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对圆锥曲线相关问题的探讨431900 湖北钟祥一中 李玉春 吴远红在高二课本中，有这样一道例题：已知圆的方程是xy= r，求经过圆上一点M(x，y)的切线方程：不难得到切线方程是xxyyr当M(x，y)不在圆上，直线xxyyr和圆xy= r是什么关系呢？用圆心到直线的距离公式也不难得出：当M在圆外时，直线和圆相交；当M在圆内时，直线和圆相离。如果进一步问：此时直线xxyyr和点M(x，y)有什么关系呢？当点在圆外时，xxyyr是过M点作圆的两条切线的切点弦所在直线的方程，和OM垂直的一条直线；当点M在圆内时，如何定位xxyyr这条直线呢？首先由斜率关系得出直线xxyyr和OM垂直，直线到原点距离由|确定，当|越小，直线距离圆心越远；当|r时，直线靠近切线，点M(x，y)和直线xxyyr有一种对应关系，这种对应关系有什么意义呢？让我们在圆锥曲线这个大范围内来讨论这个问题。以椭圆为例，当点M(x，y)在椭圆1上时，过点M(x，y)椭圆切线方程是1；当点M(x，y)在椭圆内部时，直线1与椭圆相离，点M(x，y)在椭圆外时，直线1与椭圆相交。定理：对椭圆及双曲线方程1与点M(x，y)对应的极线方程是1对抛物线y2px；与点M(x，y)对应的极线方程是yyp(xx)这是高等几何中定理，是欧氏几何特殊情况笛氏坐标系下点和极线方程的形式。如对椭圆及双曲线，当极点为F(c，0)处时，极线方程变为x，对抛物线y2px，当极点为F(，)时，极线是x，即焦点和准线的对应关系。极点和极线的对应关系，在解题中有什么作用呢？如文1中所列定理：定点P(x，y)不在椭圆1（ab0）上，xy0，过点P的直线与椭圆相交于点M、N，过点M斜率是的直线与椭圆相交于另一点R，则直线RN经过定点Q(，)，由MR的斜率是不难联想到P(x，y)对应的级线1，(RM和极线平行)，由P(x，y)一定，其极线是定直线且一定和RN相交，又OP是定直线，则RN过的定点应是极线和直线OP的交点。此结论推广到双曲线，抛物线当然也都是成立的。对于文2中定理：椭圆焦点弦两端点处的切线的交点轨迹是该焦点相对应的准线，如图AB是过椭圆焦点F的弦，l，l是过A、B处椭圆的切线，则l与l的交点M在准线上。由高等几何知识知，AB是M点对应的极线，由配极原则，F点的极线则一定过M点，由F是焦点，则M一定在椭圆的准线上，故M的轨迹是其准线，此结论当然可以推广到双曲线及抛物线。上述切线是割线的一种特例，一般情况可有下列两个命题：命题：在椭圆1中，长轴为AB，过焦点F(c，0)垂直于x轴的弦为CD，则AC和BD的交点M在直线x上命题：在椭圆1中，AB、CD是过椭圆焦点F的两条弦，若AC和BD相交，则其交点M一定在其准线x上，其中命题是命题的特殊情况，命题是知道极点F作出极线的方法，M是F极线上一点，由四边形ABCD中另一组对边的交点也在极线上，可以确定极线。参考
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