2020届芜湖市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1若集合，则=（ ）ABCD【答案】C【解析】求出集合，然后与集合取交集即可【详解】由题意，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题2已知复数满足（为虚数单位），则（ ）ABCD【答案】B【解析】利用复数的除法求出复数，即可计算出.【详解】，因此，.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法，同时也考查了复数模的计算，考查计算能力，属于基础题.3等差数列前项和为，已知，,则（ ）ABCD【答案】C【解析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，求出这两个量，即可计算出和.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，.故选：C.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和，解题的关键就是要求出首项和公差的值，考查方程思想的应用与运算求解能力，属于基础题.4周髀算经中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里.四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠.故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里.”意思为“天的中央亦高出四周六万里，四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠.所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里.”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为（ ）A万里B万里C万里D万里【答案】B【解析】设地球半径为万里，由此可得出方程，解出即可.【详解】设地球半径为万里，如下图所示：由题意可知，日光向外照射到地球上所形成的截面圆的半径为万里，则有，解得（万里）.故选：B.【点睛】本题考查球体半径的计算，解题的关键就是理解题意，列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.5抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】即，其开口方向向上且，所以抛物线准线方程为6若展开式中第项二项式系数和第项二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可知，可求出的值，然后再将代入即可得出展开式所有项的系数和.【详解】由题意可知，则，所以，展开式中所有项的系数和为.故选：A.【点睛】本题考查了二项展开式各项系数和的问题，同时也考查了二项式系数的对称性，考查计算能力，属于基础题.7若，则、的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【解析】利用换底公式得出，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，利用指数函数的单调性可得出与的大小关系， 由此可得出、的大小关系.【详解】由换底公式可得，对数函数是上的增函数，则，即；指数函数是上的减函数，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）ABCD【答案】C【解析】因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.【详解】因为，显然是奇函数，又,所以在R上单调递增.只有C符合,故选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.9某校高三年级有男生人，学号为，；女生人，学号为，.对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这名学生中抽取人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为）；再从这名学生中随机抽取人进行数据分析，则这人中既有男生又有女生的概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用系统抽样可知，这个人中男生有人，女生有人，计算出所抽人全是男生或女生的概率，利用对立事件的概率公式可计算出结果.【详解】利用系统抽样从这名学生中抽取人进行问卷调查，分段间隔为，由于第一组抽到的号码为，所抽取的人号码依次为、，其中男生人，女生人，因此，从这名学生中随机抽取人进行数据分析，则这人中既有男生又有女生的概率是.故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查了系统抽样、组合计数原理以及对立事件概率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.10已知函数,则下列说法中错误的是（ ）A有个零点B最小值为C在区间单调递减D的图象关于轴对称【答案】A【解析】利用定义判断函数的奇偶性可判断D选项的正误；求出函数在区间上的零点，结合奇偶性可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最小值，结合奇偶性可判断B选项的正误；利用复合函数的单调性可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于D选项，函数的定义域为，关于原点对称，该函数为偶函数，D选项正确；对于A选项，当时，或，令，得（舍）或，则有；当时，令，可得或（舍），则有.由于函数是上的偶函数，则函数有个零点，A选项错误；对于B选项，当时，或，则当时，当时，此时，综上所述，当时，由于函数是上的偶函数，则该函数的最小值为，B选项正确；对于C选项，当时，由于内层函数在区间上单调递减，外层函数在区间上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，C选项正确.故选：A.【点睛】本题考查余弦型函数的零点、单调性、最值以及奇偶性相关命题真假的判断，解题的关键就是将问题化为二次型的余弦函数来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】连接，设正方体的棱长为，设，可得，设截面与棱的交点为点，连接、，利用面面平行的性质定理可得，可知棱台的体积为，利用台体的体积公式可计算出的值，即可得出的值.【详解】连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示：设正方体的棱长为，设，则，由于平面平面，平面平面，平面平面，所以，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，的面积为，由题意可知，三棱台的体积为，整理得，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查平面截正方体所得截面图形的确定，同时也考查了台体体积公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12若点与曲线上点距离最小值为，则实数为（ ）ABCD【答案】C【解析】设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.【详解】设点的坐标为，对函数求导得，由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，得，由两点间的距离公式得，由于的最小值为，即，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线与曲线在点处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13已知向量，且，则 _.【答案】8【解析】，,又，。解得。答案：814已知数列满足，那么数列的前项和_.【答案】【解析】根据递推公式计算出数列前项各项的值，相加即可得出的值.【详解】，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查数列求和，利用递推公式求出数列各项的值是计算的关键，考查计算能力，属于中等题.15已知正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，底面边长为，为中点，则球表面积为_.【答案】【解析】作出图形，设底面的中心为点，连接、，可知平面，分析正四棱锥的结构特征，求出的长，设球的半径长为，列方程解出的值，利用球体的表面积公式可求出球的表面积.【详解】如下图所示，设底面的中心为点，连接、，由于四棱锥为正四棱锥，所以，平面，易知，是等腰直角三角形，则，为的中点，平面，平面，为的中点，则，又，由勾股定理得，易知球心在直线上，设球的半径为，则，由勾股定理得，即，解得.因此，球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的计算，涉及多面体的外接球问题，解题的关键在于确定球心的位置，并根据几何关系建立方程求出球体的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16设、为双曲线左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于点、，连接、，若，且，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】作出图形，设，可知是等腰直角三角形，利用双曲线的定义得出与的等量关系，并取线段的中点，可得出，利用勾股定理可求出该双曲线离心率的值.【详解】设双曲线的焦距为，如下图所示：取的中点，设，由于，所以，为等腰直角三角形，且，为的中点，所以，由双曲线的定义得，又，可得，在中，由勾股定理得，则有，可得，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时在问题中涉及了双曲线的焦点，一般利用双曲线的定义来求解，并充分分析几何图形的形状，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，为中点，.（1）求证：；（2）若与平面所成的角为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由此可得出平面，进而得出；（2）设，可得出，由（1）可知，与平面所成的角为，可得，进而以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角的大小.【详解】（1）四边形为矩形，则，平面平面，平面平面，平面，所以面，平面，又，为中点，平面，平面，故；（2）不妨设，由得，由（1）知，在平面的射影为，即，故.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，易得、，设平面与平面的法向量分别为和，则，由，令，则，所以二面角的大小.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角，涉及线面角定义的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18已知函数.（1）求函数的周期；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式得，然后利用周期公式可计算出该函数的周期；（2）由已知条件得出，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角和的正弦公式可求出的值.【详解】（1），所以，函数周期为；（2），所以，因为，得，所以.【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.19已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由中垂线的性质得，可得出，符合椭圆的定义，可知曲线是以、为焦点的椭圆，由此可得出曲线的方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，同理得出，并计算出两平行直线、的距离，可得出四边形的面积关于的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形面积的最大值.【详解】（1）由中垂线的性质得，所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，设曲线的方程为，则，因此，曲线的方程为:；（2）由题意，可设的方程为，联立方程得，设、，则由根与系数关系有，所以，同理，与的距离为，所以，四边形的面积为，令，则，得，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，所以，函数在上为减函数，当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及椭圆的定义，同时也考查了直线与椭圆中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中等题.20小明和父母都喜爱中国好声音这栏节目，年月日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为、，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测.现用、表示某网友对实际名次为、的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述.（1）求的分布列及数学期望；（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）.【答案】（1）分布列见解析，的数学期望为；（2）.【解析】（1）列举出所有的事件，求出对应的的值，利用古典概型的概率公式可计算出在相应取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列，并根据分布列可计算出随机变量的数学期望；（2）由（1）中分布列的数据可知，然后利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求概率.【详解】（1）以为一个基本事件，如下表所示：所以，的可能取值集合为.分布列如下表所示：因此，；（2）因为，将三人评分后都有的概率记作，由上述结果的独立性得.【点睛】本题考查随机变量分布列和数学期望的求解，同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式计算概率，解题的关键就是将基本事件列举出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.【解析】（1）证法一：令，利用导数求出函数的最小值为（其中为函数的极小值点），然后利用基本不等式即可得出证明；证法二：先证明成立，再证明出不等式，利用不等式的基本性质可得出；（2）令，得出，等式两边取对数得，构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最小值，对函数最小值的符号进行分类讨论，由此可得出函数的零点个数.【详解】（1）证法一：令，所以，函数在上单调递增，存在，使，则，可得，由于函数在上单调递增，当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.所以，故原不等式成立；证法二：先证明不等式，构造函数，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，则，.同理可证，则，即；（2）令，得，两边取对数得，令，则，令得.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.当时，即得时，函数无零点；当时，即得时，函数有个零点；当时，即得时，当时，；当时，.此时，函数在区间和区间上各有个零点.则函数有个零点.综上所述，当时，函数无零点；当时，函数有个零点；当时，函数有个零点.【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于难题.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（