2019-2020学年重庆复旦中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆复旦中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1直线的倾斜角为（ ）A30B60C120D150【答案】C【解析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】解：直线的斜率，倾斜角为，则，故选：【点睛】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，属于基础题2若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为（ ）A1 B C D 【答案】C【解析】试题分析：因为三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，所以，即，所以=，故选C。【考点】本题主要考查三点共线的条件。点评：综合题，首先利用三点共线的条件，得到a,b的关系，进一步求的值。3若方程表示一个圆,则的取值范围是 ( )ABCD【答案】D【解析】根据二次方程表示圆的充要条件列出不等式，通过解不等式求出k的范围【详解】方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，需满足1+14k0故选：D【点睛】二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为：D2+E24F04若直线与直线平行，则（）ABC或2D或【答案】B【解析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a的取值，再根据取值情况，检验是否重合.【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得：或，检验：当时，两直线重合，不成立，所以.故答案为：B.【点睛】本题考查直线平行的条件，解题的关键是检验重合的情况，属于基础题.5方程（m+2）x+（m2）y+40（mR）所表示的直线恒过定点（ ）A（2，2）B（2，2）C（1，1）D（1，1）【答案】D【解析】把方程，对合并同类项，列出方程组，求解即可得到定点坐标【详解】解：方程化为， ，解得方程所表示的直线恒过定点故选：【点睛】本题考查了直线系过定点问题，属于基础题6点F（，0）到直线y0的距离为（ ）ABmC3D3m【答案】A【解析】利用点到直线的距离公式即可得出【详解】解：点，到直线的距离故选：【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7若点是圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：圆心为，与点连线的斜率为，所以直线AB的斜率为1，所以直线方程为【考点】1直线方程；2直线与圆相交的性质8直线xy+10与直线2x2y10是圆C的两条切线，则圆C的面积是（ ）ABCD【答案】C【解析】求出两条平行线之间的距离，即可求出圆的直径，然后求出圆的面积【详解】解：直线可化为，则直线与是平行线，所以平行线之间的距离就是圆的直径，所求圆的面积为：故选：【点睛】本题直线与圆的位置关系，平行线之间的距离的求法，考查计算能力9已知直线ax+by+c=0的图象如图，则()A若c0，则a0，b0B若c0，则a0C若c0，b0D若c0，b0【答案】D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如图，k0，即-0，因为-0，-0，所以ac0，bc0.若c0，b0；若c0，则a0，b0;故选D.10若直线yx+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（ ）A1，2）B1，2C2，1）D2，1【答案】C【解析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件当直线和半圆相切时，由 解得，数形结合可得实数的取值范围【详解】解：曲线即，表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示：当直线过点时，可得，满足直线与曲线有两个不同的公共点当直线和半圆相切时，由 解得，或 （舍去），故直线与曲线有两个不同的公共点时，实数的取值范围为，故选：【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题11已知实数x，y满足x2+y24x+20，则x2+（y2）2的最小值是（ ）ABC2D8【答案】C【解析】表示圆上动点到点点的距离的平方，进而得到答案【详解】解：表示一个以点为圆心，以为半径的圆，表示圆上动点到点点的距离的平方，故的最小值是，故选：【点睛】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到圆上动点距离的最值，两点之间的距离公式，属于中档题12过原点O作圆x2+y26x8y+200的两个切线，设切点分别为M、N，则线段MN的长度为（ ）A2B4CD【答案】B【解析】先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出，二倍角公式求出，三角形中，用余弦定理求出【详解】解：圆 可化为，圆心到原点的距离为5故，故选：【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长，属于中档题二、填空题13把直线绕（1，2）旋转30，所得的直线的一般方程为_【答案】x10或xy+210.【解析】由题意可得，分两种情况绕点按逆时针旋转所得到的直线的倾斜角为，绕点按顺时针旋转所得到的直线的倾斜角为，由此可得直线的方程【详解】解：直线的斜率为，倾斜角为，绕点逆时针旋转所得到的直线的倾斜角为，所得直线的方程为，化成一般式为；绕点顺时针旋转所得到的直线的倾斜角为，所得直线的斜率直线方程为，化成一般式为；故答案为：或【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，判断所得到的直线的倾斜角，是解题的关键，属于基础题14已知x，y满足，则z2x+y的最大值为_.【答案】3.【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可【详解】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是，在中满足的最大值是点，代入得最大值等于3故答案为：3【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15已知圆C经过点（4，2），（1，3），和（5，1），则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_【答案】2.【解析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程，分别令，利用韦达定理，求出其在轴，轴上的截距.【详解】解：设圆的方程为，将，代入以上方程中，解得所以圆的方程为令则，由韦达定理得令则，由韦达定理得故圆与两坐标轴的四个截距之和为故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的一般式方程，以及利用待定系数法进行求解有关问题，属于中档题16在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y21，圆M：（x+a+3）2+（y2a）21（a为实数）.若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得OQP30，则a的取值范围为_.【答案】a0【解析】从圆上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，利用圆和圆上分别存在点，使得，可得，进而得出答案【详解】解：由题意，圆为实数），圆心为圆上任意一点向圆作切线，切点为，所以与圆有交点，解得，故答案为：，【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题三、解答题17根据下列条件分别求出直线l的方程.（1）直线l经过A（4，1），且横、纵截距相等；（2）直线l平行于直线3x+4y+170，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24.【答案】（1）直线l的方程为：x+y50，或x4y0（2）满足条件的直线方程为：3x+4y240【解析】（1）当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为：，把点代入直线的方程可得值，即得所求的直线方程（2）直线与平行，故可设直线方程为，求出直线与两坐标轴的交点，即可得到三角形的面积，求出的值.【详解】（1）直线l经过原点时满足条件，设直线方程为，因为直线过点，可得直线方程为：，即直线l不经过原点时，设直线方程为：，把代入可得：.直线l的方程为：.综上可得：直线l的方程为：或.（2）设直线l的方程为：，与坐标轴的交点分别为：，.，解得：.满足条件的直线方程为：.【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、直线截距相等时求直线的方程与三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题18已知以点C为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）设点P在圆C上，求PAB的面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据题意，得出圆心为的垂直平分线和直线的交点，进而求解圆心坐标和半径，即可得出圆的方程；（2）由（1）中得出，圆心到的距离为，得出到距离的最大值，得到的面积的最大值.试题解析：（1）依题意所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点，中点为斜率为，垂直平分线方程为，即联立解得即圆心，半径，所求圆方程为（2），圆心到的距离为，到距离的最大值为，所以面积的最大值为【考点】圆的标准方程；圆的最值问题【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程的求解、与圆有关的最值问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积公式和点与圆的最值问题等知识点的考查，其中把三角形面积的最值转化为圆的最值是解答的关键，着重考查了学生的转化与化归思想和方程思想，属于中档试题19已知圆C：x2+y22x4y+m0.（1）若圆C与直线l：x+2y40相交于M、N两点，且|MN|，求m的值；（2）在（1）成立的条件下，过点P（2，1）引圆的切线，求切线方程.【答案】（1）m4（2）切线方程为x2或y1【解析】（1）易得到圆心的距离，由弦长公式可得的方程，解方程可得（2）由（1）可得圆的方程，可知在圆外，分斜率存在与否讨论可得.【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径，所以圆心到直线l的距离则弦长，解得；（2）由（1）得圆方程表示为，可知点在圆外，当斜率不存在时，直线方程为时，圆心到直线的距离等于半径，该直线与圆相切；当直线斜率存在时，设过的直线方程为，即，则，解得，此时切线方程为，所以切线方程为或.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长的计算与过圆外一点的圆的切线问题，属于中档题.20已知圆C1：x2+y2+4x+10及圆C2：x2+y2+2x+2y+10.求两圆的公共弦所在的直线方程，并求出以两圆的公共弦为直径的圆的标准方程.【答案】两圆的公共弦所在的直线为；以两圆的公共弦为直径的圆的标准方程为.【解析】（1）联立两圆方程构造方程组，即可求出公共弦所在的直线方程；（2）将圆配成标准式，得到圆心坐标，其圆心恰在公共弦上，故圆的方程即为两圆的公共弦为直径的圆的方程.【详解】解：根据题意，圆及圆，则有，变形可得：，两圆的公共弦所在的直线为；又由圆，即，其圆心，半径，圆心恰在直线上，故以两圆的公共弦为直径的圆即圆，其标准方程为【点睛】本题考查两个圆的位置关系，公共弦所在的直线方程，考查计算能力，属于基础题21已知点P(2,2),圆，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.【答案】(1) ；(2)直线的方程为，的面积为.【解析】求得圆的圆心和半径.（1）当三点均不重合时，根据圆的几何性质可知，是定点，所以的轨迹是以为直径的圆（除两点），根据圆的圆心和半径求得的轨迹方程.当三点有重合的情形时，的坐标满足上述求得的的轨迹方程.综上可得的轨迹方程.（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线的斜率，进而求得直线的方程.根据等腰三角形的几何性质求得的面积.【详解】圆，故圆心为，半径为.(1)当C,M,P三点均不重合时,CMP=90,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为，故的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x2,且y2或x0,且y4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为，故的方程为，即.又易得|OM|=|OP|=，点O到的距离为，所以POM的面积为.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查圆的几何性质，考查等腰三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22已知圆C：，直线l： .（1）求直线l所过定点A的坐标；（2）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；（3）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数【答案】（1）直线过定点（2）（3）【解析】试题分析：（）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标（）当ACl时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可（）由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，则设P（x，y），得，且，求