北师大版选修22 2.2　最大值、最小值问题 课件（25张）.pptx

2 2最大值 最小值问题 第1课时函数的最值 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 1 最大值与最小值的有关概念函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f x0 最大值或者在极大值点取得 或者在区间的端点取得 因此 要想求函数的最大值 应首先求出函数的极大值点 然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较 其中最大的值即为函数的最大值 在实际问题中 一般可以通过函数的单调性和问题的实际意义确定最大值 函数的最小值点也具有类似的意义和求法 函数的最大值和最小值统称为最值 做一做1 下列说法正确的是 a 若函数在其定义域内有最值与极值 则其极大值就是最大值 极小值就是最小值b 闭区间上图像连续不断的函数一定有最值 也一定有极值c 若函数在其定义域上有最值 则一定有极值 反之 若有极值则一定有最值d 若函数在给定区间上有最值 则最多有一个最大值 一个最小值 但若有极值 则可以有多个极值甚至无穷多个答案 d 2 求y f x 在区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内的极值 求导数f x 求方程f x 0的全部实根 检查f x 在方程f x 0的根左 右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 2 将f x 的各个极值与f a f b 比较 确定f x 的最大值与最小值 做一做2 函数f x 2x3 3x2 12x 5在区间 0 3 上的最大值和最小值分别是 a 5 15b 5 4c 4 15d 5 16解析 由f x 6x2 6x 12 0 得x 1或x 2 因为x 0 3 易知x 2为函数的极小值点 所以由f 2 15 f 0 5 f 3 4 得f x 在区间 0 3 上的最大值为5 最小值为 15 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思如果函数f x 在给定闭区间上连续可导 那么必有最大值和最小值 因此 在求闭区间 a b 上函数的最值时 只需求出函数f x 在开区间 a b 内的极值 然后与端点处的函数值比较即可 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例2 已知a是实数 函数f x x2 x a 求f x 在区间 0 2 上的最大值 题型一 题型二 题型三 反思由于参数取值范围的不同会导致函数在所给区间上的单调性发生变化 从而导致最值发生变化 因此在解决这类问题时常需要分类讨论 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思1 恒成立 问题向最值问题转化是一种常见的题型 一般可采用分离参数法进行转化 f x 恒成立 f x max f x 恒成立 f x min 对于不能分离参数的恒成立问题 直接求含参函数的最值即可 2 处理此类问题时要特别注意 最值能否取到 和 不等式中是否含等号 的情况 以此来确定参数能否取得区间端点值 题型一 题型二 题型三 变式训练3 已知函数f x 2x3 9x2 12x 8c 1 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 2 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 题型一 题型二 题型三 解 1 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 当x 1时 f x 取极大值f 1 5 8c 又f 3 9 8c f 1 x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 对任意的x 0 3 有f x 9 故c的取值范围为 1 9 2 由 1 知 f x f 3 9 8c 9 8c c2 即c 1或c 9 故c的取值范围为 1 9 12345 1函数f x ex x e为自然对数的底数 在区间 1 1 上的最大值是 解析 因为f x ex x 所以f x ex 1 令f x 0 得x 0 且当x 0时 f x ex 1 0 当x 0时 f x ex 1 0 即函数f x 在x 0处取得极小值 f 0 1 又f 1 f 1 e 1 综合比较得函数f x ex x在区间 1 1 上的最大值是e 1 故选d 答案 d 12345 2函数f x x3 3x x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 但有最小值d 既无最大值 也无最小值解析