2020届日照第一中学高三上学期期中数学试题（解析版）

2020届山东省日照第一中学高三上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）.ABCD【答案】C【解析】可求出集合，然后进行补集、交集的运算即可【详解】，.故选：C【点睛】本题考查集合的描述法、区间的定义、对数函数的单调性、交集、补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题.2设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】，故选A3能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ）ABCD【答案】C【解析】A.不是奇函数，的图象不关于原点对称，不是椭圆的“亲和函数”；B.不是奇函数，的图象不关于原点对称，不是椭圆的“亲和函数”；C.是奇函数，的图象关于原点对称，是椭圆的“亲和函数”；D.不是奇函数，的图象关于原点不对称，不是椭圆的“亲和函数”故选C【点睛】本题考查椭圆的“亲和函数”的判断，解题时要准确把握题意并合理转化，注意函数的奇偶性的合理运用4函数的图象大致为( )ABCD【答案】D【解析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一判断即可.【详解】由函数为偶函数，排除B选项，当x时，排除A选项，当x=时，排除C选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5已知点P是ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足，则点P一定是ABC的（ ）A内心B外心C重心D垂心【答案】B【解析】设BC的中点为M,，,即,即,即,所以点P与BC的中点连线与BC垂直，即点P一定是ABC的外心【考点】平面向量的数量积运算6双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）A2BC4D【答案】C【解析】试题分析：设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，又，解得，故答案选C【考点】双曲线的方程与几何性质7根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用条件概率的计算公式即可得出【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示吹东风又下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率故选：B【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键8已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）ABCD【答案】A【解析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等9已知函数，当时，方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）ABC D【答案】A【解析】由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为，设方程的解为，则方程有4个不相等的实数根等价于的图象与直线，的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数的图象与直线，的位置关系可得：，设，则，解得：，得解【详解】解：令，则方程可转化为，设方程的解为，则方程有4个不相等的实数根等价于的图象与直线，的交点共4个，由函数的图象与直线，的位置关系可得：,，设，则，解得：，故选A【点睛】本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题二、多选题10已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ）.A函数的最小正周期是B函数在区间上是减函数C函数的图象关于点对称D函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.【答案】AB【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，得出结论【详解】对A，因为，则的最小正周期，结论正确对B，当时，则在上是减函数，结论正确对C，因为，得到函数图象的一个对称中心为，结论不正确对D，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确故正确结论有A，B，故选：AB【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，属于基础题11已知，为坐标原点，点是圆外一点，过点作直线，直线的方程是，则下列结论正确的是（ ）.ABC与圆相离D与圆相交【答案】AD【解析】根据的斜率得的斜率和方程，再根据和的方程可判断两直线平行；根据圆心到直线的距离与半径可判断直线与圆C相交【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为：，又在圆外，故，圆心到直线的距离，故与圆相交，故选：AD【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点到直线距离公式的应用.12将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.ABCD18【答案】BC【解析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：（1）分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有13号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则没有空盒的放法有种；（2）分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；则没有空盒的放法有种；故选：BC【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力三、填空题13已知二项式的展开式中的常数项为，则_【答案】2【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值【详解】二项式的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14随机变量服从正态分布：，若，则_【答案】【解析】N（，2），2P（）=1-2P（）=0.518故答案为0.259.15已知是球上的点，,，,则球的表面积等于_【答案】【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键16已知向量，向量满足，则的最小值为_，最大值为_.【答案】 【解析】【详解】，由向量减法的几何意义得的夹角为，设，表示点到原点距离，的最值转化为圆上点到原点距离的最值，原点到圆心的距离到，.故答案为：；.【点睛】本题考查向量的模、数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为圆上点到原点距离的最值.四、解答题17在中，内角、的对边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得的值.详解：(1)由已知及正弦定理得：， ， (2) 又所以，点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18在中，已知，分别是，的中点将沿折起，使到的位置且二面角的大小是连接，如图：（）求证：平面平面；（）求平面与平面所成二面角的大小【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）法一：由设的中点为，连接设的中点为，连接，而即为二面角的平面角，推导出由，从而平面由，得平面，从而，即进而平面推导出四边形为平行四边形从而，平面，由此能证明平面平面法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面（）以为原点，在平面中过. 作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小【详解】（）证法一：是的中点，设的中点为，连接设的中点为，连接，由题意得，即为二面角的平面角，为的中点，为等边三角形，平面，平面，即，平面，分别为，的中点， 四边形为平行四边形，平面，又平面平面平面法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，设则，设平面的法向量为，令，则，设平面的法向量为，取，得，平面平面解：（）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，设则，平面的法向量设平面的法向量为，取，得设平面与平面所成的二面角的平面角为，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角平面与平面所成二面角大小为【点睛】本题考查了面面垂直的证明，二面角的求法，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，以及运算求解能力，是中档题19红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度/21232527293235平均产卵数/个71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714表中，（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28以上的概率为.（）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.（）当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.【答案】（1）更适宜；（2）（i），此时相应的概率为（ii），.【解析】（1）根据散点图判断更适宜作为关于的回归方程类型；对两边取自然对数，求出回归方程，再化为关于的回归方程；（2）（i）由对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的值；（ii）由取最大值时的值，得出，计算对应的数学期望和方差【详解】（1）根据散点图可以判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型.对两边取自然对数得，令，得.因为，所以，所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为.（2）（）由，得，因为，令得，解得；令得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一极大值，也为最大值.所以当时，此时响应的概率.（）由（）知，当取最大值时，所以，所以，.【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题、概率的计算与应用问题，数学期望与方差的计算问题，是中档题20已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，对任意的恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，可得时，化为：，利用等比数列的通项公式可得（2）由利用“裂项求和”方法即可得出【详解】（1），当时，即，又，数列是等比数列，且首项为，公比为3，.（2）由（1）得.，.，.设，则，是递增数列，的最大值是.【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.21设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.（）求椭圆的标准方程；（）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.【答案】（）（）【解析】（I）根据离心率和弦长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设出两点的坐标，利用的面积与面积的关系得到，利用向量结合平面向量共线的坐标运算，求得两点横坐标的关系.分别联立直线的方程与直线、直线的方程与椭圆的方程，根据两点横坐标的关系列方程，解方程求得的值.【详解】（）设椭圆的焦距为，由已知得，所以，椭圆的方程为.（）设点，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即.易知直线的方程为，由消去，可得由方程组消去，可得.由，可得，整理得，解得，或.当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去.所以，的值为.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查两条直线交点、直线和椭圆交点坐标的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.22已知函数，其中，为自然对数的底数. 设是的导函数.（）若时，函数在处的切线经过点，求的值；（）求函数在区间上的单调区间；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.【答案】（）1（）详见解析（）【解析】（I）时，利用导数的几何意义，求得切线斜率，切点坐标 ，即可求解切线的方程，进而求解得值；（II）求得函数的导数，