[精美版]2014年广东高考文科数学(逐题详解).pdf

2014 广东高考文科数学广东高考文科数学 第 1 页 共 6 页 O x y A B C D 2014 2014 年广东高考文科数学年广东高考文科数学逐题详解逐题详解 详解提供详解提供 广东佛山市南海中学 广东佛山市南海中学 钱耀周 钱耀周 参考公式参考公式 椎体的体积公式 1 3 VSh 其中S 为椎体的底面积 h为椎体的高 一组数据 12 n x xx 的方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中x 表示这组数据的平 均数 一 一 选择题 本大题共 选择题 本大题共 10 10 小题 每小题 小题 每小题 5 5 分 分 满分 满分 50 50 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有一 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 已知集合 2 3 4 M 0 2 3 5 N 则MN A 0 2 B 2 3 C 3 4 D 3 5 解析解析 B MN 2 3 选 B 2 已知复数z 满足 34i25 z 则z A 34i B 34i C 34i D 34i 解析解析 D 25 34i 25 34i 34i34i34i z 选 D 3 已知向量 1 2 a 3 1 b 则 ba A 2 1 B 2 1 C 2 0 D 4 3 解析解析 B 3 11 22 1 ba 选 B 4 若变量 x y满足约束条件 28 04 03 xy x y 且 2 zxy 的最大值等于 A 7 B 8 C 10 D 11 解析解析 C 画出可行域如图所示 为一个五边形OABCD 及其内部区域 当直线 2 yxz 过点 4 2 B 时 z 取得最大值 24210 z 选 C 5 下列函数为奇函数的是 A 1 2 2 x x y B 3 sin yxx C 2cos1 yx D 2 2 x yx 解析解析 A 设 1 2 2 x x fx 则 fx 的定义域为R 且 11 22 22 xx xx fxfx 所以 1 2 2 x x fx 为奇函数 选 A 6 为了解1000名学生的学习情况 采用系统抽样的方法 从中抽取容量为40的样本 则分段间隔为 A 50 B 40 C 25 D 20 解析解析 C 分段间隔为 1000 25 40 选 C 7 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边分别为 a b c 则 ab 是 sinsin AB 的 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 2014 广东高考文科数学广东高考文科数学 第 2 页 共 6 页 1 l 2 l 3 l 4 l 4 l 解析解析 A 结合正弦定理知sinsin2sin2sin ABRARBab 选 A 8 若实数k 满足05 k 则曲线 22 1 165 xy k 与曲线 22 1 165 xy k 的 A 实半轴长相等 B 虚半轴长相等 C 离心率相等 D 焦距相等 解析解析 D 因为05 k 所以两条曲线均为双曲线 且 2 c 均为21 k 故选 D 9 若空间中四条两两不同的直线 1 l 2 l 3 l 4 l 满足 1 2 ll 23 ll 3 4 ll 则则下列结论一定正确的是 A 1 4 ll B 1 4 ll C 1 l 与 4 l 既不垂直也不平行 D 1 l 与 4 l 的位置关系不确定 解析解析 D 弄个正方体一目了然 10 对任意复数 1 2 定义 1212 其中 2 是 2 的共轭复数 对任意复数 123 z z z 有如下四个命 题 1231323 zzzzzzz 1231213 zzzzzzz 123123 zzzzzz 1221 zzzz 则真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析解析 B 12312313231323 zzzzzzz zz zzzzz 故 为真命题 12312312312131213 zzzz zzzzzz zz zzzzz 故 为真命题 左边 123 z z z 右边 123123123 zz zzz zzz z 左边 右边 故 为假命题 左边 12 z z 右边 21 z z 左边 右边 故 为假命题 故只有 为真命题 选 B 二 二 填空题 本大共 填空题 本大共 5 5 小题 考生作答 小题 考生作答 4 4 小题 每小题 小题 每小题 5 5 分 满分 分 满分 20 20 分 分 一 一 必做题 必做题 11 13 11 13 题 题 11 曲线 53 x ye 在点 0 2 处的切线方程为 解析解析 520 xy 由 5 x ye 得 0 5 x y 故切线方程为 25 yx 即520 xy 12 从字母 a b c d e中任取两个不同的字母 则取到字母a的概率为 解析解析 2 5 1 4 2 5 42 105 C P C 13 等比数列 n a 的各项均为正数 且 15 4 a a 则 2122232425 logloglogloglog aaaaa 二 二 选做题 14 15 选做题 14 15 题 考生只需从中选做一题 题 考生只需从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 曲线 1 C 和 2 C 的方程分别为 2 2 cossin 和 cos1 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 则曲线 1 C 和 2 C 交点的直 角坐标为 解析解析 1 1 由 2 2 cossin 可得 2 2cossin 即 2 2 yx 由 cos1 可得 1 x 2014 广东高考文科数学广东高考文科数学 第 3 页 共 6 页 曲线 1 C 和 2 C 交点的直角坐标为 1 2 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 1 在平行四边形ABCD中 点E 在 AB 上且 2 EBAE AC 与DE 交于F 则 CDF AEF 的面积 的面积 解析解析 9 考查相似三角形性质的应用 由题易知 CDF AEF 所以相似比为 3 1 CD AE 故 CDF AEF 的面积 的面积 为相似比的平方 即为 9 三 三 解答题 本大题共 解答题 本大题共 6 6 小题 满分 小题 满分 80 80 分 解答须写出文字说明 分 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 证明过程或演算步骤 16 本题满分 本题满分 12 分 分 已知函数 sin 3 fxAx x R 且 53 2 122 f 1 求A的值 2 若 3 0 2 ff 求 6 f 解析解析 1 依题意 55323 2 sinsin 12123422 fAAA 解得 3 A 2 由 1 知 3sin 3 f xx 又 3 ff 所以3sin3sin3 33 展开化简得 3 sin 3 又 0 2 所以 2 6 cos1 sin 3 所以 3sin3sin3cos 6632 f 6 17 本题满分 本题满分 13 分 分 某车间20名工人年龄数据如下表 年龄 岁 工人数 人 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 1 求这20名工人年龄的众数与极差 2 以十位数为茎 个位数为叶 作出这20名工人年龄的茎叶图 3 求这20名工人年龄的方差 解析解析 1 这20名工人年龄的众数为30 极差为40 1921 2 作出这20名工人年龄的茎叶图如下 D A B C E F 图图 1 2014 广东高考文科数学广东高考文科数学 第 4 页 共 6 页 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0 3 这20名工人年龄的平均数 1928 329 330 531 432 340 30 20 x 方差 2222222 2 1 11 3 2 3 1 5 04 13 210 20 s 1 121 123412100 20 1 252 20 12 6 18 本题满分 本题满分 13 分 分 如图 2 四边形 ABCD 为矩形 PD 平面 ABCD 1 AB 2 BCPC 作如图3 折叠 折痕 EFDC 其中点 E F 分别在线段 PD PC 上 沿 EF 折叠后点 P 落在线段 AD 上的点记为M 并且 MFCF 1 证明 CF 平面MDF 2 求三棱锥MCDE 的体积 解析解析 1 因为PD 平面 ABCD PD 平面PCD 所以平面PCD 平面ABCD 又平面PCD 平面ABCD CD MD 平面 ABCD MDCD 所以MD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以CFMD 又CFMF MDMFM 所以CF 平面MDF 2 因为CF 平面MDF DF 平面MDF 所以CFDF 又易知 0 60 PCD 所以 0 30 CDF 从而 11 22 CFCD 因为 EFDC 所以 DE CF DPCP 即 1 2 2 3 DE 所以 3 4 DE 所以 3 3 4 PE 13 28 CDE SCD DE 222222 3 336 442 MDMEDEPEDE 所以 11362 338216 MCDECDE VSMD 19 本题满分 本题满分 14 分 分 设各项均为正数的数列 n a 的前n项和为 n S 且 n S 满足 222 330 nn SnnSnn n N 1 求 1 a 的值 2 求数列 n a 的通项公式 A B C D P 图图 2 P C B A D E F M 图图 3 2014 广东高考文科数学广东高考文科数学 第 5 页 共 6 页 3 证明 对一切正整数n 有 1122 1111 1113 nn aaaaaa 所以 1 2 S 即 1 2 a 2 由 222 330 nn SnnSnn 得 2 3 0 nn SSnn 因为 0 n a 所以 0 n S 从而 30 n S 所以 2 n Snn 当 2 n 时 22 1 1 1 2 nnn aSSnnnnn 又 1 22 1 a 所以 2 n an 即数列 n a 的通项公式为 2 n an 3 当 2 n 时 111111 122121212 2121 nn aannnnnn 所以 1122 111 111 nn a aaaaa 11 111111 2 32 35572121 nn 11 111111 62 3216233 n 当 1 n 时 11 11 13 a a 故对一切正整数n 有 1122 1111 1113 nn aaaaaa 的一个焦点为 5 0 离心率为 5 3 1 求椭圆C 的标准方程 2 若动点 00 P xy 为椭圆C 外一点 且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直 求点P 的轨迹方程 解析解析 1 由 5 c 及 5 3 c e a 可得 3 952 ab 故椭圆C 的标准方程为 22 1 94 xy 2 不妨设点P 引椭圆C 的两条切线对应的切点分别是 A B 且 00 3 2 3 2 3 2 3 2 xy 设直线PA为 00 yyk xx 则PB为 00 1 yyxx k 由 00 22 1 94 yyk xx xx 消去 y 整理得 2 22 0000 49189360 kxk ykxxykx 则 22 0000 9240 xkx y ky 同理可得 2 2 0000 11 9240 xx yy kk 可知k 和 1 k 是方程 22 0000 9240 xxx y xy 的两个实数根 则有 0 2 0 4 1 1 9 y k kx 整理得 22 00 13 xy 易知 00 3 2 3 2 3 2 3 2 xy 也符合 故点P 的轨迹方程为 22 00 13 xy 2014 广东高考文科数学广东高考文科数学 第 6 页 共 6 页 21 本题满分 本题满分 14 分 分 已知函数 32 1 1 3 fxxxax 其中a R 1 求函数 fx 的单调区间 2 当 0 a 时 试讨论是否存在 0 11 0 1 22 x 使得 0 1 2 fxf 解析解析 1 求导得 2 2 fxxxa 方程 2 20 xxa 的判别式 44a 当 0 即 1 a 时 0 fx 此时 fx 在 上递增 当 1 a 得 11 xa 由 0 fx 得 1 1 1 1 ax a 综上 当 1 a 时 fx 的递增区间为 当 1 a 时 fx 的递增区间为 11 11 aa 递减区间为 11 11 aa 2 3232 0000 111 111 1 1 233 222 f xfxxaxa 3322 000 1111 3222 xxa x 2 0 00000 111111 3224222 x xxxxa x 2 00 00 111 236122 xx xxa 2 000 11 414712 122 xxxa 若存在 0 11 0 1 22 x 使得 0 1 2 fxf 必须 2 00 4147120 xxa 在 11