数学高考答题失误的研究.pdf

即为所求 4学生应具备观察 猜测 验证猜测的能力 文科第 12 理科第 9 题三棱锥D ABC底 面是直角边为a的直角三角形 它的底面积可求 出 V 1 3 Sh 关键是求出h D点在底面的射影 在 ABC内 外 还是在边上 观察AB AD BD自然会猜到D点在底面的射影D 即AC的中 点 连结DD BD 由勾股定理不难证明 DD B 90 又由AD D C AD DC DD AC DD ABC所在平面 即DD 为三棱锥D ABC的高 下面可算出三棱锥D ABC的体积 5学生应具备准确 迅速的计算能力 考生要在120分钟内通过审题 设想 突破 表述 检验 完成150分的25道题 平均3 7 15分 钟做一道选择题 3 1 5 分钟做一道填空题 9 1 5 分 钟做一道解答题 理科除去 1 2 3 5 文科除去 1 2 3 7 其它21道题都有一 定的计算量 这就要求考生选择简捷的算法 准确 迅速地计算 少出或不出错误 6学生应具备逻辑化分的能力 文科第 20 21 25 题 理科第 20 24 25 题都要对参数进行分类讨论 7学生应具备运用数学知识解决实际问题的能力 如理科第 23 文科第 24 题 8学生应具备较高的应试能力 最近几年的高考题整体保持稳定 命题组力 图使每题的难度与分值相符 做到多劳多得 同工 同酬 但这与学生的实际仍有出入 题目的分值仍 存在 贵贱 之分 从1996年天津公布的分数线来 看学生的实际得分 文科重点本科大专 控制分数线508493471 每科平均得分10116 98169412 理科重点本科大专 控制分数线493438412 每科平均得分981687168214 这说明每科丢掉50分也能上线考取大学 考 试说明规定高考中容易 中等和难题的比例是 3 5 2 1996年试题由一题把关改为多题把关 难题也有容易入口 每种题型均有易 中 难 学 生在平时学习的检测中应对自己的能力 总体的 位置和考试中的得分有个正确的估计 考试时应 对题目的难易及解决它的把握在短时间内做出判 断 从而决定投入时间的多少 敢于取舍 稳做会 求全对 少丢分或不丢分 有效合理利用时间 这是成功的经验 数学高考答题失误的研究 罗增儒 陕西师范大学数学系710062 高考答题存在三种情况 满分 零分 部分 分 满分是会做并且做对了 零分是没有回答或 回答全错了 部分分是 会而不对 对而不全 有的考生并不缺乏基本功 拿到考题也能上 手 但在正确的思路上或是考虑不够周到 或是 推理不够严谨 或是书写不够规范 最后答案却 是错的 或是不完整的 这叫做 会而不对 另有 一些考生 思路大体正确 最终结论也出来了 但 丢三落四 或是缺少必要步骤 中间某一逻辑点 过不去 或是遗漏某一特殊细节 讨论不够完备 或是潜在假设 或是以偏概全 这就叫做 对而不 全 由于满分与零分都发生在少数人身上 并且 对解题失误而言给与我们的信息也较少 因而本 文考察重点在 部分分 上 部分分 提供了最多 也最有价值的信息 向我们展示了 会而不对 对 而不全 的表现与成因 根据我们1980年以来十余年高考阅卷的实际 体验 认为高考答题失误主要有4种表现 知识性 错误 逻辑性错误 策略性错误和心理性错误 1知识性错误 这主要指数学知识上的缺陷所造成的错误 03数学通报 1997年 第2期 如误解题意 概念不清 记错法则 用错定理 不 顾范围乱套方法等 例1 1996年理 20 题 解不等式loga 1 1 x 1 解 由真数大于零知 1 1 x 0 1 解得x 1 2 从而0 1 1 x 1 代入已知得 0 a 1 0 1 1 x a AC 解得 1 x 0 潜在假设 两边乘以x 得出x 1 漏了x a 1 1 1 a x 1时 1 1 x a 1 1 a x 0 2 0 a 1时 1 1 x a 0 x 0 x1 1 且 xn 1 xn x 2 n 3 3x2n 1 n 1 2 试证 数列 xn 或者对任意自然数n都满足xnxn 1 证明 用反证法 假设数列 xn 对任何自然数 n既不满足xnxn 1 则应 满足 xn xn 1 1 由题设xn 1 xn x 2 n 3 3x2n 1 得xn xn x 2 n 3 3x2n 1 即 xn x n 1 x n 1 0 2 得满足条件的数列有3个 xn 0 xn 1 xn 1 3 均与已知x1 0 x1 1矛盾 原题得证 评析 从逻辑上看 这个解法有两个重大失 误 一个比较明显 是反证法 反设不真 1 原题要 证 xn 为单调数列 其反面可能是常数列也可能 是摆动数列 正确的反设应是存在i j 使xi xi 1且xj xj 1 1 当年一位中学生提出过这种解法 发表在 数学通讯 1986年第11期P26上 立即作了更正 数学教学 1990年第1期P10 陈永明曾拟文 从一道高考题的错误看学点数理逻辑的必要性 作出详细分析 还有一个比较隐蔽的错误是由 2 不能推出 3 其实 2 只是说 xn 的每一项都有三个可能 的取值 0 1 1 由这三个数字组成的无穷数 列有无限个 当中仅有3个为常数列 把 2 当作 xn的三次方程 求出三个根xn 0 xn 1 xn 1 使用了 虚假论据 关于知识性错误与逻辑性错误 我们想说明 两点 1 由于数学知识与逻辑规则常常是相依共 存的 从广义上说 我们也不能把逻辑知识排除 在数学知识之外 所以 逻辑性错误与知识性错 误常是同时存在的 从哪个角度进行分析取决于 比重的大小与教学的需要 上面的几个例子中 当我们说它有知识性错误时并不排除它也有逻辑 性错误 同样 当我们说它有逻辑性错误时也不排 除它还有知识性错误 2 知识性错误与逻辑性错误又是有区别的 知识性错误主要指涉及的命题是否符合事实 如定 义 法则 定理等 核心是命题的真假性 逻辑性 错误主要指所进行的推理论证是否符合逻辑规则 核心是推理论证的有效性 如上所说 数学命题 的事实真假性与推理论证的逻辑有效性是有联系 的 然而 数学毕竟不是逻辑 数学毕竟比逻辑大 得多 我们依然应该在知识盲点的基本位置和主 要趋势上区分知识性错误与逻辑性错误 3策略性错误 这主要指由于解题方向上的偏差 造成思维 23数学通报 1997年 第2期 受阻或解题长度过大 对于高考来说 费时费事 即使做对了 也有策略性错误 例5 1996年文 22 理 21 题 已知 ABC 的三个内角A B C满足 A C 2B 1 cosA 1 cosC 2 cosB 求cos A C 2 的值 讲解 有的考生不先由A C 2B求出B 60 而是始终没有 B 60 而去反复进行三角变 形 由 1 cosA 1 cosC 2 cosB 有 cosA cos C cosB 2cosAcosC 有2cos A C 2 cos A C 2 cosB 1 2 cos A C cos A C 把A C 2B代入有 2cos2Bcos A C 2 1 2 cos 2B cos A C 把cos 2B 2cos2B 1代入 有 2cos2Bcos A C 2 cos2B cos2 A C 2 再下来就不知道怎么办好了 从知识上看这里每一步都是对的 两个已知 条件也都用上了 但从考试的角度看 先处理三 角函数是不策略的 另有一些考生 虽然先处理角的关系 也用 了隐含条件A B C 180 但 曲折回肠 由 B 180 A C 有cosB cos A C 又 A C 2B 有cosB cos 2B 把cos 2B 2cos2B 1代入得2cos2B cosB 1 0得cosB 1 2 或cosB 1 代入已知分别有 1 cosA 1 cosC 2 2或 1 cosA 1 cosC 2 这种处理既使最后做对了也存在两个方面的 策略性错误 其一是解题走了弯路 助长了本题 犯错误的机会 隐含失分 其二是占用时间太多 导致后继题目的思考不足 潜在丢分 例6 1995年文 21 题 解方程3 x 2 32 x 80 解 设y 3 x 则原方程可化为 9y2 80y 9 0 1 代入 求 根 公 式y1 2 80 6724 18 当3 x 80 6724 18 时 有x1 log3 80 6724 18 当3 x 80 6724 18 时 有x2 log3 80 6724 18 评析 本来这是一道满分率高达65 得分率 为75 的容易题 但是上述解法由于使用求根公 式而导致大数运算 由于数字大而不会开方 由 于不知道6724 82而疏忽了80 6724 0 所以 解法的第一个问题是x2不仅为增根 而且 没有意义 第二个问题是x1还未计算出最后结果 x1 2 这两条都会引发扣分 使用求根公式解二次方程不能算知识上有什 么错误 但若用十字相乘法 将方程变为 9y 1 y 9 0便可避免大数运算和相应的错误 所 以 本题中的问题主要表现为策略性错误 4心理性错误 这主要指解题主体虽然具备了解决问题的必 要知识与技能 但由于某些心理原因而产生的过 失性错误 鉴于高考的紧张激烈和关系重大 临 场中的看错题 抄错题 书写丢三落四 以及潜在 假设 瞬时遗忘等非智力因素表现欠佳是相当严 重的 它影响考生真实水平的正常发挥 例如 1993年文科 26 题 要求用数学归纳 法来证明 但有的考生不仔细审题 用别的方法 来证 虽然证法是对的 但不合题意 必须扣分 从原则上说 考生答卷并没有数学知识上的错误 扣分是 心理性错误 造成的 同样 1991年理科 24 题未用 定义 证明单调性 主要地也属于心 理性错误 对于1994年第 20 题 1995年文 25 理 24 题 信息迁移题 有的考生一看 最佳近似值 政府补贴 平衡价格 等新名词 新术语 新定 义 平时没有学过 就连想都不敢想 在这两道题 上得零分并不表明考生对所涉及的知识一片空白 其中一个重要原因是心理能力不足 同样 1996 年的信息迁移题 文科 24 理科 23 只要心理 素质过硬 设出有关未知数 并按照题目所提示 的公式 粮食单产 总产量 耕地面积 人均粮食占有量 总产量 总人口数 代入有关数据 得出二或三分并不困 难 但我们省高考阅卷的抽样表明 本题的平均 得分还不到012 对于1996年理 17 题 明明题目写着用数字 331997年 第2期 数学通报 作答 但仍有考生填C37 3 这违反了题意 少考 查了一个C37 35的知识点 造成本题的扣分 主 要是心理性错误 同样1996年填空 19 题 求异 面直线AD与BF所成角的余弦值 有的考生已经 计算出 2 4 却要 画蛇添足 答成arccos 2 4 这也主 要是心理性错误 对于1996年理 22 题的第一个空 本应填面 A1EC 平面AC1 但有的考生漏写 平面 二字 AC1就成了直线 或线段 A1EC也可以理解为 折线段 已经面目全非 这2分丢得非常可惜 对 于1996年理 25 题第 问 有的考生由g x 在x 1时有最大值2 立即 潜在假设 x 1 时g x 有最小值 2 结论很快出来 但决不能 算对 值得指出的是 当前高考解题研究偏重在怎 样正面解题上 对答题失误的研究层次较低 范 围较窄 许多人笼统地归结为一句话 双基不过 关 我们的分析表明 产生的原因既有知识因素 又有非知识因素 因此 解决这些问题也应将知 识因素与非知识因素结合起来 进行综合治理 参考资料 1罗增儒 怎样解答高考数学题 陕西师范大学出版社 1996年3月第3次印刷 2罗增儒 高考答题中的非知识性错误 中学数学 湖 北 1994 11 3陆文郁 一道高考数列题的错解与多解 中学数学 湖北 1996 4 4罗增儒 数学解题学引论 陕西师范大学出版社 1996年12月 中学数学建模举例 单文海 浙江绍兴县柯桥中学312030 在中学数学中 一方面碰到的许多应用性问 题 需要认真分析题意 寻找已知量与未知量之间 的内在联系 然后将这些内在联系与数学知识联 想 通过联想 转化 抽象 建立数学模型 如常 见的行程 工程 浓度等问题可转化为代数方程 组 问题 平均增长率问题可转化为指数方程 不 等式 问题 用料最省 造价最低 容积 面积 最大 等可转化为求解函数最值问题 最后通过解答数 学问题得出答案 其基本思想方法可用下图表示 1利用建模解决应用性问题 111函数最值模型 例1建造一个容积为8 m3 深为2 m的长方 体无盖水池 如果池底和池壁的造价每平方米分 别为120元和80元 那么水池的最低总造价为 元 分析 这是1993年高考题 是以函数最值为模 型的一个实际问题 设长方体底面的长和宽分别 为xm ym 则2xy 8 水池总造价 S 120 xy 2 2x 2 y 80 480 320 x y 480 320 2xy 1760 等号成立条件为