2020届北京东城区五中高三开学考试数学（理）试题（解析版）

2020届北京东城区五中高三开学考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】【详解】试题分析：，故选C【考点】本题主要考查集合的运算2已知，则的关系是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：因为，所以故选D【考点】本题主要考查对数的概念及对数函数的性质点评：理解对数函数的定义，注意对数对底数、真数的要求3若，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性,再讨论必要性,即得解.【详解】当 ，而 ，反过来也成立，所以“”是“”的充要条件.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和不等关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.4若复数（是虚数单位， ）是纯虚数，则复数的模等于（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】，因为是纯虚数，所以 ，那么 ，所以模等于3，故选C.5阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A7B9C10D11【答案】B【解析】算法的功能求得值，根据条件确定跳出循环求得的值，即可求解【详解】由程序框图知，算法的功能是求的值，因为，所以跳出循环的的值为9，所以输出，故选B【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，其中解答中根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6若变量， 满足约束条件，且的最小值为7，则的值为（ ）A1 B2 C D不确定【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由得： ；由得： ；由得，由，得，则直线的截距最小， 也最小，目标函数的最小值为7，当直线的斜率，即时，则此时当直线经过点时，取得最小值，即，此时，此时不成立；当直线的斜率，即时，则此时当直线经过点时，取得最小值，即，此时；当直线的斜率，即时，则此时当直线经过点时，取得最小值，即，此时，不成立，故，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7已知函数，当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图像为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时等号成立，所以结合题意有 ，所以 ，图象关于直线对称，且在上为减函数，故选B.点睛：本题主要考查了基本不等式，函数的图象，属于基础题，解答本题的关键是由基本不等式求出 的值8在直角坐标系中,对于点,定义变换:将点变换为点,使得其中.这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.则四个函数,在坐标系内的图象,变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是A,B,C,D,【答案】A【解析】用x，y表示出a，b，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a，b的范围及大小关系，从而得出答案【详解】解：由可得，对于y3ex（x0），显然y31，barctany3，y3对应的图象为；对于y4lnx（x1），aarctanxarctan1，y4对应的图象为；对于y1和y2，当0x2时，2xx2，arctan2xarctanx2，即当0aarctan2时，arctany1arctany2，y1对应的图象为，y2对应的图象为故选：A【点睛】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题二、填空题9某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生【答案】15【解析】【详解】试题分析：应从高二年级学生中抽取名学生,故应填.【考点】分层抽样及运用10在极坐标系中，直线与圆的位置关系为_【答案】直线与圆相交且过圆心.【解析】利用极坐标与直角坐标互化公式，把题目中的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式可以判断出直线与圆的位置关系.【详解】解：直线化为普通方程为，圆化为普通方程为，圆心，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交且过圆心故答案为：直线与圆相交且过圆心【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_（用数字作答）.【答案】 【解析】先安排周一和周五的两人，有种方法，然后再安排中间三天剩下的那天的人值日，有周一和周五两天选择，最后安排最后两个人，有种方法，所以共有种方法.12是定义在R上的偶函数，又当时，则_【答案】.【解析】由，求出函数的周期是6，再结合偶函数的性质，把转化为，代入所给的解析式进行求解【详解】，则函数是周期为6的周期函数，是定义在R上的偶函数，当时，故答案为：【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想13函数的定义域为实数集，对于任意都有，若在区间内函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】 ， 是以 为周期的函数，若在区间上函数 恰有三个不同的零点，则 和 在上有3个不同的交点，画出函数函数在上的图象，如图示： ，由，结合图象得：，故答案为：14若函数对其定义域内的任意，当时总有，则称为紧密函数，例如函数是紧密函数，下列命题：紧密函数必是单调函数；函数在时是紧密函数；函数是紧密函数；若函数为定义域内的紧密函数，则；若函数是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数在定义域内的值一定不为零其中的真命题是_【答案】.【解析】根据已知可得紧密函数的自变量与函数值是一一映射，单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，由此逐一分析5个结论的真，可得答案【详解】解：函数对其定义域内的任意，当时总有，则称为紧密函数，紧密函数的自变量与函数值是一一映射，单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，故错误；在时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故正确；函数,因为，所以不是紧密函数，故错误；若函数为定义域内的紧密函数，则，故正确；函数是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数在定义域内的值可以为零，故错误；故答案为：【点睛】本题考查的知识点是紧密函数的定义，正确理解紧密函数的概念，是解答的关键三、解答题15讨论函数的单调区间【答案】 当时，在单调递增；当时， 在单调递减；当时， 在上单调递减，在单调递增【解析】先求出函数的定义域，然后对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论.【详解】解：的定义域为，当时，即时，故在单调递增；当时，故在单调递减；当时，令，解得，当时，；时，故在上单调递减，在单调递增综上所述： 当时，在单调递增；当时， 在单调递减；当时， 在上单调递减，在单调递增【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，考查分类讨论思想，是一道中档题16春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中浓度监测的数据如表单位：微克立方米除夕18时浓度初一2时浓度北京75647天津66400石家庄89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139求这8个城市除夕18时空气中浓度的平均值；环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市，浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X，求随机变量y的分布列和数学期望；记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中浓度的方差分别为和，比较和的大小关系只需写出结果【答案】70；分布列见解析，；【解析】利用平均数的计算公式即可得出8个城市除夕18时空气中浓度的平均值以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，利用，即可得出分布列，进而得到X的数学期望根据数据的集中趋势进行判断即可.【详解】解：个城市除夕18时空气中浓度的平均值以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，可得：，X的分布列为：X0123PX的数学期望根据数据的集中趋势进行判断出.【点睛】本题考查了平均数的计算公式、超几何分布列的概率计算公式与数学期望、方差计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，M是AB的中点（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 在线段EC上存在点P,理由见解析.【解析】（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明（2）推导出，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且【详解】证明：，M是AB的中点，平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，解：（2） 平面ABCD，是正三角形，、MC、ME两两垂直建立如图所示空间直角坐标系则0，0，0，0，0，设y，是平面BCE的一个法向量，则，令，得，轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量，二面角的余弦值为（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为0，设，则，直线AP与平面ABE所成的角为，由，解得，在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题18 设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求a的最小值.【答案】().().【解析】试题分析：（）设切线的斜率为，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程；（2）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，利用函数的导数，通过当时，利用，说明不满足题意当时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可.试题解析：（I）设切线的斜率为， 因为，切点为.切线方程为，化简得：.（II）要使：在区间恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在（0，+）恒成立因为当时，不满足题意当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为19已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.（）求椭圆的方程； （）若，求的最大值；（）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.【答案】（）；（）；（）.【解析】（）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；（）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；（）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.【详解】（）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，则，则，易得当时，故的最大值为；（）设，则 ， ，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.20对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果的极差，可实施如下操作：若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为.若，则继续对实施操作，实施次操作后的结果记为，其极差记为.例如：，.（1）若，求和的值；（2）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足.【答案】（1）,；（2）的取值仅能是2；（3）详见解析【解析】试题分析：（1）由数组的极差的定义，可知，这时三数为，第二次操作后，这时三数为，第三次操作后，这时三数为，第四次操作后，这时三数为，第五次操作后，这时三数为，第六次操作后，这时三数为，第次操作后，这时三数为；（2）已知的极差为且，这时极差最小值为，当时，这时是三个连续的正整数，即为，由（1）可知，通过变化后，所得数仍然是，所以数组的极差不会改变，即，符合题意，当，这时三个数，通过变化成，这是极差为，或，这样就可以确定出的取值仅能是2；（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足，这时三数形式为，由二项式定理可知，故所以的极差是3的倍数，这样根据极差的定义，通过操