2003年全国各地高考数学模拟试题选析数列.pdf

收稿日期 2003 09 18 2003年全国各地高考数学模拟试题选析 数 列 组长 徐新斌 执笔 陈长伟 湖北省孝感高级中学试题研究小组 432100 中图分类号 O12 44 文献标识码 A 文章编号 0488 7395 2003 23 0035 03 1 高考回顾 数列是高中代数的重要内容之一 由于它既具 有函数特征 又能构成独特的递推关系 使得它既与 中学数学其他部分知识如 函数 方程 不等式 解析 几何 二项式定理等有较紧密的联系 又有自己鲜明 的特征 因此它是历年高考考查的重点 热点和难 点 在高考中占有极其重要的地位 试题往往综合性 强 难度大 承载着考察学生数学思维能力和分析 建模 解决问题的能力以及函数与方程的思想 转化 与化归的思想 分类讨论的思想 从近几年试题来 看 数列部分内容的分值约占总分的12 左右 大 多为一道选择题或填空题 一道解答题 而解答题大 多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题 为了 适应新课程改革的需要 突出对考生能力的考查 形 成选拔必需的区分度 关于数列的试题经常在数列 知识 函数知识 不等式的知识和解析几何知识等的 交汇点处命题 使数列试题呈现综合性强 立意新 角度新 难度大的特点 针对高考命题的趋向 各地 在高考模拟中 数列部分的试题呈现出注重基础 凸 显能力的特色 出现了不少新颖而精彩的好题 以下 撷取珠玉共同欣赏 2 新题评析 例1 北京市海淀区 等比数列 an 中 a1 512 公比q 1 2 用 n表示它的前n项之积 n a1 a2 an 则 1 2 中最大的是 A 11 B 10 C 9 D 8 解 由an 512 1 2 n 1 1 n 1 210 n 得 n 1 n n 1 2 2 n 19 n 2 又 n 19 n 2 当n 9或10时取最大值 且n 9时 n n 1 2 为偶 数 n 10时 n n 1 2 为奇数 故 9最大 选 C 评析 本题综合考查了等差数列和等比数列的 基础知识 n的最大值要考虑两个因素 其一是 n的符号 其二是因子an的绝对值是否大于1 因 此本题的求解不仅需求学生掌握等差 等比数列的 基础知识 还需求学生具备较强的解决问题的能力 例 2 苏州市 已知 an 是首项为1 公比为2 的等比数列 则a1C0n a2C1n a3C2n an 1Cnn等 于 A 3 n B 3 n 1 C 2 n 2 D 2 n 1 解 由an 2 n 1得原式 1 C1n 2 C2n 22 Cnn 2n 1 2 n 3 n 故选 A 例3 南昌市 若数列 an n N3 是等差 数列 则有数列bn a1 a2 an n x N3 也 为等差数列 类比上述性质 相应地 若数列 cn 是 等比数列 且cn 0 n N3 则有dn n N3 也是等比数列 解 dn n c1 c2 cn 评析 本题考查学生类比思维 直觉猜想能力 从对数学的感悟的角度考察学生对等差 等比数列 间的运算对偶关系 不可多得 例4 杭州市 如图1 已知动圆与直线y 3相切并与定圆x2 y2 1相内切 记动圆圆心的轨迹为曲线C 求曲线C的 方程 过原点作斜率为1的直线交曲线C于第 一象限一点P1 又过点P1作斜率为 1 2 的直线交曲 532003年第23期 数 学 通 讯 线C于P2 再过P2作斜率为 1 4 的直线交曲线C于 点P3 如此继续 一般地 过点Pn作斜率为 1 2 n 的直线交曲线C于点Pn 1 设点Pn xn yn 图1 例4图 令bn x2n 1 x2n 1 求 证 数列 bn 是等比数列 设数列 bn 的前n项和为 Sn 试比较 3 4 Sn 1与 1 3n 10的 大小 解 设动圆圆心C x y 由题意得x2 y2 1 y 3 化简得圆心的轨迹方程为x2 4 y 1 或由定 义直接得到 因为Pn xn yn Pn 1 xn 1 yn 1 在 曲线C上 所以 x2n 4 yn 1 x2n 1 4 yn 1 1 又因为直线PnPn 1的斜率为 1 2 n yn 1 yn xn 1 xn 1 2 n 即 1 4 x2n 1 x2n xn 1 xn 1 2 n 得xn 1 xn 1 2 n 2 bn x2n 1 x2n 1 x2n 1 x2n x2n x2n 1 1 22 n 2 1 22 n 3 1 22 n 2 则 bn 1 bn 1 4 所以数列 bn 是以 1 4 为公比的等 比数列 由 知bn 1 22 n 2 则 Sn 1 20 1 22 1 24 1 22 n 2 4 3 1 1 4 n 所以 3 4 Sn 1 1 4 n 因此只要比较4 n 与3n 10的大小 当n 1时 4 13 4 n 19 4 n 3n 10 猜测当n 3 n N时 4 n 3n 10 以下证明n 3 n N时 4 n 3n 10 方法1 用数学归纳法证明n 3 n N时 4 n 3n 10 1 当n 3时 显然成立 2 假设当n k k 3 k N 时4 k 3k 10 则当n k 1时 4 k 1 4 4 k 4 3k 10 3 k 1 10 9k 27 3 k 1 10 即n k 1时 4 n 3n 10也成立 由 1 2 知4 n 3n 10对n 3 n N都成立 方法2 利用二项定理 4 n 1 3 n 1 C1n 3 C2n 32 Cnn 3n 1 3n n n 1 2 32 1 3n 9 3n 10 n 3 当n 1时 3 4 Sn 1 1 3n 10 当n 2时 3 4 Sn 1 1 3n 10 当n 3 n N时 3 4 Sn 1 1 对任意自然数n 都有an 1 an 2 an 1 设a1 1 求a2 a3 a4 试比较an与2的大小 并证明你的结论 当a1 2时 证明 对于任意自然数n 或 者都满足a2n 1a2n 1 解 依a1 1 可依次推得 a2 3 2 a3 7 5 a4 17 12 依a1 1及an 1 an 2 an 1 1 1 an 1 可以推得an 1 研究 an 1 2 an 2 an 1 2 2 1 2 an an 1 2 1 2 an 1 1 an 1 an 1 2 1 注意到 2 1 2 an 1 1 an 1 0 当a1 2时 假设n k时 ak 2 则依 1 推出ak 1 2 63数 学 通 讯 2003年第23期 因此对于任意自然数n an 2 当 1 a1 0 推出a2 2 a3 2 假设n k时 若 1 ak 2 则依 1 推出 ak 2 2 则依 1 推出ak 2 2 因此 当n是奇数时 an 2 当a1 2时 同理可证 当n是奇数时 an 2 当n是偶数时 an 2 研究 a2n 1 a2n 1 1 1 a2n 1 a2n 1 1 1 1 1 a2n 1 1 1 a2n 1 2 2 a22n 1 2a2n 1 3 2 当 1 a1 2时 依 可知 1 a2n 1 0且2a2n 1 3 0 则由 2 得 对任意自然数n 有a2n 1 a2n 1 当a1 2时 依 中可知 a2n 1 2 故 2 a22n 1 0 因此 对任意自然数n 有a2n 1 a2n 1 评析 本题以数列搭台 唱了一曲不等式的重 头戏 问题的解决不仅要求学生掌握好不等式的基 础知识 还需要学生有较强的逻辑推理能力以及分 类讨论 转换化归的数学思想 例6 天津市 使用计数器依照预先编制的程 序进行计算 当依次输入两个数据为1和1时 输出 的结果为2 若依次输入两个数据为m和n时 输出 的结果为k 依次输入两个数据为m和n 1时 输 出的结果为k 3 则当依次输入两个数据为1和n 时 输出的结果应为 解 题中条件可表示为 f 1 1 2 f m n k 则f m n 1 k 3 于是有f m n 1 f m n 3 即输入的两个数据中第一个数不变 第二个数据增加1时 输出结果 增 加3 亦 即 f m 1 f m 2 f m 3 f m n 成等差 数列 公差d 3 故f 1 n 2 n 1 3 3n 1 即结果为3n 1 评析 本题将一个等差数列求通项的问题非常 精彩地嵌入了一个 计数器 中 独特地 巧妙地考察 了学生的数学思维能力和数学建模能力 例7 重庆市 为了保护三峡库区的生态环 境 凡是坡度在25 以上的坡荒地都要绿化造林 经 初步统计 在三峡库区坡度大于25 的坡荒地面积约 有2640万亩 若从2003年初开始绿化造林 第一年 造林120万亩 以后每年比前一年多绿化60万亩 若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成 功 问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化 若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平 均为0 1万立方米 每年树木木材量的自然增长率 为20 那么当整个库区25 以上荒地全部绿化完 的那一年底 一共有木材多少万立方米 保留1位 小数 1 29 5 16 1 28 4 30 解 设a1 120 d 60 第n年后可以使 绿化任务完成 则有 Sn 120n n n 1 2 60 2640 解得n 8 故到2010年 可以使库区内25 以上的坡地全 部绿化 到2010年造林数量为 a8 120 7 60 540 万亩 设到2010年木材总量为S 依题意有 S 120 1 28 180 1 27 240 1 26 540 1 2 0 1 6 2 1 28 3 1 27 9 1 2 令S 2 1 28 3 1 27 9 1 2 1 两边乘以1 2得 1 2S 2 1 29 3 1 28 9 1 22 2 2 1 得 0 2S 2 1 29 1 28 1 27 1 22 9 1 2 2 1 29 1 22 1 1 27 1 1 2 10 8 7 1 29 18 S 5 7 1 29 18 90 6 S 6 90 6 543 6 万立方米 答 到2010年底共有木材543 6万立方米 评析 本题具有浓