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高一数学必修一知识点总结图文原创 高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明 (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1.用拉丁字母表示集合A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法列举法与描述法。 注意常用数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a?A列举法把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法例不是直角三角形的三角形数学式子描述法例不等式x-32的解集是x?R|x-32或x|x-32 4、集合的分类1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例x|x2=5 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意有两种可能 （1）A是B的一部分，； （2）A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2“相等”关系(55，且55，则5=5)实例设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即A=B任何一个集合是它本身的子集。 A?A真子集:如果A?B,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)如果A?B,B?C,那么A?C如果A?B同时B?A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB 2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。 记作AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB 3、交集与并集的性质AA=A,A=,AB=BA，AA=A,A=A,AB=BA. 4、全集与补集 （1）补集设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作A即A=x|xS且x?A （2）全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。 通常用U来表示。 （3）性质)()()(B AC BC ACU UU?C)()()(B AC BC ACU UU?5集合的表示 （1）维恩图 （2）数轴注意以上两种表示方法在求集合的运算时作用非常大！第一章集合主要学会交，并，补的运算。 二、函数的有关概念1函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数记作y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域注意2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. （6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意求出不等式组的解集即为函数的定义域。 )构成函数的三要素定义域、对应关系和值域再注意 （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3.函数图象知识归纳 (1)定义在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C=P(x,y)|y=f(x),xA图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法A、描点法根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变 (3)作用 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。 提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4了解区间的概念 （1）区间的分类开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应fAB为从集合A到集合B的一个映像。 记作“fAB”给定一个集合A到B的映像，如果aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射fAB来说，则应满足（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法必须注明函数的定义域；3图象法描点法作图要注意确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意解析法便于算出函数值。 列表法便于查出函数值。 图象法便于量出函数值补充一分段函数（参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则y=fg(x)=F(x)，(xA)称为f、g的复合函数。 学会判断符合函数的单调性同增异减7函数单调性 （1）增函数设函数y=f(x)的定义域为R，如果对于定义域R内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 （2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法1任取x1，x2D，且x1 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性 （1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 （2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数注意1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） （3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称总结利用定义判断函数奇偶性的格式步骤1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f(x)与f(x)的关系；3作出相应结论若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，则f(x)是奇函数注意函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定.一点通1判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称对于类似于f(x)logag(x)的函数，利用f(x)f(x)0来判断奇偶性较简便2判断函数的单调性利用单调性的定义3奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相反 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）.求函数的解析式的主要方法有待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10函数最大（小）值1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值尤其是三类 （1）区间定对称轴定 （2）区间定对称轴动 （3）区间动对称轴定在此要还注意分类讨论的情况2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章基本初等函数 一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根其中n1，且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用符号na表示式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成na（a0）由此可得负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0。 注意当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念一般地，函数y=a x叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1注意图象特征函数性质1.向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R2.图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数3.函数图象都在x轴上方4.函数的值域为R+5.函数图象都过定点（0，1） 二、对数函数（一）对数1对数的概念一般地，如果a=N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log aN（a底数，N真数，log对数式）两个重要对数lg、ln1常用对数以10为底的对数；2自然对数以无理数为底的对数的对数e?2.71828（二）对数函数图像及性质 1、对数函数的概念函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别图象特征，函数性质1.函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，）2.图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数3.向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R4.函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升，自左向右看，图象逐渐下降5对数恒等式6对数值比较大小常用的方法 (1)直接法利用对数函数的单调性比较大小 (2)作商法将同号的两数相除，其商再与1比较大小 (3)作差法可利用对数的运算，比较其差与1的大小 (4)搭桥法主要根据对数函数值分析借助于“0”和“1”比较大小（三）幂函数logba ab?log,a NaN? 1、幂函数定义一般地，形如y=x a的函数称为幂函数，其中a为常数 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间(0,+)上是增函数特别地， （3）a0时，幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；并且在0，)上都是增函数1比较大小比较对数大小的思路 (1)底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小； (2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小； (3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”2如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关系是()一点通1作函数图像的基本方法是列表描点法另外，对形如yf(|x|)的图像可先作出yf(x)的图像在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图像，即可得到yf(|x|)的图像y|f(x)|的图像可先作出yf(x)的图像，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y|f(x)|的图像2如果只需要作出函数的大致图像时可采用图像变换注意以上三个函数一定要非常熟悉它们的图像及其性质第三章函数的应用、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念对于函数y=f(x)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 2、函数零点的意义函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。 即方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x轴有交点,函数y=f(x)有零点函数零点存在结论若函数y=f(x)的图象在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 3、函数零点的求法求函数的零点1（代数法）求方程的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点二次函数1）0，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与y=ax2+bx+c=0轴有两个交点，二次函数有两个零点2）0，方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数y=ax2+bx+c=0的图象与X轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3）0，方程ax2+bx+c=0无解，二次函数y=ax2+bx+c=0的图象与X轴没有交点实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点题型二次函数的值域(最值)已知二次函数f(x)x22x2. (1)当x3,0时,求f(x)的最大值和最小值; (2)若f(x)的定义域为3,3,试求f(x)的值域; (3)若xt，t1(tR)，试求f(x)的最小值g(t)高一数学必修4?正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角第一象限角的集合为?36036090,k k k?第二象限角的集合为?36090360180,k k k?第三象限角的集合为?360180360270,k k k?第四象限角的集合为?360270360360,k k k?终边在x轴上的角的集合为?180,k k?终边在y轴上的角的集合为?18090,k k?终边在坐标轴上的角的集合为?90,k k? 3、与角?终边相同的角的集合为?360,k k?PxyAO MT 4、已知?是第几象限角，确定?*nn?所在象限的方法先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上 一、 二、 三、四，则?原来是第几象限对应的标号即为n?终边所落在的区域 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是lr? 7、弧度制与角度制的换算公式2360?，1180?，180157.3? 8、若扇形的圆心角为?为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr?，2C rl?，21122S lr r? 9、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?,x y，它与原点的距离是?220rrx y?，则sinyr?，cosxr?，?tan0yxx? 10、三角函数在各象限的符号第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正 11、三角函数线sin?，cos?，tan? 12、同角三角函数的基本关系?221sin cos1?2222sin1cos,cos1sin?；?sin2tancos?sinsin tancos,costan? 13、三角函数的诱导公式?1sin2sin k?，?cos2cos k?，?tan2tan k k?2sin sin?，?cos cos?，?tan tan?3sin sin?，?cos cos?，?tan tan?4sin sin?，?cos cos?，?tan tan?口诀函数名称不变，符号看象限?5sin cos2?，cos sin2?6sin cos2?，cos sin2?口诀奇变偶不变，符号看象限 14、函数sin y x?的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数?sin y x?的图象；再将函数?sin y x?的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1?倍（纵坐标不变），得到函数?sin yx?的图象；再将函数?sin yx?的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数?sin yx?的图象函数sin yx?的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1?倍（纵坐标不变），得到函数sin yx?的图象；再将函数sin yx?的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数?sin yx?的图象；再将函数?sin yx?的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数?sin yx?的图象函数?sin0,0yx?的性质振幅?；周期2?；频率12f?；相位x?；初相?函数?sin yx?，当1x x?时，取得最小值为miny；当2x x?时，取得最大值为maxy，则?max min12y y?，?max min12y y?，?21122x x x x? 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质sin yx?cos yx?tan yx?图象定义域R R,2x x k k?值域?1,1?1,1?R最值当22x k?k?时，max1y?；当22x k?k?时，min1y?当?2x k k?时，max1y?；当2x k?k?时，min1y?既无最大值也无最小值周期性2?2?奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k?k?上是增函数；在32,222kk?在?2,2kkk?上是增函数；在?2,2kk?k?上是减函数在,22kk?k?上是增函数函数性质?k?上是减函数对称性对称中心?,0kk?对称轴?2x kk?对称中心?,02kk?对称轴?xkk?对称中心?,02kk?无对称轴 16、向量既有大小，又有方向的量数量只有大小，没有方向的量有向线段的三要素起点、方向、长度零向量长度为0的向量单位向量长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量 17、向量加法运算三角形法则的特点首尾相连平行四边形法则的特点共起点三角形不等式a b a ba b?运算性质交换律a b ba?；结合律?a b c a bc?；00a a a?坐标运算设?11,a x y?，?22,b x y?，则?1212,a b x x y y? 18、向量减法运算三角形法则的特点共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算设?11,a x y?，?22,b x y?，则?1212,a b x x y y?b?a?C?a bC C?设?、?两点的坐标分别为?11,xy，?22,xy，则?1212,x xy y? 19、向量数乘运算实数?与向量a?的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记