2019-2020学年广州市天河区高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试题一、单选题1数列，的一个通项公式是（ ）ABCD【答案】B【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.【详解】，所以其通项公式是：故选：B【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ）A只B只C只D只【答案】D【解析】根据题意得出第天和第天蜜蜂只数的关系，得出数列为等比数列，根据通项公式求出即可.【详解】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，由题意可得：，即，所以数列为等比数列即所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3已知命题p:,命题q:,则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数，因为，所以存在，使方程成立，即命题为真命题；又因为时，有，此时，所以命题为假命题，则为真，故正确答案为C.【考点】函数零点、常用逻辑用语.4（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A1B2C4D8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.5中，角、的对边分别为，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由诱导公式得，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出，结合二倍角的余弦公式计算即可.【详解】又，所以,则故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题.6直线，互相平行的一个充分条件是（ ）A，都平行于同一个平面B，与同一个平面所成的角相等C平行于所在的平面D，都垂直于同一个平面【答案】D【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线，互相平行即可，选项A中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中与不仅可以平行还可能异面直线；故选D7如图所示，一艘海轮从处出发，测得处的灯塔在海轮的正北方向海里处，海轮按西偏南的方向航行了分钟后到达处，此时测得灯塔在海轮的北偏东的方向，则海轮的速度为（ ）A海里/分B海里/分C海里/分D海里/分【答案】D【解析】由正弦定理求解即可.【详解】由题意可得： ，由正弦定理可得：，即海轮的速度为海里/分故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.8祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A158B162C182D32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.9过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得，利用直角三角形的边角关系得出的坐标，代入抛物线方程，即可求出.【详解】过点作轴的垂线，垂足于点，过点作准线的垂线交准线于点由抛物线的定义可知：在直角中，则所以又，所以则由，解得：(舍)，即此抛物线的方程为故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.10四面体中，两两垂直，且，点是的中点，异面直线与所成角为，且，则该四面体的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可.【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，设 ，解得：该四面体的体积为 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题.11以下几种说法命题“，函数只有一个零点”为真命题命题“已知，若，则或”是真命题“在恒成立”等价于“对于，有”的内角，的对边分别为，则“”是“”的充要条件.其中说法正确的序号为（ ）ABCD【答案】D【解析】由判别式判断；判断其逆否命题的真假得出的真假；取特殊值判断；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断.【详解】当时，则，则错误；的逆否命题“已知，若且，则”为真命题，则正确；当时，满足在恒成立，但是所以错误；则“”是“”的充要条件，即正确；故选：D【点睛】本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.12已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，即可得到所求方程【详解】因为，所以得到，即有，由双曲线的定义可得，根据题意，在等腰三角形中，所以，即，整理得，而，所以得到，即，根据选项可知双曲线的标准方程可能为，故选D.【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题二、填空题13双曲线的焦点到渐近线的距离为_【答案】【解析】由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可.【详解】故双曲线的右焦点为双曲线的渐近线的方程为：则右焦点到渐近线的距离为： 故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题.14在中，则_【答案】【解析】由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得： ，解得(舍)，故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.15已知三棱锥每条棱长都为，点，分别是，的中点，则_【答案】【解析】构造一个正方体，三棱锥放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可.【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中，且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.16已知数列满足，且，记为数列的前项和，则_【答案】【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出，进而得出，利用诱导公式求出，即可求得.【详解】数列是等差数列，公差与首项都为1，故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.三、解答题17已知等差数列中，且，依次成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求的值.【答案】（1） （2）【解析】(1)由求出公差，由等比数列的性质求出，即可得出数列的通项公式；(2)由(1)得出数列的通项公式，利用裂项求和法求解即可.【详解】解：（1）设数列的公差为，因为，所以，解得因为，依次成等比数列，所以，即，解得所以.（2）由（1）知，所以，所以，由，得【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.18已知中，角、的对边分别为，若.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1） （2）【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出；(2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值.【详解】解：（1）由正弦定理可得：，又，（2）由余弦定理可得，又故，当且仅当时，等号成立.所以所以面积最大为.【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题.19已知为实数，命题方程表示双曲线；命题函数的定义域为.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题与命题有且只有一个为真命题， 求实数的取值范围.【答案】（1）或 （2）或【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可；(2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题为真时的取值范围，讨论真假和假真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数的取值范围.【详解】解（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是或（2）若命题为真，即恒成立，则有，命题、一真一假.当真假时，得当假真时，得或【点睛】本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.20在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足，若平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过点？并说明理由.【答案】（1） （2）直线过点，理由见解析【解析】(1)由抛物线的定义求出的方程；(2)根据抛物线的定义表示出点的坐标，根据坐标写出直线的斜率，进而得到直线的方程，将直线与抛物线方程联立，结合判别式得出，进而得出点D的坐标，求出直线的斜率，讨论和，得出直线的方程，即可判断直线是否过点.【详解】解：（1）根据抛物线的定义得，动点的轨迹是以为焦点，直线的抛物线.（2）由题设，则，又，故由于，则直线不与轴垂直令平行于的直线，则，将直线代入，得，整理，当时，直线AB为轴，此时不存在平行于的直线与曲线相切于点即所以可以化为，当时，过定点当时，也过点，故直线过点【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题.21如图1，在矩形中，点、分别在线段、上，且，现将沿折到的位置，连结，如图2（1）证明：；（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】(1)建立坐标系证明，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明；(2)根据公理得到平面与平面的交线，再根据二面角定义得到二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：如图，线段交于点在中，由， 以点A为坐标原点，建立直角坐标系，则，即，从而有，即在图2中有，平面平面平面，；（2）延长，交于点，连接根据公理得到直线即为，再根据二面角定义得到.在平面内过点作底面垂线，为原点，分别以、及所作为轴、轴、轴建立空间直角坐标则，设平面的一个法向量为，由，取，得.与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题.22已知椭圆.（1）求椭圆的短轴长和离心率；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，点，判断与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）短轴长， （2），证明见解析【解析】(1)由椭圆的性质