2020届包头市高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届内蒙古包头市高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先化简集合，再求两个集合的交集.【详解】因为，又因为所以故选：C【点睛】本题主要考查了集合的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）ABCD【答案】C【解析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3已知，则（ ）AB8CD128【答案】A【解析】先求向量的坐标，再求其模.【详解】因为所以故选：A【点睛】本题主要考查了向量的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：班级参赛人数平均数中位数众数方差甲4583868582乙45838485133某同学分析上表后得到如下结论：甲、乙两班学生的平均成绩相同；乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）；甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；乙班成绩波动比甲班小.其中正确结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】看两班的平均数易知正确；看两班的中位数正确；看两班的众数正确；看两班的方差.【详解】从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同，正确；因为乙班的中位数比甲班的小，所以正确；根据甲、乙两班的众数，所以正确；因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误故选：C.【点睛】本题主要考查了样本中的数字特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】先求从6罐中随机抽取2罐的方法数，再求能中奖的方法数，再用古典概型求概率.【详解】从6罐中随机抽取2罐的方法数是 能中奖的方法数是则能中奖的概率为概率为 故选：D【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6设为奇函数，且当时，则当时，（ ）ABCD【答案】B【解析】先设时，则，再由为奇函数，则有求解.【详解】设时，则所以又因为为奇函数，所以故选：B【点睛】本题主要考查了利用奇偶性求解析式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7直线与平面平行的充要条件是（ ）A直线上有无数个点不在平面内B直线与平面内的一条直线平行C直线与平面内的无数条直线都平行D直线与平面内的任意一条直线都没有公共点【答案】D【解析】A. 由无数个点不代表所有的点来判断，B.由线面平行的判定定理来判断， C. 由无数个不代表所有的来判断D. 由直线与平面平行的定义来判断.【详解】A. 无数个点不是所有点，所以不正确；B. 缺少直线在平面外，所以不正确；C. 无数条直线不是所有的直线，所以不正确；D. 由直线与平面平行的定义，正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行的定义及判定定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，则（ ）ABC2D4【答案】B【解析】分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆的上顶点是 抛物线的焦点因为两点重合所以所以故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）ABCD【答案】C【解析】分别作出这四个函数的图象，再根据条件来判断.【详解】A. 的图象如下：最小正周期是 不正确，B. 的图象如下：最小正周期是 不正确C. 的图象如下：最小正周期是，在区间单调递增，正确 D. 的图象如下：最小正周期是，在区间单调递减，不正确 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10已知，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据均值不等式，可有，则，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。【详解】因为所以所以所以所以两边分别相加得当且仅当 取等号故选：B【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD【答案】D【解析】先求右顶点到条渐近线的距离，再根据，利用求解.【详解】因为双曲线：的右顶点为，双曲线的一条渐近线 右顶点到一条渐近线的距离 又因为，所以解得 故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12设，且，记，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】先令，得到，所以，根据结构，构造函数，再利用单调性比较大小.【详解】设，所以，令则因为所以在上是增函数，又因为所以故选：A【点睛】本题主要考查了构造函数法比较数的大小，还考查了构造，论证的能力，属于中档题.二、填空题13若变量，满足约束条件，则的最大值是_.【答案】1【解析】先根据约束条件画出可行域，再平移目标函数所在的直线，找到最优点，再将其坐标代入目标函数求解.【详解】由约束条件，画出可行域，再平移目标函数所在的直线，找到最优点，将其坐标代入目标函数，则故答案为：1【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想，属于基础题.14我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有5个车次正点率为0.97，有10个车次的正点率为0.98，有5个车次正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.【答案】0.98【解析】先求得总车次，再利用平均正点率求解.【详解】因为总车次：5+10+5=20所以平均正点率： 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98故答案为：0.98【点睛】本题主要考查了样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15在圆内接四边形中，则的面积为_.【答案】【解析】利用余弦定理在中，有，在中，有再根据内接四边形对顶角互补，两式相加得再用正弦定理求解.【详解】根据题意在中，在中，又因为所以所以两式相减得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16如图，棱长为1的正方体木块经过适当切割，得到棱数为12的正八面体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体）.已知面平行于正方体的下底面，且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若在侧面内，且该正八面体的体积为，则该正八面体的棱长为_，点到棱的距离为_.【答案】 【解析】先明确正八面体中两个正四棱锥的高是，从而求得底面积，再根据底面是正方形求解.【详解】设正八面体的棱长为 根据题意正八面体中两个正四棱锥的高是所以 所以所以设点到棱的距离为根据题意故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了棱锥体积的有关计算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由底面是正方形，条件，再由侧面底面，利用面面垂直的性质定理，得平面，所以，再由，利用线面垂直的判定定理得证.（2）由侧面底面，得底面，求得到底面的距离，再由.求解.【详解】（1）证明：底面是正方形，侧面底面，侧面底面，由面面垂直的性质定理，得平面，平面，又是正三角形，为的中点，又，平面.（2）过点作，侧面底面，侧面底面，底面，为正三角形，为的中点，到底面的距离，四棱锥的体积.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，体积的求法，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.18设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），.（2）【解析】（1）由是等差数列，是等比数列，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再由 ，.列方程求解.（2）由（1）得，再利用错位相减法求前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则由题意，得，解得：，故，.（2）， -得：，.【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式和 错位相减法求前项和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）设抽出的6人分别用、表示，现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查.（i）试用所给字母列出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人来自同一兴趣小组”，求事件发生的概率.【答案】（1）3人、2人、1人.（2）（i）见解析（ii）【解析】（1）先算出甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比，再采用分层抽样的方法抽取.（2）（i）从抽出的6人中随机抽取2人的所有可能结果用列举法列出.（ii）对6人进行编号，来自甲兴趣小组的是，来自乙兴趣小组的是，来自丙兴趣小组的是，再列举则从6人中随机抽取2人来自同一兴趣小组的可能结果，用古典概型的概率.【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，因此从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人、2人、1人.（2）（i）从抽出的6人中随机抽取2人的所有可能结果为：，共15种.（ii）不妨设抽出的6人中，来自甲兴趣小组的是，来自乙兴趣小组的是，来自丙兴趣小组的是，则从6人中随机抽取2人来自同一兴趣小组的可能结果为，共4种.所以，事件发生的概率.【点睛】本题主要考查了分层抽样和古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20已知椭圆：的左右顶点分别为，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积为、，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先设点，有，再与，联立求解.（2）由椭圆的焦距长为4和（1）的结果，求得椭圆的方程与直线：.联立，再由求解.【详解】（1）设点，则，联立得，.（2）由题意知，即，由（1）知，椭圆的方程为：，由已知得：.联立，可得.设，根据韦达定理，得，于是.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率及方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若，且在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，且，讨论函数的单调性.【答案】（1）（2）.（3）见解析【解析】（1先求导，再由求解.（2）由，在区间上恒成立，转化为在上恒成立，令，再用导数法求解.（3）由，求导得，令，分，两种情况讨论.【详解】（1）由题意，得，则，解得.（2）当时，在区间上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，可得，单调递增；令，可得，单调递减；所以，即，故.（3）当时，则，令， 当时，所以，在内，单调递增，在内，单调递减. 当时，令，解得或，所以，在和内，单调递增；在内，单调递减.综上， 当时， 在上单调递增，在单调递减. 当时，在和单调递增；在单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性，极值，最值，还考查了转化运算求解的能力，属于难题.22点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点顺时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线与曲线、分别交于、两点，定点，求的面积.【答案】（1），（2）【解析】（1）将代入得曲线的极坐标方程，设，有顺时针旋转，得到点，代入则曲线的极坐标方程得解。.（2）先求点到射线的距离，利用公式求，再由.求解.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，设，则，所以.所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意得点到射线的距离为，的面积.【点睛】本题主要考查了普通方程与极坐标方程的互化及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题