《向量》复习.doc

三、向量复习（一）向量有关概念： 向量的定义（大小和方向）、区分共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量，特殊的两个向量：零向量和单位向量，注意向量的平行不具有传递性，零向量与任一向量是共线的；不可以说零向量与任一向量方向相同或相反或垂直，因为零向量的方向是任意的！1、（提纲12月9日例1）判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.（1）若|a|,则ab； （2）单位向量都相等； （3）若|a|=0,则a=0；（4）方向不相同的两个向量一定不平行；（5）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；（6）若a与b不平行，则a与b都是非零向量；（7）任一向量与它的相反向量不相等；（8）若两个向量不相等，则他们一定不共线；（9）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；（10）四边形ABCD是平行四边形一定有；（11）若ab，则一定有|a|=|b|，且a与方向相同；（12）若|a|=|，且ab，则ab；（13）若ab，bc，则ac；（14）若ab，bc，则ac；2、（限12月9日23）如图，在54的矩形（每个小方格都是单位正方形）中，则起点和终点在小方格的顶点处的向量与平行，且模为的向量个数为_ 3、下列命题：（1）若，则；（2）若两个向量相等则它们的起点相同，终点相同；（3）与平行，与的方向相同或相反；（4）若，则是平行四边形；（5）若是平行四边形，则；（6）若，则；（6）若，则；其中正确的是_（二）向量的几何运算 向量的加法：三角形法则（首尾相连，首尾连）和平行四边形法则（共起点，对角线），三角形法则适用于作任意两个向量的和向量，而平行四边形法则只适用于不共线的两个向量作和向量；注重加法的连贯性，以及相等向量的相互替换，还要注意其几何意义的应用即在特殊图形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形）中的应用.4、（提纲12月10日学习：辨别正误）(1)如果非零向量a与b共线，那么a+b的方向必与a，b之一的方向相同(2)ABC中，必有0.(3)若0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点(4)若a，b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等（5）()()（6）若向量a与b方向相反，且|a|b|0，则向量ab的方向()A与向量a方向相同 B与向量a方向相反C与向量b方向相同 D与向量b方向相反9、（限12月10日11）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.， B.C. D.10、（限12月10日19）如图，在正六边形ABCDEF中，a，b，用a 、b 表示.11、（限12月10日14）已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么()A. B.2 C.3 D212、（限12月10日15）设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.向量的减法：三角形法则（共起点，连终点，指被减）13、（提纲12月11日例1）化简：（1） （2） 14、平行四边形中，用a、b表示向量.（1） 当a,b满足什么条件时，a+b， a-b互相垂直？（2） 当a,b满足什么条件时，|a+b|=| a-b|?（3） a+b， a-b有可能是相等的向量吗?为什么?15、化简：_；_；_16、（限12月11日9）下列命题中，真命题的个数为(其中a0，b0) ()|a|b|ab|a与b方向相同 |a|b|ab|a与b方向相反|ab|ab|a与b有相等的模 |a|b|ab|a与b方向相同A0 B1 C2 D317、（限12月11日16）若|a|b| ab |1，则| ab |.18、（限12月11日14）点是内一点，若，则O是三角形的_心.19、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_. （三）向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算称为向量的线性运算，运算的结果还是向量；注意向量共线定理的应用，找到向量的数量关系是做题的关键，特别是用已知向量表示未知向量时，一定要往已知向量上靠拢，利用加法和减法进行向量的分解与合成，注意到一些关键性的语言，比如中点，三等分点，中位线，还有特殊的图形：平行四边形、菱形、矩形等。还有可能涉及到给出的向量式子相对繁杂，那么要先化简，进行移项合并，然后再利用向量的几何意义，数形结合做题。三点共线的结论：要证三点A、B、C共线只需证共线 ，且有公共点B20、（提纲12月20日例2）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，利用a， b表示向量.（提示：利用相似找出相似比）21、（提纲12月20日变式1）设 M 是ABC 的重心，则=（ ） A B C D 22、（提纲12月20日变式2）在平行四边形ABCD中，e1，e2，则_(用e1，e2表示)23、（提纲12月13日例1）如图，以向量a，b为邻边作平行四边形OADB，用a，b表示，.24、（提纲12月15日）已知, ,点在线段AB上，且,设,则的值为（ ）A. B. C. D. 25、（第三次调研考试20）如下图所示，四边形ABCD是一个梯形，O为AC、BD的交点，AD=4，BC=6，AB=2，设与同向的单位向量为,与同向的单位向量为,以，为基底表示下列向量：，.26、已知中，点在边上，且，则的值是_ _ _.27、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_. 28、在ABC中，c，b，若点D满足2，则 ()A.bc B.cb C.bc D.bc29、已知ABC和点M满足0，若存在实数m，使得m成立，则m .（注意到重心的表示形式以及重心结论的应用）30、在ABC所在的平面上有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是_（化繁为简，利用图形的相似比做题）（四）向量基本定理和夹角问题：基底要求不共线。关注向量的夹角是共起点的角才是夹角，注意其范围是，不要在求出角后给其加周期！在计算向量数量积时要特别关注夹角问题。31、（提纲12月15日例1）设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2； 0与 e12e2；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 32、（第三次调研考试15）设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可以作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是_.33、（第三次调研考试17）如图，平面内有三个向量、,其中与的夹角为120， 与的夹角为30,且|1，| ，若+（，R）,则+的值为 . 34、（第三次调研考试16）己知 | a |= 1,| b |= 2, a与b的夹角为120, a+b+c=0,则a与c 的夹角为_ . 35、已知|a|=1,|b|=2,c=a+b,ca,则a与b的夹角大小为（ ）A. B. C. D. 36、设非零向量a、b满足|a|=|b|=|a+b|,则向量a与a+b的夹角为 ，a与a-b的夹角为 ，a与b-a的夹角为 ； （五）向量的坐标表示及运算：向量是一个几何图形，把它坐标化之后就让数和形相结合了，注意向量的坐标书写形式与点的坐标书写的不同，以及向量的坐标是终点坐标减起点坐标.37、（提纲12月17日例3）已知A（-2，1），B（1，3），点M，P，Q分别是有向线段AB的中点和三等分点，且求点M，P，Q的坐标。38、(第三次调研考试)设点是线段上的一点， 的坐标分别是.当点是线段的一个四等分点时，求点的坐标. 39、若，则_ .40、已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上41、设，且，则C、D的坐标分别是_. （六）向量共线的坐标表示： 0。42、（提纲12月12日例2）设非零a、b是不共线，设a+b，2a+8b，3(a-b),求证A、B、D三点共线；43、（提纲12月17日例1）给定两个向量，若与共线，求的值. 44、（提纲12月20日例2）设向量求当为何值时，三点共线.45、（提纲12月20日例3）平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求k。46、（提纲12月20日例5）设O为ABC内任一点，且满足230.若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O共线；47、若向量，当_时与共线且方向相同.（七）平面向量的数量积：定义式： ，关注向量的夹角！规定：零向量与任一向量的数量积是0。注意数量积是一个实数，不再是一个向量；数量积可以用来求夹角，也可以判断三角形的形状，若说明夹角为锐角；若 则为钝角；若 则为直角；注意投影的概念也是一个难点，例如在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0;数量积的一个重要应用就是垂直关系的获得，三角形垂心的结论就是利用数量积得出来的，只要出现数量积我们就应当留心，对式子进行化简移项处理，合并之后通常利用几何意义判断图形的特殊性，特别关注等腰或等边三角形、直角三角形，平行四边形、菱形、矩形等。若.（）48、（提纲12月20日例4）已知| a |=2，| b |=3，且a与b夹角为，试确定，使向量a +k b与ka +b互相垂直？49、（提纲12月19日例4）在ABC中，=a，=b ，若ab0,则三角形的形状为_.50、（提纲12月19日）若，的夹角为（ ）A. B. C. D. 51、（限时练12月19日15)已知平面上三点A、B、C满足则的值等于_. 52、（限时练12月29日16）已知向量a(1，2)，b(2，)，且a与b夹角为锐角，则实数的取值范围是_53、已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是 .54、已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|_.55、ABC中，则_.56、已知，与的夹角为，则等于_. 57、已知，则等于_ 58、已知是两个非零向量，且，则的夹角为_59、若四边形ABCD满足则该四边形的形状为 （八）向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；60、已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为 （2），特别地，当同向或有一个为；当反向或有一个为；当不共线(这些和实数比较类似).（3）三角形四心：外心指三角形外接圆的圆心，到三角形的三个顶点距离相等，是三角形各边垂直平分线的交点；内心指三角形内切圆的圆心，到三角形的三条边的距离相等，是三角形各角平分线的交点；重心是三角形各边中线的交点，将中线分为上：下=1：2；垂心是三角形各边高线的交点，在中， 若，则其重心的坐标为。特别地为的重心；为的垂心； 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；是的内心；61、（提纲12月31日）（1）若G是所在平面上一点,则点G是的 重 心;（2）若是所在平面上一点，则是的 外 心;（3）若是所在平面上一点，若，则是的 垂 心.62、已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则 ABC的内角A等于()A30 B60 C90 D12063、（提纲12月13日例4）如图,点M是ABC的重心,则为（ ）A0 B4 C4 D4 64、若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_65、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ,0,+)，则点P的轨迹一定通过ABC的( ) (A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心66、若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_（九）向量中的一些常用方法：1、将已知向量坐标化或者拆分向量.67、（提纲12月31日例3）在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD的中点，则_. 68、如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,求的值 69、（提纲12月30日例2）在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，求证：.2、 向量与函数结合，建立函数表达式，求函数最值。70、在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_.A. 1 B. 0 C . 2 D .171、已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上一点P，使有最小值，则P点的坐标是_答案：1、（6）、（10）、（11）、（14）2、40 3、注：（3）是错误的，因为零向量与任意向量平行，而零向量方向任意。答案：（4）（5）（6） 4、正确的是（2）、（5）5、A 6、B 7、C 8、A 9、C 10、， 11、A 12、B 13、（1）（2） 14、，不可能15、； 16、C 17、 18、重心 19、2 20、21、D 22、 23、 26、0 27、 28、A 29、3 30、2：3 31、 32、 33、6 34、90。