概率论习题试题集6.doc

第六章 参数估计1、 填空题1. 若一个样本的观测值为0，0，1，1，0，1，则总体均值的矩估计值为，总体方差的矩估计值为。2. 设1，0，0，1，1是来自两点分布总体的样本观察值，则参数的矩估计值为。3. 若由总体（为未知参数）的样本观察值所求得，则称是的置信度为的置信区间。 4. 设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为。5. 设一批产品的某一指标,从中随机地抽取容量为25的样本,测得样本方差,则总体的方差的置信区度为的置信区间为. 2、 选择题1. 设总体,其中已知,则总体均值的置信区间长度与置信度的关系是( )（A）当缩小时,缩短；（B）当缩小时,增大；（C）当缩小时,不变；（D）以上说法都错。2. 设总体，已知，若样本容量和均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度（ ）。（A） 变长；（B）变短；（C）不变；（D）不能确定。3. 设是来自总体的一个样本，则方差的无偏估计值是（ ）（A） 当已知时，统计量；（B）当已知时，统计量；（C）当未知时，统计量；（D）当已知时，统计量。4. 设为总体的未知参数，为样本统计量，随机区间是的置信度为的置信区间，则有（ ）（A） ；（B）；（C）；（D）5. 从总体中抽取简单随机样本，易证统计量，；都是总体均值的无偏估计量，则其中更有效的估计量是（ ）（A） ；（B）；（C）；（D）三、计算题1. 设为来自总体的一个样本，服从均匀分布，其中未知。（1）求矩估值.2. 设某市的新生儿体重(单位:克)服从正态分布,现测量10名新生儿的体重如下:3100, 3480, 2520, 3700, 2520, 3200, 2800, 3800, 3020, 3260.(1)求参数的矩估计;(2)求参数的无偏估计. 3. 某铁路局证实,一个扳道员在5年内所引起的严重事故次数服从参数为的泊松分布.设表示一扳道员在5年内引起的严重事故次数,表示观察到的扳道员人数,有r012345t444221942求未知参数的最大似然估计值以及求出一个扳道员在5年内引起严重事故的概率。4. 设总体的概率密度，其中。求：（1）的矩估计量；（2）的最大似然估计量。5. 某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）如下：6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0若干燥时间服从正态分布,求的置信度为0.95的置信区间:(1)由以往经验知小时；(2)未知. 6. 设某地旅游者消费额服从正态分布，且标准差元。今对该地区旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差的绝对值会小于2元，问至少要调查多少人？7. 为确定某种溶液中的甲醛浓度，取得4个独立测量值的样本，并算得样本均值，样本标准为。设被测总体近似地服从正态分布，试分别求的置信区间。8. 某手表厂生产的丽达牌手表,它的走时误差(单位:秒/日)服从正态分布,检验员从装配线上随机地抽取9只进行检测,检验的结果如下:-4.0, 3.1, 2.5, -2.9, 0.9, 1.1, 2.0, -3.0, 2.8设置信水平为0.95,求该手表的走时误差的均值和的置信区间.9. 设总体服从正态分布,已知,要使总体均值对应置信水平的置信区间的长度不大于,问应抽取多大容量的样本?10.总体，其中是未知参数，又为取自该总体的样本，为样本均值。 （1）证明是参数的无偏估计和相合估计. （2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？11. 设是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1）；（2）；(3) ；12.某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在，现抽取了一个容量为的样本，测定其强度，算得样本均值为，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间。13.总体，已知，问样本容量取多大时才能保证的置信水平为的置信区间的长度不大于。14. 0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体的样本，已知服从正态分布。 （1）求的置信水平为95%的置信区间； （2）求的数学期望的置信水平为95%的置信区间。15. 用一个仪表测量某一物体量9次，得样本均值，样本标准差。 （1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间； （2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间。16.已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下： 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 。（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间（2）如已知，求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间;（3）求的置信水平为95%的置信区间。17在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格率的置信水平为0.90的置信区间。18.某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商量过去的一些销售量，数据如下：月销售量910111213141516月分数1613129421试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间。19. 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为，试求的0.95置信区间。参考答案：一、填空题：1）；2）；3）（35.5,35.9), (0.95)；4）4.412,5.588；5）60.969,193.533。2、 选择题：1）A：2）C；3） D； 4）C；5）C。三、计算题：1.；2.;。3. ，。4.； 。5.(5.608,6.392),(5.558,6.442)。6.至少要调查139人。7.,。8.(-1.865,2.425); (3.588, 28.624)。9. 。10.解： （1）总体，则，从而 于是，这说明是参数的无偏估计。进一步，。这就证明了也是的相合估计。 （2）似然函数为，显然是的减函数，且的取值范围为，因而的最大似然估计为。下求的均值与方差，由于的密度函数为， 故 ，从而，这说明不是的无偏估计，而是的渐近无偏估计。又，因而是的相合估计。11. 解： 先求三个统计量的数学期望， ， ， 。这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为，则，不难看出，从而的有效性最差。12.解：这是方差已知时正态均值的区间估计问题。有题设条件，查表知，于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为，即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为。13.解：由已知条件得的0.95的置信区间为其区间长度为，若使，只需。由于，故，即样本容量至少取时，才能保证的置信水平为95%的置信区间的长度不大于。14. 解： （1）将数据进行对数变换，得到的样本值为。它可看作是来自正态总体的样本，其样本均值为，由于已知，因此，的置信水平为95%的置信区间为。 （2）由于是的严增函数，利用（1）的结果，可算得的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。15. 解 （1）此处，查表知，的置信区间为从而的置信水平为0.95的置信区间。（2） 当未知时，的置信区间为。查表得，因而的置信水平为0.99的置信区间为16.解 （1）经计算得，在未知时，的置信水平为95%的置信区间为。 查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为（2）在时，的置信水平为95%的置信区间为 。查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为。（3）此处，取，查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为 由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为。17 解 此处较大，可用正态分布求其近似置信区间。不合格品率的近似置信区间为。 此处，因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为。18.解：