2013年高考试题鉴赏之不等关系.pdf

2 0 1 4 年3 月考黼析溉萋 2 013 年高考试题鉴赏之不等关系 江苏省如皋市第一中学侯飞建 高中数学中的数量关系有两类 等量关系和不等关 系 由于不等关系具有范围覆盖广 方法应用灵活 题型 变化多样的特点 在历年高考中一直占据着重要的地 位 在2 0 1 3 年全国及各省市文理高考中 笔者以选择题 和填空题 小题 为例 由于解答题内容涵盖广 很难细 分 进行了统计 发现共有6 8 个试题涉及了不等关系 占所有选择题和填空题的1 1 9 比例较高 当然 笔者 做了统计发现 这类试题也存在着地域分布不均的特 点 有些省的高考卷中不等关系试题所占比例高 以浙 江为例 文理卷共有7 题涉及不等关系 占了2 0 6 有些 省的高考卷中不等关系试题所占比例低 以辽宁卷 福 建理科卷为例 基本上没有单独涉及不等关系的试题 具体分布如图1 图1 除了地域分布不均之外 不等关系在命题内容上的 分配也体现出不均匀的特点 而不等关系命题的内容大 致可以分为以下五类 解不等式问题 比较大小问题 线 性规划问题 不等式恒成立问题 以及均值不等式求最 值问题 其具体分布如下表 题型 类型 选择题 填空题合计 解不等式 1 372 0 比较大小 426 线性规划 91 22 l 不等式恒成立 347 均值不等式591 4 合计 3 43 4 6 8 由上表可见 不等关系试题在题型分布上较平均 选择题3 4 题 填空题3 4 题 在内容类型的分布上 线性规 划问题出现频数最高 达到了2 l 题 占了3 0 8 8 其次是 解不等式问题 达到2 0 题 占了2 9 4 l 排在第三的是均 值不等式问题 达到1 4 题 占了2 0 5 9 最后是不等式恒 成立和比较大小问题 分别出现了7 和6 题 占了lo 3 0 和8 8 2 下面就随着笔者一起通过典型试题来鉴赏2 0 1 3 年 高考数学试卷中的不等关系 一 解不等式问题 1 纯粹的解不等式问题 这一类试题一般难度不大 往往出现在选择题或者 填空题靠前位置 主要考查学生的运算求解能力和等价 转换的思想 例l 2 0 1 3 年江西卷文 下列选项中 使不等式戈 1 二电2 成立的戈的取值范围是 石 A 一 一1 B 一1 0 C O 1 D 1 解析 由上 上 可得 Z 综合知工啪勤 o 时 八x 爿2 一舐 则不等式八z z 的解集用区 间表示为一 解析 先求出函数八戈 在R 上的解析式 再分段求不 等式即得不等式的解集 设工 0 于是 叫 叫 2 4 叫 戈2 乱 由于 x 是R 上的奇函数 所以币戈 厂 叫 z 2 乱 即厂 戈 x 2 4 石 0 一z 2 一乱 且厂 o o 于是 戈 o z o 当x o 时 由戈2 一 戈2 4 戈 并 5 当戈 0 时 由一戈2 一乱 解得一5 如 6 则 A z c 6 cB L 6 2D 矿 6 3 o6 解析 当c 0 时 由n 6 不能得到伽 6 c 故A 不正确 当n o 6 6 不能得到土 nb 6 时 由口 6 不能得到 6 2 故C 不正确 因为函数y 矿 在R 上单调递增 由D 6 可得n 3 63 故D 正确 2 利用函数单调性来比较大小 函数单调性及图像的应用 在比较大小时具有一定 的优势 此类试题重点考查学生数形结合思想的应用 难度中等 例5 2 0 1 3 年全国新课标卷理 设n 1 0 拍 6 l 0 9 5 1 0 c l 0 9 7 1 4 则 A c 6 nB 6 c nC c 6 D 6 c 解析 口 l 0 9 3 6 1 1 0 昏2 6 l 0 9 5 l O 1 l 0 9 5 2 c l 0 9 7 1 4 l l 0 9 7 2 因为l 0 9 3 2 1 0 9 5 2 1 0 9 7 2 所以n 6 c 故选D 三 线性规划问题 1 基本线性规划问题求最值 此类试题不含有参数 给m 约束条件 求目标函数 的最值 且约束条件和目标函数都是线性的 难度较小 糕鬻溯群十 7 善 高中版 例6 2 0 1 3 年天津卷文 设变量戈 满足约束条件 f 3 戈 v 一6 0 z 7 2 o 则目标函恕可一致的最小值为 I y 一3 0 A 一7B 一4C 1D 2 解析 作出可行域 平移直线y 投杷 当直线过可行 域内的点 5 3 时 有最小值一7 2 带有参数的线性规划问题 带有参数的不等式组所表示的平面区域带有不确 定性 因此需要对参数进行适当的讨论 考查学生的转 化与化归能力 以及利用所学知识综合分析解决问题的 能力 难度较大 例7 2 0 1 3 年北京卷理 设关于戈 y 的不等式组 J 及 y 1 0 卅m 0 2 舻2 则m 的取值范围是 A 卜 B 卜 c 卜一号 D 卜一 解析 作出不等式组所表示的平面区域 根据题设 条件分析求解 当m 0 时 若平面区域存在 则平面区域 内的点在第二象限 平面区域内不可能存在点P 孙 满足x o 2 y 庐2 因此m o 由题意可解得m l 时 有o 互2 叫一1 恒成立 所以n 一l 综上可知o 一1 所以如 一1 五 均值不等式问题 均值不等式的考查相对来说比较分散 以二维形式 的均值不等式为主 三维形式的均值不等式为辅 少数 地区的试卷中还出现了柯西不等式 比如湖南卷 理 的 第1 0 题 湖北卷 理 的第1 3 题 从难度上来看 跨度大 有简单题 比如重庆卷 理 的第3 题 福建卷 文 的第7 题等 也有难度中等题 比如天津卷 理 的第1 4 题 四川 卷 文 的第1 3 题 还有难度较大题 比如山东卷 理 的 第1 2 题 浙江卷 理 的第1 7 题 山西卷 理 的第1 5 题等 下面就分别举例说明 1 均值不等式的直接应用 纵观全国各地的高考试题 直接应用均值不等式求 最值的试题一般都出现在选择题或填空题靠前的位置 属于容易题 例l l 2 0 1 3 年福建卷文 若z 2 1 则x y 的取值 范围是 A 0 2 B 一2 0 C 一2 D 一 一2 解析 利用基本不等式转化为z y 的不等式 因为2 2 2 砷 l 所以2 z 吖 1 即2 吖 2 2 所以x y 一2 2 带有约束条件的均值不等式 如何利用已知的约束条件来求最值是解决这类试 题的关键 需要学生具备较高的化简代数式的能力 逻 辑推理能力及转化意识 例1 2 2 0 1 3 年陕西卷理 已知n 6 m n 均为正数 且口 6 l m 凡 2 则 m 6 凡 6 m 姗 的最小值为 解析 因为o 6 m n R 且o 6 1 m n 2 所以 咖 6 凡 6 n n n 乜6 m 2 2 n n 6 2 m n 动凡2 出 n 2 n 2 2 2 6 2 2 n 6 m 肘2 矿 6 2 4 动 2 矛 6 2 2 叶6 2 2 当且仅 当m n 2 时取 3 含有多个字母的均值不等式 含三个及三个以上字母的不等式问题 首先得明确 以哪 几 个字母为主元 其次是选择适当的均值不等式 进行放缩 由于此类试题含变量较多 思维灵活 考查对 数学表达式的变形能力及消元思想 属于难题 例1 3 2 0 1 3 年山东卷理 设正实数戈 y 三满足戈2 3 戈y 4 户叶 0 则当翌取得最大值时 三 二一三的最大 11 zx z 值为 U A 0B 1C 二D 3 4 解析 由题意 2 3 戈 俨 戈 0 y 0 z 0 所以型 意知2 壶 古乩当且仅当手2 铷 戈 2 y 时等号成立 此啦妒 所以詈 一 丢 专一寺 一三 三 一f 一1 z 1 当 l 时 原式的最大值为1 1 在现实世界和日常生活中 量与量之间存在着大量