2019-2020学年芜湖市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省芜湖市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1已知平面和直线a,b,若a,则“ba”是“b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】根据空间中直线与平面之间的位置关系，由a，b，可得ba，反之不成立，可能b与相交或平行“ba”是“b”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，以及空间位置关系的判定.2如图,的斜二测直观图为等腰,其中,则的面积为( )A2B4CD【答案】D【解析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，计算原图形的面积即可【详解】解：由题意，的斜二测直观图为等腰，由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，则，且原平面图形的面积是故选：【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查直角三角形的面积，属于基础题，3已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：若，则；若，则；若，则其中正确的命题个数为ABCD【答案】B【解析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答【详解】对于，若，则与可能相交；故错误；对于，若，满足线面平行的性质定理，故；故正确；对于，若，如果，则；故错误；故选B【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答4已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：因为点是平面内的直线上的动点, 所以可设点，由空间两点之间的距离公式,得,令,当时,的最小值为,所以当时,的最小值为,即两点的最短距离是,故选B.【考点】1、空间两点间的距离公式；2、二次函数配方法求最值.5当圆的面积最大时，圆心坐标是（ ）ABCD【答案】B【解析】先列圆面积解析式，再根据圆面积最大时k的值确定对应圆心坐标.【详解】因为，所以，因此圆面积为时圆面积最大，此时圆心坐标为，选B.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本化简求解能力.6一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为( ) A48+12B48+24C36+12D36+24【答案】A【解析】【详解】试题分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其底面是腰长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点，由底面是腰长为6的等腰直角三角形知其底面积是66=18，又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4， 所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高5，故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为，46=12另两个侧面三角形的面积都是65=15，故此几何体的全面积是18+215+12=48+12故选A点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视7与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是ABCD【答案】C【解析】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.故选C【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题8著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离结合上述观点，可得的最小值为()ABC4D8【答案】B【解析】f(x)，f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(2,4)与B(1,3)的距离之和，设点A(2,4)关于x轴的对称点为A，则A为(2，4)要求f(x)的最小值，可转化为|MA|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|MB|AB|5，即f(x)的最小值为5.选B.9已知直线方程为，和分别为直线上和外的点，则方程表示（ ）A过点且与垂直的直线B与重合的直线C过点且与平行的直线D不过点，但与平行的直线【答案】C【解析】先判断直线与平行，再判断直线过点，得到答案.【详解】由题意直线方程为，则方程两条直线平行，为直线上的点，化为，显然满足方程，所以表示过点且与平行的直线故答案选C【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.10如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（ ）A当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为B无论点在上怎么移动，都有C当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且D无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是【答案】A【解析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可【详解】对于，当点移动到的中点时，直线与平面所成角由小到大再到小，如图1所示；且为的中点时最大角的余弦值为，最大角大于，所以错误；对于，在正方形中，面，又面，所以，因此正确；对于，为的中点时，也是的中点，它们共面于平面，且必相交，设为，连和，如图2，根据，可得，所以正确；对于，当点从运动到时，异面直线与所成角由大到小再到大，且为的中点时最小角的正切值为，最小角大于，所以正确；故选【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值的求法，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，是中档题11已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据已知条件作出截面图，可以看出正三角形的边长与正方体的棱长的关系，并且由外接球的直径与正方体的棱长的关系得出正三角形的边长与外接球的半径的关系，再利用球的表面积的公式得解.【详解】由已知作出截面图形如图，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为,外接球的半径为，则，所以，所以外接球的表面积为，故选：.【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，属于中档题.12已知，满足约束条件若恒成立,则直线被圆截得的弦长的最大值为( )ABCD【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域如图所示，不等式恒成立等价于，设，则由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即，所以因为圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长，所以当时，取得最大值，故选B二、填空题13已知p:点M(1,2)在不等式x-y+m0表示的区域内,q:直线2x-y+m=0与直线mx+y-1=0相交,若pq为真命题,则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】先根据命题p、q的分别求出m的取值范围，再根据复合命题的真假作得到m的取值范围【详解】已知p:点M(1,2)在不等式x-y+m0表示的区域内，则 又q:直线2x-y+m=0与直线mx+y-1=0相交,，则 由pq为真命题,，可得且即答案为.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的范围，是基础题14求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程为_.【答案】【解析】根据截距是否为零分类求解.【详解】当在轴上的截距为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；当在轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；所以直线方程为【点睛】本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.15如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，平面，若，试求异面直线与所成角的余弦值_【答案】【解析】取BB1的中点F，连接EF、AF，则异面直线与所成角为AEF（或其补角），在三角形AEF中根据边角关系得到答案.【详解】取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，BB1C中，EF是中位线，EFB1CA1B1ABCD，A1B1ABCD，四边形ABCD是平行四边形，可得B1CA1DEFA1D，可得AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角CDE中，DECDA1E，又AEAB1，A1A，由此可得BF，AFEF，cosAEF，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为【点睛】本题考查了异面直线夹角的定义及作法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16已知是矩形，为上一点，将和同时绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积是_【答案】【解析】将将和同时绕所在的直线旋转一周，所得几何体为一个圆柱挖去两个同底的圆锥，再由圆柱及圆锥的体积公式求解即可.【详解】解：旋转体的体积等于圆柱的体积减去两个同底的圆锥的体积之和，两个同底圆锥的体积之和为，圆柱的体积为，所以.【点睛】本题考查了空间旋转体的体积，重点考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.17已知圆，直线，下面五个命题：对任意实数与，直线和圆有公共点；存在实数与，直线和圆相切；存在实数与，直线和圆相离；对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切.其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）.【答案】【解析】由题意结合直线的性质和圆性质整理计算即可求得最终结果.【详解】直线恒过定点，将代入，等式成立，即圆过定点，据此可知：对任意实数与，直线和圆有公共点；存在实数与，直线和圆相切；不存在实数与，直线和圆相离；说法正确，说法错误；对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；说法正确；当时，圆的方程为：，此时不存在实数，使得直线与和圆相切，即说法错误.综上可得：真命题的代号是.【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题18已知点，（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值（2）若为直角三角形，求实数m的值【答案】（1）；（2），【解析】（1）由A，B，C三点共线，则，解之即可得到结果；（2）利用两条有斜率的直线垂直，斜率之积为列出方程，分别求出当，时m的值即可.【详解】（1）A，B，C三点共线，即，解得（2），若，则，若，则，若，则，故，【点睛】本题考查直线斜率的应用，考查两直线平行和垂直与斜率的关系，注意认真计算和分类讨论的思想运用，属基础题.19某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留)；(2)求该几何体的体积(结果保留)【答案】(1) (24)m2 (2) (8)m3【解析】（1）通过三视图判断几何体是一个组合体，上部为一个半径为1的半球，下部为棱长为2的正方体，该几何体的表面积正方体的表面积+半球面面积球的底面积（2）该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积；【详解】由三视图可知该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体，上半部分是半径为1 m的半球(1)几何体的表面积为S622+2121224+（m2）(2)几何体的体积为V2313(8)(m3)【点睛】本题考查三视图还原几何体形状的判断，考查几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力20已知直线（）若，求实数的值；（）当时，求直线与之间的距离【答案】（）；（）.【解析】（）根据两直线垂直的等价条件可得所求（）先由求出，然后根据两平行线间的距离公式求解【详解】（），且，解得（），且，且，解得，即直线间的距离为【点睛】本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若，则；且，或且考查转化和计算能力，属于基础题21如图,在三棱锥中,D在底面上的射影E在上,于F. (1)求证:平面平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】（1），推出平面，即可证明平面平面（2）在中过作的垂线，垂足，说明即所求线面角，通过求解三角形推出结果【详解】解：(1)证明: 因为在底面上的射影在上,面，面，平面，平面所以平面又因为平面所以平面平面;(2)在中过E作的垂线,垂足H由(1)知平面,即所求线面角由是中点,得设,则,因为,则,所以所求线面角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力22在平面直角坐标系中，点，直线，圆.（1）求的取值范围，并求出圆心坐标；（2）有一动圆的半径为，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）的取值范围为，圆心坐标为；（2）.【解析】（1）根据圆的一般方程得出关于实数的不等式，即可求出实数的取值范围，再利用圆心坐标公式可求出圆心坐标；（2）由题意可知点的坐标为，由可知线段的垂直平分线与圆有公共点，由此可得出关于实数的不等式，进而可求出实数的取值范围.【详解】（1）由于方程表示的曲线