2020届部分重点中学高三第二次联考高三数学（文）试题（解析版）

2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考高三数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】求出集合中的元素，然后直接求【详解】解：由已知，故选：B【点睛】本题考查集合的并集，是基础题.2已知点，单位向量，则（ ）ABCD【答案】B【解析】与向量的共线的单位向量为，由此即可得【详解】解：由已知，故，故选：B【点睛】本题考查与向量共线的单位向量，是基础题3，则（ ）A3BC2D1【答案】B【解析】求出，然后用模的公式求【详解】解：由已知，则，故选：B【点睛】本题考查复数的乘法运算以及复数的模，是基础题4如图所示，在矩形中，图中阴影部分是以为直径的半圆，现在向矩形内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）A1000B2000C3000D4000【答案】C【解析】：在矩形中，面积为，半圆的面积为，故由几何概型可知，半圆所占比例为，由此计算落在阴影部分内的豆子数目【详解】：在矩形中，面积为，半圆的面积为，故由几何概型可知，半圆所占比例为，随机撒4000粒豆子，落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C。【点睛】：几何概型是计算面积、线段长度、角度、体积等的比例值，但题设不会明确的给出利用几何概型求解，需要对题意进行等价转化。5以下比较大小正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质逐一判断即可【详解】解：对A，则；对B，；对C，；对D，故选：C【点睛】本题考查利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小，关键是要找到符合的函数，是基础题6，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用诱导公式求出，；利用同角三角函数基本关系和诱导公式将变形为，代入即可得结果【详解】解：由已知，则，故选：A【点睛】本题考查同角三角函数基本关系及诱导公式，要注意为负数，是一道基础题7若椭圆双曲线有公共焦点，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用椭圆与双曲线有公共焦点，建立等式，从而求出离心率【详解】解：双曲线的标准方程为，由已知得，得，则椭圆的离心率，故选：B【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，关键是注意几何量间的不同关系以及焦点位置，是基础题8下图是计算的一个程序框图，判断框图内的条件是（ ） ABCD【答案】A【解析】分析程序中各变量，各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值，模拟循环过程可得条件.【详解】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：不满足条件，第一圈：，不满足条件，第二圈：，不满足条件，第三圈： ，依次类推，不满足条件，第2019圈：，不满足条件，第2020圈：，此时应该满足条件，结束循环，输出结果，其中判断框内应填入的条件是：故选：A.【点睛】本题考查循环结构框图的条件补充问题，注意计算要准确.9年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉凯林（WilliamG.KaelinJr）在研究肾癌的抑制剂过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，.如果瓶内的药液恰好分钟滴完.则函数的图像为（ ）ABCD【答案】C【解析】每分钟滴下cm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系【详解】由题意知，每分钟滴下cm3药液，当4h13时，x42（13h），即h13，此时0x144；当1h4时，x429+22（4h），即，此时144x156函数单调递减，且144x156时，递减速度变快故选：C【点睛】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，属中档题10点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意得A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正射影B，利用两点之间的距离公式得到结果【详解】点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正射影，B在坐标平面yOz上，竖标和纵标与A相同，而横标为0，B的坐标是（0，2，3），|OB|，故选：B【点睛】本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题11在中，面积，则（ ）AB2CD【答案】C【解析】利用三角形面积公式列出关系式，把，代入面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，即为的值【详解】解：在中，且,，由余弦定理得：，则故选：C.【点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键12已知函数在定义域上可导，且，则关于的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】构造函数，根据条件判断其单调性，然后将转化为，利用单调性解不等式即可【详解】解：令，则，所以在上单调递减，又由已知，即，所以，所以，故选：A【点睛】本题考查单调性的应用，考查学生观察能力和计算能力，关键是构造出函数来解决问题，是中档题二、填空题13设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为_【答案】1【解析】先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值【详解】解：画出变量满足的约束条件，可行域如图阴影区域：目标函数可化为，即斜率为2，截距为的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，最大，即最小，由得A（1，1）目标函数的最小值为故答案为：1【点睛】本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题14如图，函数的部分图像与轴交点的纵坐标为，则_【答案】【解析】先通过周期得出，再根据图像与轴交点的纵坐标为求出或，利用五点法分类讨论求出，进而可得.【详解】解：由图知，且，得，则，又图像与轴交点的纵坐标为， 或，当时，当时，当时，故答案为：【点睛】本题考查通过三角函数的图像得的解析式，考查分类讨论的思想和计算能力，是中档题.15设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点.已知是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值为_.【答案】或【解析】若，则，解得，若，则，解得，综上所述或2，故答案为或.16已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为_【答案】或【解析】根据函数奇偶性的性质求出当x0的解析式，然后分类讨论解不等式即可【详解】解：当，则，当时，得；当时，成立；当时，得，综上所述，不等式的解集为或，故答案为：或.【点睛】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键三、解答题17若的前项和为，数列是公差为6的等差数列.（1）求的通项公式；（2）记，求证：为等比数列，并求前项和.【答案】（1）,（2）证明见解析，【解析】（1）先求出，再利用求出的通项公式；（2）证明为定值即可得为等比数列，再利用等比数列的前项和公式求.【详解】（1）依题意：，从而，；（2）由条件知：，当时，故为公比为8的等比数列.由等比数列求和公式，.【点睛】本题考查法求通项公式，考查等比数列的证明以及前项和的求解，是基础题.18如图，在长方体中，是上一点，设.（1）求的值；（2）设，的截面交于.求证:；设，截面将长方体分成两部分，记含点部分体积为，求.【答案】（1），（2）证明见解析，【解析】（1）连结，根据条件可得，进而得到，通过计算可得的值；（2）通过面面平行的性质定理进行证明即可；由题可得长方体被截面截得含部分为三棱台，利用棱台的体积公式计算即可【详解】（1）连结，由条件知，故平面，.在矩形中，如图：当时，解得：，故.（2）平面平面，平面平面，平面平面，不妨设，从而平面平面，又平面平面，.可知长方体被截面截得含部分为三棱台，【点睛】本题考查面面平行的性质及棱台体积的求解，考查学生空间想象能力和计算能力，是一道中档题19某市对各老旧小区环境整治效果进行满意度测评，共有10000人参加这次测评（满分100分，得分全为整数）.为了解本次测评分数情况，从中随机抽取了部分人的测评分数进行统计，整理见下表：组别分组频数频率130.062150.3321430.1250.1合计1.00（1）求出表中，的值；（2）若分数在80（含80分）以上表示对该项目“非常满意”，其中分数在90（含90分）以上表示“十分满意”，现从被抽取的“非常满意“人群中随机抽取2人，求至少有一人分数是“十分满意”的概率；（3）请你根据样本数据估计全市的平均测评分数【答案】（1），（2），（3）【解析】（1）选取一组频率与频数已知的数据，构造方程可求出，值，进而根据各组累积频数和，可求出；（2）记事件为“抽取的2人在非常满意的人中都不是十分满意的人”，先求出总的基本事件数，再求出事件对应的基本事件数，由概率公式计算即可（3）累加各组组中频数与频率的乘积，可估算出全市的平均分数【详解】（1），得，.（2）记事件为“抽取的2人在非常满意的人中都不是十分满意的人”，从对该项目非常满意的11人中抽取2人共有种取法，而事件对应的取法有种：，“至少有一人十分满意”为事件：；（3）依题意，评测分数：.【点睛】本题考查的知识点是频率分布表，用频率估算概率，用频率分布直方表（图）估计平均数，是统计和概念的简单综合应用，难度不大20已知圆与抛物线有一条斜率为1的公共切线.（1）求.（2）设与抛物线切于点，作点关于轴的对称点，在区域内过作两条关于直线对称的抛物线的弦，.连接.求证：；设面积为，求的最大值.【答案】（1），（2）证明见解析，【解析】（1）设切线为，其与圆相切，列方程可得可得的值，又与抛物线相切，与抛物线联立，结合，可求出的值；（2）由（1）可得切点为，故，设直线方程为，点，代入点的坐标可得利用与关于对称得到，联立与抛物线方程，结合韦达定理，可得，即可证明；求出以及到的距离，表示出，利用导数求其最值即可【详解】（1）设切线为.直线与圆相切，解得或，联立，得，由，得.结合可知：，；（2）由上述方程知直线与抛物线的切点为，故，设直线方程为，点与关于对称即：联立与抛物线方程，化简整理得：，代入式整理得， ；由知，方程为，结合条件及可知，又到的距离.考虑其中，当时，此时的最大值为：【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，充分利用设而不求的思想方法，将条件转化为数学式计算，是一道难度较大的题目21设.（1）求在处的切线方程；（2）设，求的最小值与最大值；（3）求的零点个数.【答案】（1），（2），（3）2【解析】（1）先求出，再求出，进而可得切线方程；（2）利用导数求出的单调性，利用单调性求出最值；（3）利用导数求出的单调性，求出其极值和端点值，进而得出零点个数.【详解】（1），设所求切线斜率为，则，又.所求切线为：.（2）由（1）知，.当时，；在上，单调递增；，.（3）易证：在为非零实数时恒成立，由（2）知在上单调递增，且，故0为的唯一零点，且，在单调递减；，在单调递增；，.在及上各有一个零点，共两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，注意函数的零点个数问题可以转化为极值问题，是中档题.22已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），点时曲线上两点，点的极坐标分别为,.（1）写出曲线的普通方程和极坐标方程；（2）求的值.【答案】（1），（2）6【解析】（1）消去参数，把曲线的参数方程化为普通方程，再由公式，把曲线的普通方程化为极坐标方程；（2）方法1：由两点的极坐标，得出，判定为直径，求出；方法2：把化为直角坐标的点的坐标，求出两点间距离【详解】（1）曲线的参数方程为，（为参数），消去参数，化为普通方程是；由，（为参数），曲线的普通方程可化为极坐标，（为参数）.（2）方法1：由是圆上的两点，且知，为直径，.方法2：由两点化为直角坐标中点的坐标是：，、两点间的距离为：.【点睛】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）