2020届潍坊市高三上学期期末考试数学试题（解析版）

2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】分别求集合，再求.【详解】 解得： ，,，.故选：B【点睛】本题考查解一元二次不等式和求集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型.2设，其中x，y是实数，则（ ）A1BCD2【答案】B【解析】根据复数相等求得的值，进而求得复数的模.【详解】由已知得，根据两复数相等可得：，所以.故选：B.【点睛】本题考查复数相等、模的计算，考查对概念的理解与应用，属于基础题.3已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可知曲线关于对称，利用曲线的对称性求.【详解】由题意可知，正态分布曲线关于对称， ,根据对称性可知，,.故选：C【点睛】本题考查正态分布在指定区间的概率，正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，及曲线与轴之间的面积为1.(2)利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系，确定它们属于，中的哪一个.4算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，所以，即的近似值为，故选B.【考点】算数书中的近似计算，容易题.5函数与的图象如图所示，则的部分图象可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】由函数与的图象可知两个函数的性质，可知的定义域和奇偶性，以及函数在时，的正负，从而得到答案.【详解】由图象可知的图象关于轴对称，是偶函数，的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域，的定义域是，并且是奇函数，排除B，又时，排除C,D.满足条件的只有A.故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型.6已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ）A种B种C种D种【答案】D【解析】分乙使用现金和银联卡两种方法，分类求结账方法的组合数.【详解】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，综上，共有种方法.故选：D【点睛】本题考查分类和分步计数原理，意在考查分析问题和解决问问他的能力，属于基础题型.7已知，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用角的变换化简，求值.【详解】， ， .故选：A【点睛】本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.8已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】取的中点，连接 ,由条件可证明，说明，利用点到直线的距离求，中，根据勾股定理可得，整理为，再求双曲线的离心率.【详解】取的中点，连接 ,由条件可知，是的中点， 又， ,根据双曲线的定义可知，直线的方程是： ，即 ，原点到直线的距离，中，整理为： ，即 ，解得： ，或（舍）故选：C【点睛】本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.二、多选题9等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）ABCD【答案】AB【解析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，所以所形成的几何体的表面积是.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积.综上可知形成几何体的表面积是或.故选：AB【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.10已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）AB函数在上为增函数C直线是函数图象的一条对称轴D是函数图象的一个对称中心【答案】BD【解析】首先化简函数，根据周期求，然后再判断三角函数的性质.【详解】， ，故A不正确；当时， 是函数的单调递增区间，故B正确；当时，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、当时，所以是函数的一个对称中心，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.11已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）ABCD【答案】AD【解析】由等比数列的公比，可知，又由条件且，判断和中至少有一个数是负数，公差，再判断其他选项.【详解】等比数列的公比，和异号， ，故A正确；但不能确定和的大小关系；故B不正确；和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又 ， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确；故选：AD【点睛】本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用，意在考查推理和判断能力，属于中档题型.12把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（ ）A的图象不经过第一象限B在上单调递增C的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为D函数不存在零点【答案】ACD【解析】首先讨论去掉绝对值，并画出函数的图象，直接判断AB，然后数形结合，并结合椭圆和双曲线的性质判断CD选项.【详解】当，方程是不表示任何曲线，故A正确；当 ，方程是，即 ，当 ，方程是 ，即，当 ，方程是，即 ，如图画出图象由图判断函数在上单调递减，故B不正确；由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在的图象上，即满足 ，设图象上的点 当时取得最小值3，故C正确；当 ，即 ，函数的零点，就是函数 和的交点，而是曲线，和的渐近线，所以没有交点，由图象可知和，没有交点，所以函数不存在零点，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查判断函数的性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是画出函数的图象，因为函数图象是椭圆和双曲线的一部分，还需结合曲线的性质做出判断.三、填空题13向量，若与共线，则实数_【答案】【解析】根据两向量共线的坐标表示直接求实数.【详解】 ，解得：.故答案为：【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于简单题型.14已知圆关于直线对称，则的最小值为_【答案】【解析】由题意可知直线过圆心，即，利用基本不等式求最值.【详解】由题意可知直线过圆心，即 当且仅当时，又 即时等号成立，故的最小值为9.故答案为：9【点睛】本题考查圆的性质和基本不等式求最值，意在考查基本计算能力，属于基础题型.15已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标为，则的最小值是_【答案】【解析】首先根据抛物线的定义转化，再根据数形结合分析的最小值.【详解】设抛物线的焦点是，根据抛物线的定义可知 ，当三点共线时，等号成立，的最小值是，的最小值是.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化.16正方体的棱长为，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面面积为_，若截面把正方体分成体积之比为的两部分，则_【答案】 【解析】（1）首先作出截面，再求截面的面积；（2）取上的点，连接，由题意可知，利用体积公式求，再求的比值.【详解】（1）取的中点，连接，而， 四点共面，且 四边形是等腰梯形，如图，,，；（2）设，取上的点，连接，由（1）知四点共面，由图象可知 ，即 ，解得： 即 ，此时.故答案为：；【点睛】本题考查截面面积和几何体的体积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键作出过点的平面.四、解答题17已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.【答案】（1）.（2）【解析】（1）首先设等差数列的首项，公差为，根据条件建立关于的方程组，再求数列，的通项公式；（2）由（1）可知，数列是等比数列，按等比数列求和，数列按照裂项相消法求和.【详解】解:(1)设数列的公差为，由题意知: 又因为成等比数列，所以，又因为，所以. 由得，所以， ， .(2)因为，所以所以数列的前项和.【点睛】本题考查等差，等比数列和数列的求和，意在考查基本方法和计算能力，属于基础题型，一般数列的求和方法包括1.公式法求和2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和.18在底面为正方形的四棱锥中，平面平面分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）要证明线面平行，需先证明面面平行，取的中点，连接，证明平面平面；（2）分别取和的中点，连，由条件可证明三条线两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求值.【详解】(1)证明:取的中点，连接，因为分别为和的中点，四边形为正方形，所以，因为平面平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.(2)因为平面平面，平面平面平面所以平面，所以，因为，所以就是直线与所成的角，所以，设，分别取和的中点，连，因为，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设是平面的一个法向量，则取，则，所以 是平面的一个法向量，所以，所以所求二面角的大小为【点睛】本题考查证明线面平行和空间坐标法求二面角，意在考查空间想象能力和计算能力，证明线面平行的方法一，可以证明线线平行，证明线面平行，二也可以证明面面平行，证明线面平行，第二问的关键是确定原点，并证明三条线两两垂直，建立空间直角坐标系.19在;这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知 ，.(1)求;(2)如图，为边上一点，求的面积【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）结合正弦定理，条件选择，则，再利用公式求；若选择条件，由正弦定理和诱导公式可得，再根据二倍角公式求得，再根据求解.（2）解法1:设，在中由余弦定理，解得，再由（1），解得边长，最后求得到的面积；解法2：由 可知，再根据正弦定理和面积公式 .【详解】解:若选择条件，则答案为:(1)在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.(2)解法1:设，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因为，所以，因为所以，所以因为为锐角，所以又所以所以若选择条件，则答案为:(1)因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，则，所以.(2)同选择【点睛】本题考查正余弦定理，面积公式解三角形，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，属于中档题型，本题属于开放性试题，需先选择条件，再求解.20读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于分钟的有人(1)求的值;(2)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取名学生，每次抽取名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量，求的分布列和期望 附：，其中.【答案】（1）,n=100,（2）表见解析，没有以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，【解析】（1）首先根据频率和为1求，再根据频率，频数和样本容量的关系求；（2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写列联表；并根据公式计算和比较大小，做出判断；（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为，由题意可知并求分布列和数学期望.【详解】（1）解得：，所以.(2)因为，所以“读书之星”有从而列联表如下图所示:非读书之星读书之星总计男女总计将列联表中的数据代入公式计算得因为，所以没有以上的把握认为“读书之星”与性别有关(3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为.由题意可知所以，所以的分布列为故.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验，二项分布，意在考查利用所给数据，分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.21在平面直角坐标系中，设的内切圆分别与边相切于点，已知，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过的直线与轴正半轴交于点，与曲线E交于点轴，过的另一直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】（1）由内切圆的性质可知，转化，利用椭圆定义求椭圆方程；（2）先求点的坐标，判断，再由，求得，所以，求得，再分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且根据求斜率.【详解】解:(1)由内切圆的性质可知，.所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆(除去与轴的交点).设曲线则，即所以曲线的方程为.(2)因为轴，所以，设，所以，所以，则因为，所以，所以所以，所以设则，所以直线斜率不存在时， 方程为此时，不符合条件舍去.直线的斜率存在时，设直线的方程为.联立，得所以，将代入得，所以.所以，所以直线的方程为或.【点睛】本题考查定义法求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系求直线方程，意在考查转化与化归的思想和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.22已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时，若曲