2018-2019学年无锡市锡山区天一中学高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二下学期期末数学（理）试题一、填空题1已知集合,则_.【答案】【解析】直接进行交集的运算即可【详解】解：A2，3，4，B3，5；AB3故答案为：3【点睛】考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题.2在极坐标系中，点到直线的距离为_.【答案】【解析】把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离【详解】解：点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线（cos+sin）6的直角坐标方程为 x+y60，利用点到直线的距离公式可得，点A（2，）到直线（cos+sin）6的距离为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题3若是的必要不充分条件,则的取值范围是_【答案】【解析】根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的关系进行求解,即可求得答案.【详解】若是的必要不充分条件则即即的取值范围是:.故答案为:.【点睛】本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围,考查了分析能力,属于基础题.4函数在点处切线的斜率为_【答案】【解析】求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为，故答案为【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题5从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是_.【答案】【解析】基本事件总数n10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，基本事件总数n10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m7，抽中的2人不全是女生的概率p故答案为：【点睛】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象，则的值是_.【答案】0【解析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值【详解】解：将函数f（x）sin（2x+）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）sin2（x）+cos2x的图象，则g（）cos（2）0，故答案为：0【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数yAsin（x+）的图象平移变换，属于基础题7函数在上的减区间为_【答案】【解析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为,结合正弦函数图像,即可求得函数的减区间.【详解】 函数 根据正弦函数减区间可得: , 解得:,故函数的减区间为: 再由,可得函数的减区间为故答案为:【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题.8已知函数是定义在上的周期为的奇函数,时,则_【答案】【解析】根据题意,由函数的奇偶性与周期性分析可得,结合解析式求出的值,又因为,即可求得答案.【详解】根据题意,函数是定义在上的周期为的奇函数,则, 函数是定义在上的奇函数 又由,时,则,则 故答案为:【点睛】本题考查通过奇函数性质和周期函数性质求值,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.9己知矩阵，若矩阵C满足，则矩阵C的所有特征值之和为_.【答案】5【解析】本题根据矩阵乘法运算解出矩阵C，再依据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和【详解】解：由题意，可设C，则有即，解得Cf（）（1）（4）+225+6（2）（3）0，特征值12，231+22+35故答案为：5【点睛】本题主要考查矩阵乘法运算及依据特征多项式求出特征值，本题不难，但有一定综合性本题属基础题10已知函数 ,若对任意,存在,，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】利用导数求函数f（x）在（1，1）上的最小值，把对任意x1（1，1），存在x2（3，4），f（x1）g（x2）转化为g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解【详解】解：由f（x）exx，得f（x）ex1，当x（1，0）时，f（x）0，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，f（x）minf（0）1对任意x1（1，1），存在x2（3，4），f（x1）g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函数g（x）x2bx+4的对称轴为x当3，即b6时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）g（3）133b，由133b1，得b4，4b6；当4，即b8时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）g（4）204b，由204b1，得b，b8；当34，即6b8时，g（x）在（3，4）上先减后增，由1，解得或b，6b8综上，实数b的取值范围为4，+）故答案为：4，+）【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题11用长度分别为的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是_.【答案】【解析】在四边形ABCD中，设ABa，BCb，CDc，DAd，A+C2，利用余弦定理可得 SABCD2+（a2+d2b2c2）2（ad+bc）2abcdcos2（ad+bc）2，设a3，b4，c5，d6，代入计算可得所求最大值【详解】在四边形ABCD中，设ABa，BCb，CDc，DAd，A+C2，由SABCDSBAD+SBCDadsinA+bcsinC，在ABD中，BD2a2+d22adcosA，在BCD中，BD2b2+c22bccosC，所以有a2+d2b2c22adcosA2bccosC，（a2+d2b2c2）adcosAbccosC，2+2可得SABCD2+（a2+d2b2c2）2（a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcdsinAsinC）+（a2d2cos2A+b2c2cos2C2abcdcosAcosC） a2d2+b2c22abcdcos（A+C） （ad+bc）22abcd2abcdcos2（ad+bc）2abcdcos2（ad+bc）2当90，即四边形为圆内接四边形，此时cos0，SABCD取得最大值为由题意可设a3，b4，c5，d6则该平面四边形面积的最大值为S6（cm2），故答案为：6【点睛】本题考查四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积取得最大值，是解题的关键，属于难题12在中，若，则的最大值为_.【答案】【解析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【详解】在ABC中，有,所以=,当即时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换.二、解答题13甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.答：甲同学购买3种书籍的概率为.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.则，所以，所以.，.所以X的概率分布为X012P.答：所求数学期望为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.14如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB，D，E分别是AB，BB1的中点，且ACBCAA12（1）求直线BC1与A1D所成角的大小；（2）求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出,根据,即可求得直线BC1与A1D所成角的大小;（2）由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,求出平面的法向量,求和的夹角,即可求得答案.【详解】（1）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图:则由题意可得:，又分别是的中点， 直线BC1与A1D所成角的大小.（2）设平面法向量为 由，得,可取又 直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中异面直线夹角,线面所成角的求法.根据题意画出几何图形,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.15已知函数.（1）当a=2，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；(2) 【解析】（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可【详解】（1）当a=2时，令，解得x=1. 列表：x10+极小值所以，当x=1时，有极小值，没有极大值（2）因为. 所以，.当时，所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意， 当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即为最小值.1当时，在上单调递减，在上单调递增，只有一个零点，不合题意； 2当时，故，最多有两个零点.注意到，令,取，使得，下面先证明；设，令，解得.列表x0+极小值所以，当，有极小