2019-2020学年重庆外国语学校高二上学期2月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆外国语学校高二上学期2月月考数学试题一、单选题1对于直线和平面，可以表述为“，有”，则可以表述为（ ）A，有B，有C，有D，有【答案】C【解析】是否定，只需写出命题“，有”的否定即可.【详解】由题：对于直线和平面，可以表述为“，有”，则即命题“，有”的否定，可以表述为：，有.故选：C【点睛】此题考查全称命题的否定，关键在于根据题意准确写出含有一个量词的命题的否定形式.2“两条直线同时垂直同一条直线”是“这两条直线互相平行”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】“两条直线同时垂直同一条直线”不能推出“这两条直线互相平行”，“两条直线平行”能够推出“它们同时垂直同一条直线”.【详解】若“两条直线平行”，则“它们同时垂直同一条直线”，考虑一条直线垂直于一个平面，平面内任意两条直线都垂直于这条直线，不能推出那两条直线平行，所以“两条直线同时垂直同一条直线”是“这两条直线互相平行”的必要不充分条件.故选：C【点睛】此题考查充分条件与必要条件的判定，关键在于准确弄清直线的位置关系，准确辨析才能得出正确选项.3过点，且在轴上的截距是上的截距的2倍的直线（ ）A只有一条B有且仅有两条C有三条D有四条【答案】B【解析】分类讨论，分直线过原点和不过原点两种情况分别求解.【详解】当直线过原点时，直线方程，满足题意；当直线不过原点时，设其方程为经过，解得：，直线方程为，所以一共两条.故选：B【点睛】此题考查根据题意求直线方程，涉及直线在坐标轴的截距问题，容易漏掉截距为0的情况.4已知两条直线，平行，则（ ）ABC或D或【答案】A【解析】根据直线平行倾斜角的关系列方程求解，检验结果的准确性.【详解】由题：两条直线，平行，则，解得：或，当时：直线，平行，当时：直线，重合，（舍去），所以.故选：A【点睛】此题考查根据两条直线平行求参数范围，注意考虑直线重合的情况，容易产生增根.5已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）A外离B外切C内含D内切【答案】C【解析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，求出圆心距，可以求出圆心距的最小值，然后与两圆半径的和、差的绝对值，进行比较，最后得出答案.【详解】因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为2，又因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为，因此有，两圆的半径和为，半径差的绝对值为，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的判断，求出圆心距的最小值是解题的关键.6已知的平面直观图（斜二测作法）是斜边长为的等腰直角三角形，那么原的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】分别作出直观图和原图，根据斜二测作图法求边长和面积.【详解】如图：是斜边长为的等腰直角三角形，过作的平行线交轴于，所以在原图中，的面积为.故选：C【点睛】此题考查斜二测法作图相关量的计算，关键在于准确掌握作图法则进行计算，可以记住二级结论，原图与直观图之间的面积之比，节省计算时间.7如图，是正方体的棱的中点，则下列判断正确的是（ ）A直线与是相交直线B直线与互相平行C直线与是异面直线D直线与互相垂直【答案】D【解析】直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是相交直线，直线与互相垂直，即可得出选项.【详解】由题：平面，与平面交于点，所以直线与是异面直线，所以选项A错误；平面，与平面交于点，所以直线与是异面直线，所以选项B错误；根据正方体性质，所以四点共面，所以直线与不是异面直线，所以选项C错误；正方体各个表面均为正方形，所以直线与互相垂直，所以选项D正确.故选：D【点睛】此题考查空间几何体中的点线面位置关系判断，根据基本公理定理出发进行推理论证得出结论.8已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】点关于直线对称，则线段中点在直线上，求出中点坐标，与直线垂直，根据中点关系和斜率关系即可求解.【详解】设，点关于直线对称，且线段中点在直线上，纵坐标为，所以横坐标为，在椭圆上：，两式相减得：解得：.故选：B【点睛】此题考查中点弦相关问题，根据点与直线的位置关系，结合点差法求解，若能熟记中点弦公式相关结论，可以大大提升解题速率.9双曲线：的左右焦点分别为，的右支上一点满足，若坐标原点到直线距离是，则的离心率为（ ）ABC2D3【答案】B【解析】分别过，作直线的垂线，垂足为，利用中位线性质可以求出,在中，可以求出，利用双曲线的定义，可以求出，在中，利用余弦定理可以得到的关系，进而求出双曲线的离心率.【详解】分别过，作直线的垂线，垂足为，显然, 是的中点,所以=,在中, ,由双曲线的定义,可知:,在中，,故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率.解题的关键是利用双曲线的定义、中位线的性质、余弦定理的综合使用,考查了运算能力.10正方体中，则关于多面体，有如下判断：多面体的外接球的体积为；多面体的体积是正方体体积的；多面体的表面积为其中判断正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】多面体的外接球与原正方体的外接球是同一个球，可以得出，正方体体积减去四个小锥体体积得到多面体体积判定，多面体是正四面体，计算表面积得.【详解】作出几何体，如图所示：根据不共面的四点可以确定圆可得：多面体的外接球与正方体的外接球是同一个球，所以外接球半径，外接球体积为，所以正确；设正方体体积，多面体的体积：不是正方体体积的，所以不正确；多面体是正四面体，棱长为，多面体的表面积，所以正确.故选：B【点睛】此题考查求空间几何体的外接球的半径，几何体体积和表面积，关键在于准确识别几何体，弄清物体特征，选取恰当方法求解.11已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，是圆任意一点，的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】将的最小值转化为求的小值，根据抛物线的几何意义，将化为抛物线上的点到准线的距离.【详解】作出图象，根据抛物线和圆的几何性质可得：要取得最小，必有，过作直线的垂线，垂足为，根据抛物线的几何意义，的最小值，即的最小值，过点作直线的垂线与抛物线的交点，就是所求最小值时刻的点M，所以最小值为2.故选：B【点睛】此题考查抛物线和椭圆的几何性质的综合应用，涉及圆外一点到圆上距离的最值，抛物线上的点到焦点距离相关问题辨析.12椭圆的焦点，长轴长为，在椭圆上存在点，使，对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】椭圆上存在点，使，只需最大角，结合直线上存在点到圆心距离等于2，可建立不等关系求出离心率的范围.【详解】由题：椭圆的焦点，长轴长为，在椭圆上存在点，使，只需最大角，即当为短轴端点时，得最大角即，所以，即，又对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，临界情况即过点作圆的两条切线互相垂直，此时点到圆心的距离为2，直线上存在点到圆心距离等于2，只需到直线距离小于等于2，所以离心率，且，综上所述：椭圆离心率的取值范围.故选：A【点睛】此题考查根据椭圆的几何特征求离心率，涉及圆相关知识，综合性较强，需要熟练掌握常见结论.二、填空题13圆与圆的公共弦所在的直线方程为_.【答案】【解析】两个圆的方程作差即公共弦所在直线方程.【详解】由题：圆与圆的标准方程为：和，圆心距为，所以两圆相交，所以公共弦所在直线方程即：，即.故答案为：【点睛】此题考查求两圆的公共弦所在直线方程，属于简单题目，注意先判断两圆的位置关系，而不是简单地将两圆方程作差.14双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为_.【答案】【解析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15已知直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为抛物线的焦点，若，则的值为_.【答案】【解析】根据作出图形，结合抛物线的几何意义和平面几何知识求出的值.【详解】根据作图如下：过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的几何性质：，所以直线的倾斜角为，即，所以，又因为，即，解得：，所以.故答案为：【点睛】此题考查抛物线的几何性质的综合应用，涉及等价转化，将抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离，结合平面几何知识求解.16一个直棱柱的底面是有一个内角为的三角形，面积最大的一个侧面是边长为的正方形，则这个棱柱的外接球的表面积是_.【答案】【解析】直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心连线中点即外接球球心，即可求值.【详解】作出几何图形，如图所示：由题可得直三棱柱的高为6，底面三角形最大的边为，底面三角形最大的角，底面三角形的外接圆半径，所以外接球的半径，所以外接球的表面积.故答案为：【点睛】此题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于根据几何图形准确求出外接球的半径，积累常见几何体外接球半径的求法.三、解答题17在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积.【答案】表面积为，体积为【解析】物体旋转之后得到的几何体为底下一个圆柱挖出了一个半球体，上方一个圆锥，即可求得表面积和体积.【详解】根据平面图形旋转之后得到一个圆锥，下方一个圆柱内部挖掉一个半球体，所以其表面积为：，体积为：.所以该集合体的表面积为，体积为.【点睛】此题考查求旋转体的表面积和体积，关键在于准确识别旋转之后的几何体特征.18如图，长方体中，点分别在上，（1）求直线与所成角的余弦值；（2）过点的平面与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）连接，或其补角即为所求；（2）根据在棱上找出点使得，体积之比转化为面积之比.【详解】（1）连接，长方体中，所以四边形是平行四边形，所以与平行且相等，所以与平行且相等，所以四边形为平行四边形，所以，直线与所成角就是或其补角，在中，由余弦定理，所以直线与所成角的余弦值为；（2）设过点的平面与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，即正方形，则，作于，作于，所以，所以图中只能点在点的右侧，平面把该长方体分成的两部分为直棱柱和直棱柱，两个直棱柱的高相等，两部分体积之比为.【点睛】此题考查空间几何体中求异面直线夹角，处理平面与几何体的截面问题，关键在于准确找出几何关系进行计算.19抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上.（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上有一点，且的纵坐标为正数，过作圆：的切线，切点为，当四边形的面积为时，求出切线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设抛物线方程，点在抛物线上，代入即可求得；（2）根据四边形面积求出，计算出，即可求出切线方程.【详解】（1）设抛物线方程，点在抛物线上，解得所以抛物线方程；（2）过作圆：的切线，切点为，则，四边形的面积当四边形的面积为时，即，解得设，即，所以点，显然过点斜率不存在的直线与圆不相切；所以设过作圆：的切线方程为，即与相切，则圆心到直线距离等于半径，解得，所以切线方程为.【点睛】此题考查根据抛物线上的点求抛物线方程，根据直线与圆相切通过面积关系转化成距离问题求点的坐标，再求切线方程，体现了转化与化归的思想.20设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点， （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程【答案】(1) y=x1,(2)或【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x1）（k0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得 ，故所以由题设知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程为y=x1（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值21设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证，先设 P（m，n），则需证，即根据条件可得，而，代入即得.试题解析：解：（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过