人教A版必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件（29张）.ppt

2 3 1直线与平面垂直的判定 一 二 三 一 直线与平面垂直的定义 问题思考 1 如图 阳光下直立于地面的旗杆ab与它在地面上的影子bc的位置关系是什么 随着太阳的移动 旗杆ab与影子bc所成的角度会发生改变吗 提示 垂直关系 所成的角度不变 都为90 一 二 三 2 如图 旗杆ab与地面上任意一条不过旗杆底部b的直线b c 的位置关系又是什么 依据是什么 由此得到什么结论 提示 垂直关系 依据是异面直线所成角的定义 得到的结论是 如果一条直线与平面垂直 则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线 一 二 三 3 填表 直线与平面垂直的定义 一 二 三 二 直线和平面垂直的判定定理 问题思考 1 如图 直线l与平面 内的无数条直线a b c 都垂直 直线l与平面 一定垂直吗 为什么 提示 不一定 当平面 内的无数条直线a b c 都互相平行时 直线l在保证与直线a b c 都垂直的条件下 与平面 可能垂直也可能斜交 一 二 三 2 请同学们准备一块三角形的纸片 我们一起来做如图所示的试验 过 abc的顶点a翻折纸片 得到折痕ad 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 bd dc与桌面接触 问 折痕ad与桌面垂直吗 如何翻折才能保证折痕ad与桌面所在平面 垂直 提示 从实验可知 当ad与bc不垂直时 翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕ad与桌面不垂直 当ad与bc垂直时 翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕ad与桌面垂直 3 由折痕ad bc 翻折之后垂直关系不变 即ad cd ad bd 由此你能得到什么结论 提示 若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交 则该直线垂直这个平面 一 二 三 4 填表 直线和平面垂直的判定定理 一 二 三 5 做一做 若三条直线oa ob oc两两垂直 则直线oa垂直于 a 平面oabb 平面oacc 平面obcd 平面abc解析 由线面垂直的判定定理知oa 平面obc 答案 c 一 二 三 三 直线与平面所成的角 问题思考 1 平面的斜线 斜足是怎样定义的 斜线在平面上的射影是如何定义的 什么是斜线与平面所成的角 提示 如图 一条直线pa和一个平面 相交 但不和平面 垂直 这条直线pa叫做这个平面 的斜线 它们的交点a叫做斜足 过斜线pa上斜足a以外的一点p向平面 引垂线po 过垂足o和斜足a的直线ao叫做斜线pa在平面 上的射影 斜线pa和它在平面 上的射影ao所成的锐角 pao 叫做斜线pa和平面 所成的角 一 二 三 2 直线与平面所成的角 的取值范围是什么 提示 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角等于90 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角等于0 因此 直线与平面所成的角 的范围是0 90 一 二 三 3 做一做 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 直线ab1与平面abcd所成的角等于 ab1与平面add1a1所成的角等于 ab1与平面dcc1d1所成的角等于 解析 b1ab为ab1与平面abcd所成的角即45 b1aa1为ab1与平面add1a1所成的角 即45 ab1与平面dcc1d1平行 即所成的角为0 答案 45 45 0 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线 那么这条直线和这个平面垂直 2 若直线垂直于平面内的两条直线 则这条直线与平面垂直 3 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线 则这条直线垂直于两底边所在的直线 4 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线 则这条直线垂直于两腰所在的直线 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明直线与平面垂直 例1 如图所示 ab bc abc所在平面外有一点s 且sa sb sc ac中点为d 求证 sd 平面abc 思路分析 先由等腰三角形sac及d为边ac的中点 得sd ac 再由 sda sdb 得sd db 证明 sa sc d为ac中点 sd ac 在rt abc中 ad dc bd 又sa sb sda sdb sda sdb 即sd db 又ac bd d sd 平面abc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判定直线与平面垂直 可以用定义 就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直 但这种方法一般不用 最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理 根据定理 只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可 另外 判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用 1 两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若一条直线与两平行平面中的一个面垂直 则它与另一个平面也垂直 探究一 探究二 探究三 思维辨析 在本例条件下 若ab bc 求证 bd 平面sac 证明 ba bc d为ac中点 bd ac sd 平面abc bd 平面abc bd sd ac与sd都在平面sac内且相交 bd 平面sac 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明两直线垂直 例2 如图 已知矩形abcd 过a作sa 平面ac 连接sb sc sd 再过a作ae sb交sb于点e 过e作ef sc交sc于点f 连接af 求证 af sc 思路分析 要证af sc 可证sc 平面aef 又ef sc 只需证ae sc 只需证ae 平面sbc 又ae sb 只需证ae bc 最后只需证bc 平面sab 又bc ab bc sa 结论得证 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 sa 平面ac bc 平面ac sa bc 四边形abcd为矩形 ab bc 又sa ab a bc 平面sab ae 平面sab bc ae sb ae 且sb bc b ae 平面sbc sc 平面sbc ae sc ef sc 且ae ef e sc 平面aef 又af 平面aef af sc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟直线和平面垂直的定义具有双重作用 判定和性质 判定是指 如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直 那么直线就与平面垂直 性质是指 如果一条直线垂直于一个平面 那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线 即a b a b 由直线与平面垂直的定义及判定定理 就可以由线线垂直得到线面垂直 再由线面垂直得到线线垂直 即得到线线垂直与线面垂直的相互转化 因此 要证明两条直线垂直 无论它们是异面还是共面 通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求直线与平面所成的角 例3 已知四面体abcd的棱长都相等 q是ad的中点 则cq与平面bcd所成的角的正弦值为 思路分析 作ao 平面bcd 垂足为o 连接od 取od中点p 连接qp cp qcp就是斜线cq与平面bcd所成的角 求出sin qcp 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 过点a作ao 平面bcd 垂足为o 连接ob oc od 取od中点p 连接qp cp 由ao 平面bcd 四面体的棱长都相等知点o是三角形三边垂直平分线的交点 也是三角形角平分线的交点 q是ad中点 p是od中点 qp ao ao 平面bcd qp 平面bcd qcp就是cq与平面bcd所成的角 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 求斜线与平面所成的角的步骤是 1 作图 作 或找 出斜线在平面上的射影 将空间角 斜线与平面所成的角 转化为平面角 两条相交直线所成的锐角 2 证明 证明找出的平面角是斜线与平面所成的角 3 计算 通常在垂线段 斜线和射影所组成的直角三角形中计算 2 在上述步骤中 作角是关键 而确定斜线在平面内的射影是作角的关键 几何图形的特征是找射影的依据 图形中的特殊点是突破口 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练如图 在rt bmc中 斜边bm 5 它在平面abc上的射影ab长为4 mbc 60 则mc与平面cab所成角的正弦值为 解析 由题意知 a是m在平面abc内的射影 ma 平面abc mc在平面cab内的射影为ac mca即为直线mc与平面cab所成的角 在rt mbc中 bm 5 mbc 60 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明线面垂直不严密而致错 典例 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面abc ac bc d是ab的中点 连接cd 求证 cd 平面abb1a1 错解 aa1 平面abc cd 平面abc cd aa1 bb1 aa1 cd bb1 又aa1 平面abb1a1 bb1 平面abb1a1 cd 平面abb1a1 提示 以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 如何防范 错解 中aa1和bb1是平面abb1a1内的两条平行直线 不是相交直线 故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 aa1 平面abc cd 平面abc cd aa1 ac bc d是ab的中点 cd ab 又ab 平面abb1a1 aa1 平面abb1a1 ab aa1 a cd 平面abb1a1 防范措施证明线面垂直时 所满足的条件必须是明显的或已经证明成立的 且和直线与平面垂直的判定定理的条件严格一致 否则会导致证明不完整 1 2 3 4 1 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 则能保证该直线与平面垂直的是 a b c d 解析 三角形的两边 圆的两条直径一定是相交直线 而梯形的两边 正六边形的两条边不一定相交 所以保证直线与平面垂直的是 答案 a 1 2 3 4 2 已知直线a 平面 直线b 平面 则a与b的关系为 a a bb a bc a b相交不垂直d a b异面不垂直解析 由b 过b作平面 使 c 则b c 且c a a c a b 答案 b 1 2 3 4 3 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc aa1 1 则bd1与平面a1b1c1d1所成的角的大小为 解析 如图所示 连接b1d1 则b1d1是bd1在平面a1b1c1d1上的射影 则 b