2019届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学（理）试题（解析版）

2019届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学（理）试题一、单选题1若复数的实部为，则m的值为（ ）AB1C2D【答案】A【解析】根据复数的乘法运算法则化简复数，然后根据复数实部的值，得到方程，解方程即可.【详解】，因为它的实部是，所以有.故选：A【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，考查了已知函数的实部求参数问题，考查了数学运算能力.2设集合，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】直接根据集合交集运算的定义求解即可.【详解】因为，所以，因此有，或.故选：A【点睛】本题考查了根据交集的结果求参数问题，考查了数学运算能力.3已知向量和不共线，向量与共线，则实数的值为（ ）AB1CD【答案】D【解析】根据平面向量共线定理直接求解即可.【详解】因为向量与共线，所以存在唯一的实数，使得成立，因此有：.故选：D【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了数学运算能力.4等比数列满足，则（ ）A3B6C9D18【答案】D【解析】利用等比数列下标的性质，结合等比数列的通项公式求解即可.【详解】设等比数列的公比为，.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的下标性质，考查了等比数列通项公式的应用，考查了数学运算能力.5设函数，则（ ）A3B4C6D【答案】B【解析】结合对数运算的公式先求出，再根据指数式与对数式的恒等式求出的值，最后进行加法运算即可.【详解】因为，所以；因为，所以，因此有.故选：B【点睛】本题考查了分段函数求函数值，考查了对数的运算公式，考查了对数式与指数式恒等式的应用，考查了数学运算能力.6执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A11B13C21D27【答案】A【解析】按照程序框图执行程序，最后可以确定输出的值.【详解】初始条件：，因为成立，所以；因为成立，所以；因为成立，所以；因为成立，所以；因为成立，所以；因为不成立，故退出循环体，输出.故选：A【点睛】本题考查了已知程序框图求输出的值问题，考查了循环结构，考查了数学运算能力.7设抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，A为垂足，若直线斜率为，则（ ）AB2CD3【答案】B【解析】抛物线的准线与横轴的交点为，根据斜率与倾斜角之间的关系，可以知道的大小，进而利用锐角三角函数的定义可以求出，利用平行线的性质和抛物线的定义可以判断出是等腰三角形，最后利用余弦定理求出的值.【详解】抛物线的准线方程为: ，它与横轴的交点为，焦点.因为斜率为，所以，因此，在中，显然与横轴平行，故，由抛物线的定义可知：，因此有，所以在等腰中，由余弦定理可知：，解得.故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了锐角三角函数的应用，考查了余弦定理，考查了数学运算能力.8已知某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图还原几何体，再利用相应的体积求出各部分的体积，最后求出组合体的体积.【详解】由三视图可知：该组合体是半个圆柱和一个三棱锥组成.所以组合体的体积为：.故选：B【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，考查了求组合体的积体问题，考查了数学运算能力.9展开式中的常数项为（ ）ABCD60【答案】C【解析】运用二项式的通项公式，结合乘法的运算法则，直接求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，令，所以展开式中的系数为：；令，所以展开式中常数项为：，因此展开式中的常数项为：.故选：C【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，考查了数学运算能力.10某学校有舞蹈、管乐、话剧、合唱四个节目均参加了全国决赛，记者随机采访了四名参赛同学并获得了以下信息：（1）四个节目只有两个获奖；（2）若舞蹈获奖，则话剧肯定没获奖；（3）若管乐获奖，则合唱一定获奖；（4）若话剧没获奖，则合唱肯定没获奖据此可以判断获奖的两个节目是（ ）A舞蹈、话剧B管乐、话剧C舞蹈、管乐D话剧、合唱【答案】D【解析】先假设其中一个节目获奖，然后根据已知进行判断，直到满足信息即可.【详解】若舞蹈获奖，话剧肯定没获奖，因为四个节目只有两个获奖，所以管乐、合唱中有只有一个获奖，而由（3）可知：若管乐获奖，则合唱一定获奖；所以这种情况不符合题意；若管乐获奖，由（3）可知：合唱一定获奖；这样舞蹈、话剧都没有获奖，这样由（4）可知：合唱肯定没获奖，而刚推理得到合唱一定获奖矛盾，故这种情况也不符合题意；所以只能是话剧、合唱获奖，经验证符合题意.故选：D【点睛】本题考查了合情推理，考查了推理论证能力，考查了阅读能力.11已知P为双曲线左支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，Q为y轴上一点，则（ ）AB8CD20【答案】C【解析】设，根据双曲线的定义可以求出，结合三角形中线的性质和余弦定理可以求出的关系，再求出的表达式，再根据平面向量的加法的几何意义化简向量式，根据平面向量的数量积定义直接求解即可.【详解】由双曲线的定义可知：，设，在中，由余弦定理可知：，因此，因为Q为y轴上一点，所以有，所以.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学运算能力.12设函数的最大值为，则的最小值为（ ）ABCD1【答案】A【解析】根据二倍角的余弦公式，利用换元法先求出的取值范围，然后根据绝对值的性质进行分类讨论求出，求出的最小值.【详解】，令，.因为，所以的取值范围为：.当时，即时，；当时，即时，若，即时，；若，即时，.故选：A【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，考查了求函数的最大值，考查了求函数的最小值，考查了绝对值的性质，考查了数学运算能力.二、填空题13设样本数据的方差是5，若，则的方差为_【答案】20.【解析】利用方差的性质直接求解即可.【详解】因为样本数据的方差是5，若，所以的方差为.故答案为：20【点睛】本题考查了方差的性质，属于基础题.14若x，y满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线，在可行解域内找到直线在纵轴截距最大时，直线所经过的点，把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图所示：在可行解域内，平行移动直线，当直线经过点时，直线在纵轴截距最大，解方程组：，所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了求目标函数的最小值问题，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.15设是数列的前n项和，且，则_.【答案】.【解析】把代入到中，再经过变形可以得到数列是等差数列，利用等差数列前n项和公式直接求解即可.【详解】因为，所以有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，因此.故答案为：【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式，考查了等差数列的判定，考查了等差前n项和公式，考查了数学运算能力.16在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.已知鳖臑满足平面，D为中点，过A点作交于点E，则面积的最大值为_.【答案】2.【解析】利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可以证明出，再利用线面垂直的判定定理证明出平面，所以可以证明出，利用勾股定理、直角三角形的性质、重要不等式、三角形面积公式，求出面积的最大值.【详解】因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，而平面，所以有，又因为，平面，所以平面，而平面，所以.D为中点，平面，平面，所以，所以.因此有（当且仅当时取等号）.【点睛】本题考查了求三角形面积最大值问题，考查了线面垂直的判定定理和性质定理，考查了直角三角形的性质，考查了重要不等式，考查了数学运算能力.三、解答题17在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角C的大小；（2）若，的面积为2，求边长c的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用降幂公式、两角和差的余弦公式、三角形内角和定理可以求出的值，再根据特殊角的三角函数以三角形内角和定理求出角C的大小；（2）运用正弦定理结合已知、三角形的面积公式求出边长c的值.【详解】（1），即，；（2）由题意知：由余弦定理得：.【点睛】本题考查了降幂公式，考查了正弦定理，考查了三角形面积公式，考查了两角和差的余弦公式，考查了数学运算能力.18某企业生产A产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值划分等级及产品售价如下表：质量指标值m或或产品等级等品二等品三等品售价（每件）160元140元120元从该企业生产的A产品中抽取100件作为样本，检测其质量指标值，得到下图的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求A产品质量指标值的中位数；（2）用样本频率估计总体概率.现有一名顾客随机购买两件A产品，设其支付的费用为X元，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）31；（2）分布列见解析，292.【解析】（1）根据在频率直方图中，中位数左右两边的直方图的面积相等进行求解即可；（2）先求出企业随机抽取一件A产品为一等品，二等品，三等品的概率，然后求出X的所有可能取值，再求出每种可能的概率，最后列出分布列计算数学期望.【详解】（1）设A产晶质量指标值的中位数为x，则，解得：. （2）由题意知，该企业随机抽取一件A产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为.X的所有可能取值为：240，260，280，300，320.，所以X的分布列为X240260280300320X的数学期望（元）.【点睛】本题考查了利用频率直方图求中位数，考查了列离散型随机变量分布列和计算数学期望，考查了数学阅读能力和数学运算能力.19如图，在圆台中，平面过上下底面的圆心，点M在上，N为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）当时，与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用圆的性质和圆台高的性质可以证明出平面，再利用面面垂直的判定定理证明出平面平面；（2）求可知：，故分别，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.利用空间向量根据已知可以求出圆台的高，最后利用空间向量夹角公式求出二面角的余弦值.【详解】（1）在中，因为N为中点，.在圆台中，因为底面，平面.平面.又平面平面平面 （2）当时，故分别以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设，则，故，.所在平面的法向量为.记与底面，所成角为则，解得：.设平面的法向量为由得：平面的法向量为，记二面角的大小为，则.二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直的证明，考查了线面角、二面角的求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.20如图，A，B为椭圆的左、右顶点，直线过椭圆C的右焦点F且交椭圆于P，Q两点.连结并延长交直线于点M.（1）若直线的斜率为，求直线的方程;（2）求证：A，Q，M三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设，计算出的值，最后求出直线的斜率，最后求出直线的方程；（2）根据直线的斜率为零不为零进行分类讨论. 直线的斜率为零时，显然成立；直线的斜率不为零时，设出直线的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，只要计算出就可以证明出A，Q，M三点共线.【详解】（1）设，所以，由题意可知：，则.，直线的方程为： （2）当垂直于y轴时，方程为，此时显然有A，Q，M三点共线；当不垂直于y轴时，设方程为，则直线方程为，令得，即.A，Q，M三点共线.【点睛】本题考查了椭圆上的点与长轴顶点的斜率之间的关系，考查了三点共线，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了数学运算能力.21已知函数，其中.（1）若是定义在上的单调函数，求实数a的取值范围；（2）当时，判断与的图象在其公共点处是否存在公切线？若存在，求满足条件的a值的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）对函数求导，根据实数a的不同取值进行分类讨论，最后可以根据函数的单调区间求出实数a的取值范围；（2）假设，的图象在其公共点处存在公切线，对两个函数分别求导，根据点在函数图象上，和切线的斜率列出方程组，化简得到关于a的方程，构造新函数，根据新函数的零点情况进而可以判断出方程的根的情况，最后可以判断出是否存在公切线.【详解】（1）.当时，故在上单调递减，满足题意；当时，要使得在上单调，则恒有.，解得：.综上，或 （2）假设，的图象在其公共点处存在公切线，则由可得：.将代入，则，即：.令，则，故在上单调递减，在上单调递增.又，且当，；当，在有两个零点，即方程在有两个不同的解.所以，与的图象在其公共点处存在公切线，满足条件的a值有2个【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数问题，考查了两个函数的图象是否有公切线问题，考查了构造函数法，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.22在直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系圆C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数），直线和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.（1）求圆C及直线的直角坐标方程；（2）求面积的最大值.【答案】（1）， ；（2）.【解析】（1）利用极坐标和直角坐标互化公式直接把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用加减消元法可以将直线的参数方程化为普通方程；（2）利用垂径定理、勾股定理可以求出的长度，利用圆的几何性质求出P到直线的最大距离，最后求出面积的最大值.【详解】（1），圆C的方程为：，直线的方程为；（2）圆C的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，点P到直线距离的最大值为，从而有.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了参数方程化为普