2019-2020学年益阳市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省益阳市高二上学期期末数学试题一、单选题1（ ）ABCD【答案】B【解析】利用正弦的和角公式求解即可.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦的和角公式运用,属于基础题型.2某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分100分）进行数据分析，将全部的分数按照，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.若成绩在80分及以上的学生人数为360，估计该校高二年级学生人数约为（ ）A1200B1440C7200D12000【答案】A【解析】根据频率分布直方图求出成绩在80分及以上的学生人数占比再求总数即可.【详解】由题, 成绩在80分及以上的学生人数占比为.故该校高二年级学生人数约为.故选：A【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的理解运用,属于基础题型.3已知等比数列中，则（ ）AB128CD256【答案】D【解析】根据等比数列的等积性求解即可.【详解】因为为等比数列,故.故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性,属于基础题型.4某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到A、B两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】求出分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和,再用1去减即可.【详解】分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为.故分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是.故选：D【点睛】本题主要考查了根据对立事件的概率求原事件的概率的问题,需要利用组合方法求解对应的概率,属于基础题型.5函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）ABCD【答案】C【解析】先求出振幅与周期,再代入对高点求解即可.【详解】易得,又周期满足.故.故,代入最高点有,因为,故.故.故选：C【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的问题,属于基础题型.6在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，使是钝角的概率等于（ ）ABCD【答案】C【解析】先求出使是直角的情况再分析即可.【详解】由题,当为直角时,的轨迹是以为直径的半圆,故当在半圆内时满足是钝角,故是钝角的概率等于故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的方法,需要先分析临界条件再根据几何概型的方法求解即可.属于基础题型.7中，M是AC边上的点，N是边的中点，设，则可以用，表示为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】由题, .故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.8“，”成立的一个充分不必要条件是（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出“，”成立的充要条件再判定即可.【详解】若 “，” 则,故.“，”成立的一个充分不必要条件是.故选：D【点睛】本题主要考查了恒成立的问题以及充分不必要条件的理解,属于基础题型.9某企业通过前期考察与论证可知，投资每个项目第一年需资金20万元，从中可获利5万元；投资每个项目第一年需资金30万元，从中可获利6万元.现公司拟投资两个项目共不多于8个且投入资金不超过200万元，需合理安排这两个项目的个数使第一年获利最多，则获利最多可达到（ ）A40万元B44万元C48万元D50万元【答案】B【解析】设投资个项目,个项目,再列出满足的不等式,根据线性规划的方法求解即可.【详解】设投资个项目,个项目,则,再求的最大值.则投资的项目组合为上不等式组的可行域中的整数点.易得在即处取得最大值.最大值为万元故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划的应用题,需要注意满足条件的为可行域中的整数点.属于基础题型.10已知离心率为2的双曲线C：（）的左右焦点分别为，直线与双曲线C在第一象限的交点为P，的角平分线与交于点Q，若，则的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】利用角平分线的性质,计算的比值关系再分析即可.【详解】先推导角平分线的性质,如图,设中为的角平分线,则根据正弦定理.又,故,又,故可得.故由题, ,.再计算即可.因为,故,直线,倾斜角为且过左焦点.设,由余弦定理有.化简得.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线中根据定义以及余弦定理求解边角关系的方法,同时也考查了角平分线定理的应用,属于难题.二、多选题11若命题p：，.命题q：对每一个无理数x，也是无理数.则下列命题是真命题的是（ ）ABCD【答案】AD【解析】分别判断的真假,再分析即可.【详解】命题p中,当时不成立.故命题p为假命题.命题q中,当无理数时, 不是无理数,故命题q为假命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及或且非命题的运用等.属于基础题型.12如图，在平面四边形ABCD中，等边的边长为2，点M为边上一动点，记，则的取值可以是（ ）ABC5D10【答案】CD【解析】建立平面直角坐标系将向量用坐标表示求解即可.【详解】以为坐标原点建立如图平面直角坐标系,设.则.故 在上为增函数,故.故选：CD【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系解决向量的问题,需要找到合适的坐标原点建系,利用平面向量的坐标表达求数量积再分析范围,属于中等题型.三、填空题13若，则_【答案】【解析】【详解】14若，则的最小值等于_.【答案】4【解析】配凑出基本不等式的结构求解即可.【详解】.当且仅当时取等号.故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,属于基础题型.15直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若，则AB的中点D到x轴的距离为_.【答案】7【解析】根据抛物线的焦点弦长公式求解即可.【详解】抛物线的焦点为,设,则.即.所以AB的中点到x轴的距离.故答案为：7【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点弦长公式的运用,属于基础题型.16已知数列，的前n项和分别为，且，若两个数列的公共项按原顺序构成数列，若，则n的最大值为_.【答案】3【解析】先求得数列,的通项公式,再分析公共项的满足的条件即可.【详解】由题, .当时, ,当时, .当时也满足.故又,当时.当时, .故是以为首项,为公比的等比数列.故.故数列为与的公共项.又,.故,且为单调增数列.故满足,n的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据数列的前n项和求解通项的方法以及等差等比数列的综合运用,属于中等题型.四、解答题17已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求C；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)利用正弦定理边化角以及和差角公式进行求解即可.(2)利用余弦定理求解得,再用三角形面积公式求解即可.【详解】（1），由正弦定理得：，即，又，.（2）由余弦定理得：，即，.【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理以及面积公式的运用,属于中等题型.18某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下：销售地ABCD年收入x（亿元）15203550销售额y（万元）16204048（1）在图a中作出这些数据的散点图，并指出y与x成正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程？（3）若B地今年的居民年收入将增长20%，预测B地今年的销售额将达到多少万元？回归方程系数公式：，.参考数据：，.【答案】（1）散点图见解析，y与x成正相关；（2）；（3）23.04万元.【解析】(1)根据表中给的数据描点再判断即可.(2)代入参考数据与公式计算出方程即可.(3)根据(2)中的回归方程,代入求解即可.【详解】（1）如图，y与x成正相关.（2），故所求线性回归方程为.（3）当时，预测B地今年的销售额将达到23.04万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及其实际意义的理解,属于基础题型.19已知向量，记.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当，求函数的取值范围.【答案】（1），（）；（2）.【解析】(1)代入,根据降幂公式与辅助角公式化简再求最小正周期和单调递增区间即可.(2)由(1)有,根据可求得,再根据正弦函数在区间内的单调性与最值求解函数的取值范围即可.【详解】（1），所以的最小正周期.令（），解得（），所以的单调递增区间为（）.（2）当时，所以当时，取到最小值，当时，取到最大值1，因此的值域为.【点睛】本题主要考查了向量与三角函数恒等变换的运用以及根据三角形函数解析式求解在区间内的取值范围等问题.属于中等题型.20如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，O，E分别为AD，PB的中点，平面平面ABCD，.（1）求证：平面PCD；（2）求证：平面PCD；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】(1) 取PC的中点G，连接EG，DG.再证明即可.(2)分别证明与即可.(3)以O为原点,建立空间直角坐标系,利用二面角的向量方法求解即可.【详解】（1）证明：取PC的中点G，连接EG，DG.E，G分别为PB，PC的中点，四边形ABCD为矩形，且O为AD的中点，四边形ODGE为平行四边形，.又因为平面PCD，平面PCD，平面PCD，.（2）底面ABCD为矩形，又平面平面ABCD，平面PAD，又平面PCD.（3）解：取BC的中点F，连接OF，OP，则，.以O为原点，OA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，平面PAD的一个法向量，设平面PBD的法向量，则，所以，可取，所以，结合图形可知二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行,线面垂直的证明以及空间向量求解二面角的问题,属于中等题型.21已知公差不为0等差数列的前n项和为，且，成等比数列.数列的各项均为正数，前n项和为，且，（）.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)利用基本量法求解数列的通项公式,再根据递推公式证明数列是等比数列,进而求得通项公式即可.(2)根据错位相减的方法求解即可.【详解】（1）因为，所以，又，成等比数列，所以，即联立解得，所以.因为，所以，所以，解得：或（舍），所以，数列是3为首项，3为公比的等比数列，所以，.（2）数列的前n项和【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及根据递推公式证明等比数列以及错位相减求和的方法,属于中等题型.22已知椭圆C：（）的离心率，左、右焦点分别为，过右焦点任作一条不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）记点B关于x轴的对称点为点，直线交x轴于点D.求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据椭圆的定义以及基本量的关系求解方程即可.(2)联立直线与椭圆的方程求解关于A，B两点的韦达定理,再根据题意