作整体，利用换元的思想方法进一步讨论【详解】函数，即f（x），因为当f（x）1时，x1或3或或4，则当a1时，x+21或3或或4，又因为 x+20或x+24，所以，当x+24时只有一个x2与之对应其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1a2时，yf（x）与ya有4个交点，故有8个根；当a2时，yf（x）与ya有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选A【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题12已知数列，满足a1=1，|anan1|（nN，n2），且是递减数列，是递增数列，则6a10=( )ABCD【答案】C【解析】根据单调性分别求出，通过处理，分组求和即可得解.【详解】，是递减数列，是递增数列，所以，所以，即，同理可得：，所以，.故选：C【点睛】此题考查根据数列单调性处理递推公式的符号，求出递推公式，进行分组求和，考查数列性质的综合应用问题.二、填空题13若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是_【答案】【解析】画出前三个不等式构成的不等式组表示的平面区域，求出A，B的坐标，得到当直线x+y=a过A，B时的a值，再由题意可得a的取值范围【详解】如图，联立解得A 当x+y=a过B（1，0）时，a=1；当x+y=a过A时，a=若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则0a1或a.故答案为0a1或a.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14某几何体的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为_.【答案】64【解析】根据三视图设锥体的高为，建立等量关系，整理得，利用基本不等式即可求解.【详解】根据三视图，设锥体的高为，有，两式相减，整理得：，由基本不等式可得：，当且仅当时，取得等号.所以xy的最大值为64.故答案为：64【点睛】此题考查根据三视图特征，根据几何体关系建立等量关系，利用基本不等式求解最值，需要注意等号成立的条件.15点M是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的棱切球（切于正方体各条棱的球）上的一点，点N是ACD1的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是_.【答案】【解析】根据正方体棱切球的特点，求出球心到三角形外接圆周上的点的距离是一个定值，根据球的几何特征即可求解.【详解】根据正方体的几何特征，其棱切球的球心就是体对角线的中点，且到ACD1所在平面距离为ACD1的边长为，根据正弦定理，其外接圆的半径为，所以球心到ACD1的外接圆上任意一点的距离都为，正方体棱长为2，该棱切球的半径为，所以线段MN长度的取值范围是.故答案为：【点睛】此题考查球面上的点到某点距离的最值问题，关键在于转化为球心到点的距离关系求解，此题需要熟练掌握正方体的内切球，外接球，棱切球的几何关系.16若点A（x，y）满足C：（x+3）2+（y+4）225，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，|的最小值为_.【答案】【解析】设B关于P点对称点为B，将模长最值问题转化为求圆心到直线3x+4y32=0的距离问题求解.【详解】如图所示：设B关于P点对称点为B（x，y），B（x0，y0），由题意可知，解得，由B在直线3 x0+4 y0=12，代入整理得3x+4y32=0，所以，若点A满足C：（x+3）2+（y+4）225，点A在圆C内或圆上，则所以|最小值为圆C的圆心到直线3x+4y32=0的距离减去半径，所以|min5，所以|的最小值故答案为：【点睛】此题考查求距离的最值问题，以向量为背景，通过几何关系进行转化，转化为求圆及其内部的点到直线距离的最值问题，涉及数形结合思想.三、解答题17函数y=x2+ax+b的图象与坐标轴交于三个不同的点A、B、C，已知ABC的外心在直线y=x上，求a+b的值.【答案】【解析】根据外心的几何意义可得，外心在直线x上，由题可得知ABC的外心在直线y=x上，外出外心坐标，根据几何意义建立方程求解.【详解】设外心为点P，由y=x2+ax+b，可得函数的对称轴为x，ABC的外心在直线x上，ABC的外心在直线y=x上，外心P的坐标为（，），对于y=x2+ax+b，令x=0，则y=b，C（0，b），设A（m，0）（m0），B（n，0），（n0）则m+n=a，mn=b|PA|2=（m）2a2=（m）2a2，|PB|2=（n）2a2=（n）2a2，|PC|2=（b）2a2=（b）2a2，（m）2a2=（b）2a2=（n）2a2，整理可得m=b，n=ab，mn=m=b，n=1，a+b=.【点睛】此题考查根据二次函数和三角形外接圆的几何特征求参数的值，涉及韦达定理与距离公式的综合应用.18ABC的内角的对边分别为,已知ABC的面积为(1)求;(2)若求ABC的周长.【答案】(1)(2) .【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.19在平行四边形ABCD中，AB=1，AD，且BAD=45，以BD为折线，把ABD折起，使ABDC，连接AC，得到三棱锥ABCD.(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)求二面角BACD的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)60.【解析】（1）通过证明AB平面BCD，得面面垂直；（2）取BC中点E，过点E作EFAC交AC于点F，连接DE，DF，EF，证明DFE为所求二面角，即可计算求解.【详解】(1)证明：AB=1，AD，且BAD=45，BD=1，则AD2=AB2+BD2，即ABBD，又ABDC，BDDC=D，且都在平面BCD内，AB平面BCD，AB在平面ABD内，平面ABD平面BCD；(2)取BC中点E，过点E作EFAC交AC于点F，连接DE，DF，EF，BD=CD=1，DEBC，AB平面BCD，DE平面BCD，ABDE，ABBC=B，且都在平面ABC内，DE平面ABC，AC平面ABC，ACDE，又EFAC，DEEF=E，且都在平面DEF内，AC平面DEF，DFE为所求二面角，在RtDEF中，DEF=90，DFE=60，即二面角BACD的大小为60.【点睛】此题考查折叠问题中的证明与计算，考查证明面面垂直的方法，求二面角需要注意口诀“一作二证三计算”.20已知数列an是等差数列，Sn为an的前n项和，且a10=19，S10=100；数列bn对任意nN，总有b1b2b3bn1bn=an+2成立.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记cn=（1）n，求数列cn的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n1， ；(2) .【解析】（1）列方程组解等差数列的首项和公差，再求bn的通项公式；（2）裂项，分奇偶讨论求和.【详解】(1)设an的公差为d，则a10=a1+9d=19，解得a1=1，d=2，所以an=2n1，所以b1b2b3bn1bn=2n+1当n=1时，b1=3，当n2时，b1b2b3bn1=2n1两式相除得因为当n=1时，b1=3适合上式，所以.(2)由已知，得则Tn=c1+c2+c3+cn，当n为偶数时， ，当n为奇数时， .综上：.【点睛】此题考查求等差等比数列的通项公式，根据数列关系求和，涉及裂项求和，分奇偶讨论，综合性较强.21如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为求证：sin=sinsin【答案】（1）l平面PAC，见解析 （2）见解析【解析】（1）直线l平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC，又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC而EF平面BEF，且平面BEF平面ABC=l，所以EFl因为l平面PAC，EF平面PAC，所以直线l平面PAC（2）（综合法）如图1，连接BD，由（1）可知交线l即为直线BD，且lAC因为AB是O的直径，所以ACBC，于是lBC已知PC平面ABC，而l平面ABC，所以PCl而PCBC=C，所以l平面PBC连接BE，BF，因为BF平面PBC，所以lBF故CBF就是二面角ElC的平面角，即CBF=由，作DQCP，且连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQFD连接CD，因为PC平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即CDF=又BD平面PBC，有BDBF，知BDF=，于是在RtDCF，RtFBD，RtBCF中，分别可得，从而（2）（向量法）如图2，由，作DQCP，且连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（1）可知交线l即为直线BD以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有于是，=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF的一个法向量为，所以由可得于是，从而故，即sin=sinsin22已知曲线Cn：x22nx+y2=0，（n=1，2，）.从点P（1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.(1)求数列xn与yn的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)xn，yn；(2)证明见解析.【解析】（1）联立直线和曲线方程通过判别式求出kn，即可求得切点坐标公式；（2），利用放缩法，即有，证明左侧不等式，构造函数f（x）=xcosx，利用单调性证明右侧不等式.【详解】(1)设直线ln：y=kn（x+1），联立x22nx+y2=0，得