13高考数学中二次函数题类型浅析.pdf

2 4t s上海中学数学 2 0 0 8 年第2 期 高考数学中二次面数题类型浅析 6 4 1 2 0 0 四川省资中县第二中学凌昌淑 二次函数是中学数学常见而又极其重要的 函数类型 历来是高考数学题中常常涉及的知 识点 并考查一元二次方程 一元二次不等式等 重要知识点 近年来又以更新的题 目类型展现 在我们面前 使我们更应注意到关注二次函数 题类型的研究 一 一一 止 r o1 1 个解X I x 2 求k 的取值范围 并证明立 二 0 x 2 一 1 0 分别去掉绝对值符号 即可解出 注意前提限 制 不难解得 x 了估算 对第二问 一 1 抓 2 这当中涉及 一 讨论二次函数的零点问题 例1 2 0 0 7 年广东高考题 已知a 是实数 函数f x 2 a z 2 2 x一 3 a 如果函数y二 f x 在区间卜1 1 上有零点 求a 的取值范围 解析 此题考查学生分类讨论的数学思想 和二次函数的零点问题 其实质是考查一元二 次方程在指定区间根的分布问题 首先考虑a 0 函数f x 在区I 7 卜 1 1 上没有零点 然后就 a笋 0 时分三种情况讨论 1 方程 f x 在区间卜1 1 有重根 此时 也是由于有绝对值符号 即 把函数f x 处理成分段函数 f x l hx 少 x 2 x 4 赶 一1 1 x 2 分析方 程f x 二0 在区间 0 2 上有两解有两种情况 一是在区间 0 1 和 1 2 上各有一解 二是在 区间 0 1 上无解 而在 1 2 上有两解 由第一 种 情 况 求 得 一 7 一 1 而 第 二 种 情 况 无 解 曰F 一刁 一 2 一 一 一 从而知道x l x 2 的来源 只有正确知道X I x 2 二卫二 理 才能证明最后的问题 不妨令 X I 乙 0 解得 沂 2 函数 f x 在ff间 卜1 1 上只有一个零点 且不是f x 的重 根 此时有 f 一 1 f 1 0 求得1 a 0 11 1 I a 0 或 II f 1 镇 0 f 一1 0 0 由 I 得 a 5 由 II 得 a 一 3 抓 2 综上 所求a 的取值范围是 00 一3可7 一 气二一一 户 沂 U co 例2 2 0 0 9 年浙江高考题 已知 f x x 2 一 1 x 2 k x 1 若 k 2 求方程 f x 0 的解 2 若关于x 的方程f x 0 在 0 2 上有两 1一k 1 1 令 丫妒 8一 令 要证立 二 4 只需 证 明 2 一 一 2 一 一X I x 2 一 一 1了 二 es 二 es 二 k 二 二 一 言在2 8 一 合 4 此 处 用 比 较 法 综 合 法 等 都比较困难 而用分析法执果索因 则可轻松求 证 当然也可这样证明 x 1 E 0 1 k x i 1 0 x 2 E 1 2 2 滩 k r 一 1 0 两式联立消去 k 得 2 x 1 x x 一 x 2 一 生 生一 2 x 2 4 XI x2 例3 2 0 0 7 年湖北高考题 设二次函数 f x 二x 2 a x a 方程f x 一 x 0 的两根 X I 和x 2 满足 0 x i x 2 0 宁 求 得 a 0 g 0 0 粤 若 的 解 集 为 一 x I X I x 1 即可 解得a 2 综 上 所 求 的 范 围 是 一 2 今 co Jrlwett 赴之飞 1 到 得 易 容 第二问名为比较两数的大小 实则考估算的问 题 法一 f 0 f 1 一 f 0 2 a 2 而2 a 2 3 2 故 2 2 二 二0 求证 1 方程f x 0 有实根 2 一 2 立 的解集 为A 又知集合B x 1 x 0 得x O 此时 A xI x 0 则为二次不等式 此时不应急于求解 不等式f x 0 而是先求出f x 二 的两根 xi z2 x1 今 1 x 2 1 十 X I 0 2 1a 2 告 立4min 1 1 1 了 了 1 1 二 二 2 舟 二 I a a v a IV a 0 a 一 含 十 2 0 a 个 中 原 因 多 数 学 生 并不清楚 一定要细细察之 然后才分a O a 0 则f x 0 的解集为A x I x x 2 由AnB j 6 0得只需x 2 0 翻译成 3 a 2 b c 0 再联系到 c 一 a b 则有 a b 2 a b b b 二 b 0 即 二 1 二 2 0 故一 2 二 一 1 对 a a a 于第三问 暗示要找到 X I 一 x 2 2 的范围 而 X I x 2 2 x l x 2 2 4 x 1 x 2 利用根与系数的关 系 再联系到第二问就水到渠成了 四 二次函数的性质 奇偶性 单调性 最值等 例6 2 0 0 2 年全国卷 设a 为实数 函数 f x x 2 x 一 a 1 x E R 1 讨论f x 的奇偶性 2 求f x 的最小值 解析 对 1 问a 0 时为偶函数 a zjl 0 时 为非奇非偶函数 重点考查奇 偶函数概念 对 2 问要分段研究 即分x a x 簇a 两段 要同 时注意参数a 的取值 结合函数 f x 的图像 容 易求得f x 的最小值 当 一 合 时 f x m in 一 a 当 一 告 吝时 f S m in 万方数据 2 6 FO上海中学数学 2 0 0 8 年第2 期 一次函数图像知识与直线型图形性质的互通应用 2 1 1 2 0 0江苏省深水县第一初级中学吕小保 由于 数与代数 部分讨论了一次函数及其 图像 因而可以运用一次函数及其图像知识即 用坐标方法来研究 解决 空间与图形 内的直 线型几何图形问题 且可以反之运用几何知识 解决一次函数问题 本文拟以中考考题与课本 例题为例 谈谈一次函数图像知识与直线型图 形性质之间的互通应用 供大家参考 1 利用一次函数及图像解决直线型图形问题 以下4 例 中考试卷或课本给出的解法都是 运用几何图形的有关知识来解 即在 空间与图 形 领域内部解决直线形图形问题 现介绍运用 代数领域内的一次函数及其图象知识解决几何 问题 1 才 0 2 x 图 1 例1 2 0 0 7 怀化市 九年级 1 班课外活动 小组利用标杆测量学校旗杆的高度 如图1 1 已知标杆高度 刃 二3 m 标杆与旗杆的水平距 离B D二 1 5 m 人的眼睛与地面高度 E F 1 6 m 人与标杆 工 的水平距离D F二2 m 求旗 杆 A B的高度 课本或中考试卷中通常给出的解法都是将 问题中的直角梯形转化为直角三角形和特殊的 平行四边形来解 下面介绍建立直角坐标系 运 用一次函数图像知识巧妙地解决问题的方法 解析 首先 从实际问题中抽象建立数学模 型 模型为 已知 如图 1 2 在直角梯形 A B F E 中 A B E F A B一B F C D在腰A E B F上 且 C D一 B F E F 1 6 m C D二3 m F D二2 m B D 1 5 m 求A B长 其次 如图 1 2 以点 F为原点D 以F B F E所在的直线分别为x y轴 建立直角坐标 则有点 E 0 1 6 C 2 3 B 1 7 0 由E 0 1 6 C 2 3 可确定直线E C的解 析式y 0 7 x 十1 6 当x 1 7 时 y 二1 3 5 A 1 7 1 3 5 即 AB 1 3 5 m 例2 2 0 0 7宿迁市 如图2 1 C E是等边三 角形A B C边A B边上的高 A B 4 D A 1 A B D A二 F 3 B D与C E C A分别交于点F M 例 7 2 0 0 2 年上海高考题 已知 f x 二 x 2 2 a x 2 x E 一 5 幻 1 当a 一 1 时 求函数f x 的最大值与 最小值 2 求实数a 的取值范围 使y 二f x 在区 间卜5 5 上是单调函数 解析 该题注意到数形结合 二次函数在对 称轴两侧分别为单调函数即可轻松求解 在此 不赘述 五 二次函数与不等式的整合 例8 1 9 9 6 年全国卷 己知a b 是实数 函数 f x a x 十b z c g x 二二 b 当 一 1 x 1 时 f x K 1 1 证明 1 2 证明 当一 1 x 1 时 g x I 0 当一 1 x 1 时 爪x 的最 大值为2 求f x 解析 此题是该卷的压轴题 第一问由 f 0 与一 1 x 1 时 f x 1 得 f c 二 c I 1 而当年的情形是超过一半的考生一分 未得 第二问注意g x 是一次函数 当a 时 g x 是卜1 1 上的增函数 g 1 成爪 g 1 只要g 1 一 2 g 1 簇2 而x 1 c f 一 1 g 1 f 1 一 c 由题设与 I 的结论 不难证得 当a 0时同法可证 a 0时 也不