2019届北京市丰台区高三3月模拟数学（理）试题（解析版）

2019届北京市丰台区高三3月模拟数学（理）试题一、单选题1复数的共轭复数是 （ ）ABCD【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.【详解】因为，所以的共轭复数是，故选：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2已知集合A=-2，3，1，集合B=3，m.若BA，则实数m的取值集合为（ ）A1BC1，-1D，-【答案】C【解析】根据题意得到或，计算得到答案.【详解】集合A=-2，3，1，集合B=3，m.若BA则或，解得 故选：【点睛】本题考查了根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.3设命题，则为（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识直接选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,D选项是特称命题，注意到要否定结论，故D选项符合.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.4执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框图的条件可以为（ ）Ak6Dk7【答案】A【解析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得到，即计算次，则时不满足；判断框图的条件可以为 故选：【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解.5下列函数中，同时满足：图像关于轴对称；，的是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意得到为偶函数，且在区间为增函数.依次判断选项的奇偶性和单调性即可.【详解】由题知：图像关于轴对称，则为偶函数，在为增函数.选项：，为奇函数，故错误.选项：，为偶函数，且在区间为增函数，故正确.选项：，为偶函数，且在区间有增有减，故错误.选项：，为非奇非偶函数，故错误.故选：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性为解题的关键，属于简单题.6已知和是两个不同平面，=l，是不同的两条直线，且，那么下列命题正确的是（ ）Al与，都不相交Bl与，都相交Cl恰与，中的一条相交Dl至少与，中的一条相交【答案】A【解析】根据直线和平面的平行性质得到，得到答案.【详解】，则，因为，则，同理 故选：【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力.7已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ）AB1CD【答案】B【解析】根据题意得到，根据勾股定理得到，计算得到答案.【详解】为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点 故，故，故即 故选：【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.8在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（ ）A6B8C10D12【答案】C【解析】画出图像，根据不同的位置得到答案.【详解】如图所示：当顶点处于位置时，格点数为；当顶点处于位置时，格点数为；当顶点处于位置时，格点数为；无论顶点处于什么位置都不能是格点数为；故选： 【点睛】本题考查了三角形的边界整数点问题，画出图像是解题的关键.二、填空题9已知平面向量a=（1，-3），b=（-2，m），且ab，那么m=_【答案】【解析】直接根据向量平行公式计算得到答案.【详解】a=（1，-3），b=（-2，m），且ab，则 故答案为：【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，属于简单题.10从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为_【答案】【解析】根据题意知：选择名男生，名女生，计算得到答案.【详解】根据题意知：选择名男生，名女生，共有种故答案为：【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力.11直线y=kx+1与圆（为参数）相交于M，N两点，若=2，则k=_【答案】【解析】变换得到，根据得到圆心到直线的距离，计算得到答案.【详解】，则，圆心为，半径为 ，则圆心到直线的距离为 故答案为：【点睛】本题考查了根据圆的弦长计算参数，意在考查学生的计算能力.12若ABC的面积为2，且A=，则=_【答案】【解析】根据面积公式得到，再代入向量运算公式得到答案.【详解】，故， 故答案为：【点睛】本题考查了面积公式，向量运算，意在考查学生的计算能力.13已知函数f（x）=cos（2x+）（-m且为奇数时，恒为常数P，则P=_【答案】 【解析】计算得到数列周期，得到，根据奇偶的讨论得到，计算得到答案.【详解】，则 故从第二项开始形成周期为的数列，故 当为奇数时，为偶数，故若为奇数，则，故，不满足；若为偶数，则，直到为奇数，即故，当时满足条件，此时，即故答案为：；【点睛】本题考查了求数列的项，数列的周期问题，意在考查学生的应用能力.三、解答题15已知函数，且.（1）求的值；（2）若在区间上是单调函数，求的最大值.【答案】(1) . (2) 【解析】（1）利用两角差的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据求出的值（2）由（1）可求函数的单调区间，再结合函数在区间单调，即可求出的最大值.【详解】解：（1）.因为,所以. （2）因为函数的增区间为.由，所以所以函数的单调递增区间为. 因为函数在上是单调函数，所以的最大值为.【点睛】本题考查的相关性质，关键是利用三角恒等变换将函数变形，属于一般题16随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示.（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为，月平均期望薪资对应数据的方差为，判断与的大小（只需写出结论）【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）【解析】（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案.（2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案.（3）根据数据的波动性得到答案.【详解】（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故 （2）的可能取值为，则；分布列为： 012 （3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，方差，意在考查学生的综合应用能力.17如图，四棱柱ABCD-中，地面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，平面ABCD平面AB，BA=60，AB=A=2BC=2CD=2（1）求证：BCA；（2）求二面角D-A-B的余弦值；（3）在线段D上是否存在点M，使得CM平面DA?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，【解析】（1）证明平面得到答案.（2）为中点，于，连接，为二面角D-A-B的平面角，计算得到答案.（3）存在，为中点，连接，证明平面平面，得到答案.【详解】（1）平面ABCD平面AB，ABBC，故平面，平面故.（2）如图所示：为中点，于，连接 ，为中点，故，为平行四边形，故故平面，故为二面角D-A-B的平面角.， 故二面角D-A-B的余弦值为（3）存在，为中点，连接，则，为平行四边形，故， ，故平面平面 为中点，故四棱柱，和相交当为和交点时，满足平面，故平面此时为中点，故【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，线面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18已知函数f（x）=（x-2）-+（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间（2）当ae时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点.【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为；（2）证明见解析；【解析】（1）求导得到，得到函数单调性.（2）讨论和，根据导数的正负得到函数单调性得到答案.【详解】（1），当时，当时，；当时，故函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2）设，则，当时，在上单调递减，在上单调递增.，即恒成立故当时，时，即在单调递增，在上单调递减.是函数的极小值点.当时，在上恒成立， 故当时，当时， 即在单调递增，在上单调递减.故是函数的极小值点.综上所述：是函数的极小值点.【点睛】本题考查了函数单调性和极值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19已知抛物线C:=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且ABOM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q（1）求抛物线C的准线方程；（2）求证：直线PQ与x轴平行.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）代入数据得到，再计算准线方程得到答案.（2）设，根据平行得到，计算的直线方程，计算交点得到得到答案.【详解】（1）过点，故，准线方程为： （2）设，故，故 ， ，消去得到，即，故直线PQ与x轴平行【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，直线平行，转化为是解题的关键.20设nN且n2，集合 （1）写出集合中的所有元素；（2）设（，），（，），证明“=”的充要条件是=（i=1，2，3，n）；（3）设集合=（，），求中所有正数之和.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）直接列出所有情况得到答案.（2）分别证明充分性和必要性，假设存在使，则