重庆市南岸区2019-2020学年高二上学期期末学业质量调研抽测数学试题 Word版含答案

绝密启用前2019-2020学年(上)期末学业质量调研抽测高二数学试卷（分数：150分 时间：120分钟）注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题1. 函数f(x)=ln(x2+1)的图象在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为()A. 0B. 2C. 3D. 42. 下列各组中的函数f(x)与g(x)相等的是 A. f(x)=|x|，g(x)=(x)2B. f(x)=x2，g(x)=xC. f(x)=x21x+1，g(x)=x1D. f(x)=x0，g(x)=xx3. (12x)(1x)5的展开式中x3的系数为()A. 10B. -10C. -20D. -304. 若点O与点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为 A. 2B. 3C. 6D. 85. 函数y=loga(x1)(0a0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为 A. 33B. 23C. 22D. 18. 已知双曲线x24y2b2=1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A. x243y24=1B. x244y23=1C. x24y24=1D. x24y212=19. 已知数列an是等差数列，若，且它的前n项和sn有最大值，则使得sn0的n的最大值为 A. 11B. 12C. 21D. 2210. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为()A. 1B. 2C. 3D. 211. 下列命题中，假命题的个数是() (1)若直线a在平面上，直线b不在平面上，则a、b是异面直线(2)若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条(3)若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d也是异面直线(4)设a、b是两条直线，若a/平面，a/b，则b/平面A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 若直线l:kx+y+1=2k与曲线x-12+y2+x+12+y2=2有公共点，则k的取值范围是 A. -1,-13B. 13,1C. (-,131,+)D. (-,13)(1,+)二、填空题13. 已知一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，则xy= _ 14. 设点A(3,5)和B(2,15)，在直线l：3x4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为_15. 能说明“若ab，则1a0,b0)的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且BA=3AF，则双曲线C的离心率为_三、解答题17. 已知数列an的前n项和为Sn，a1=12，2an+1=Sn+1(1)求a2，a3的值；(2)设bn=2an2n1，求数列bn的前n项和Tn18. 设f(x)=ax2(a+1)x+1(1)解关于x的不等式f(x)0；(2)若对任意的a1,1，不等式f(x)0恒成立，求x的取值范围19. 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E，F分别是棱AD，PC的中点证明EF/平面PAB；若二面角PADB为60，(i)证明平面PBC平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12.设过点F2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，ABF1周长为8求椭圆C的标准方程；已知点T(4,0)，证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值21. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为43求椭圆C的方程；如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值22. 如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD 求证：AF/平面PEC；求二面角PCDB的大小；若AD=2，CD=22，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，对数函数的导数，直线的倾斜角与斜率，属于基础题先求出函数在切点处的导数值，即为切线在此处的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角【解答】解：因为函数f(x)=ln(x2+1)，则，则函数f(x)图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为，设函数f(x)=ln(x2+1)的图象在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为，则tan=1，又因为=4故选D2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同一函数的判定，是基础题确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，当两个函数定义域、对应法则相同即两函数为相等函数，据此可判断出答案【解答】解：对于A，f(x)=|x|(xR)，与gx=x2(x0)的定义域不同，故不是同一函数；对于B，fx=x2=x(xR)，与g(x)=x(xR)的定义域相同，对应关系不同，故不是同一函数；对于C，fx=x21x+1(x1)，与g(x)=x1(xR)的定义域不同，故不是同一函数；对于D，f(x)=x0=1(x0)，与gx=xx=1(x0)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数故选D3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，由(12x)(1x)5=(12x)(15x+C52x2C53x3+)，即可得出，属于基础题【解答】解：(12x)(1x)5=(12x)(15x+C52x2C53x3+)，展开式中x3的系数为C532C52=30故选D4.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题先求出左焦点坐标F，设P(x0,y0)，根据P(x0,y0)在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量FP、OP，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案【解答】解：由题意，F(1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1x024)，因为FP=(x0+1,y0)，OP=(x0,y0)，所以OPFP=x0(x0+1)+y02=x024+x0+3=14x0+22+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=2，因为2x02，所以当x0=2时，OPFP取得最大值224+2+3=6，故选：C5.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，属于基础题把对数函数的图象向右一个单位即可得到结果【解答】解：0a1，所以e2=3+52，可得e=3+52=1+52故选C7.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题由题意可得F(p2,0)，设P(y022p,y0)，要求kOM的最大值，设y00，运用向量的加减运算可得OM=13OP+23OF=(y026p+p3,y03)，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值【解答】解：由题意可得F(p2,0)，设P(y022p,y0)，显然当y00，kOM0，kOM0要求kOM的最大值，设y00，则OM=OF+FM=OF+13FP=OF+13(OPOF)=13OP+23OF=(y026p+p3,y03)，可得kOM=y03y026p+p3=2y0p+2py022y0p2py0=22，当且仅当y02=2p2，取得等号故选C8.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=b2x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=b2x，设A(x,b2x)，四边形ABCD的面积为2b，2xbx=2b，x=1将A(1,b2)代入x2+y2=4，可得1+b24=4，b2=12，双曲线的方程为x24y212=1，故选：D9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是灵活利用和公式及等差数列的性质，为中档题由a12a110，a11+a120，a120，a1+a22=a11+a120，从而可求满足条件的n的值【解答】解：由a12a111，它们的前n项和Sn有最大值，可得数列的d0，a11+a120，a120等价于(a1+an)0，a1+a21=2a110，a1+a22=a11+a120的n的最大值n=21，故选C10.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2，四棱锥的4个侧面面积分别为：1222=2；1222=2；1224+2=3；1224+2=3最大侧面面积为：3故选：C判断几何体的图形，利用三视图的数据求解最大侧面面积即可本题考查三视图求解几何体的侧面面积，考查数形结合以及空间想象能力计算能力11.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题在(1)中，a、b相交、平行或异面；在(2)中，与a、b都垂直的直线有有无数条；在(3)中，c、d相交、平行或异面；在(4)中，b/平面或b【解答】解：在(1)中，若直线a在平面上，直线b不在平面上，则a、b相交、平行或异面，故(1)是假命题；在(2)中，若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有有无数条，故(2)是假命题；在(3)中，若a、b是异面直线，c、d与直线a、b都相交，则c、d相交、平行或异面，故(3)是假命题；在(4)中，设a、b是两条直线，若a/平面，a/b，则b/平面或b，故(4)是假命题故选：D12.【答案】B【解析】【分析】本题考查动点的轨迹方程，同时考查恒过定点的直线与线段相交问题，考查运算能力，属于中档题曲线C表示线段AB：y=0，(1x1)，求得直线l恒过定点(2,1)，由直线的斜率公式计算即可得到所求范围【解答】解：方程x12+y2+x+12+y2=2表示的是动点P(x,y)到点A(1,0)，B(1,0)的距离之和为2，即有P的轨迹为线段AB:y=0(1x1)，直线l:y=kx1+2k为恒过定点C(2,1)的直线，kAC=1021=13，kBC=1021=1，直线l:y=kx1+2k与曲线有公共点，等价为kBCkkAC，即为13k1故选B13.【答案】3【解析】【分析】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意方差、平均数的性质的合理运用利用平均数和方差公式列出方程组，由此能求出xy的值【解答】解：一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，14(x+y+1+5)=2(x2)2+(12)2+(y2)2+(52)24=5,解得xy=3故答案为314.【答案】513【解析】【分析】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题设点A(3,5)关于直线l：3x4y+4=0的对称点为A(a,b)，求出A.可得|PA|+|PB|的最小值=|AB|【解答】解：设点A(3,5)关于直线l：3x4y+4=0的对称点为A(a,b)，则b5a+334=13a324b+52+4=0，解得A(3,3)则|PA|+|PB|的最小值=|AB|=513，故答案为51315.【答案】a=1，b=1【解析】【分析】本题主要考查命题的真假的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键比较基础根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可【解答】解：当a0，bb，但1a0，即为ax2(a+1)x+10，即有(ax1)(x1)0，当a=0时，即有1x0，解得x1；当a0时，即有(x1)(x1a)1a可得1ax0，即有xR，且x1；当a1时，11a，可得x1或x1a；当0a1时，11a，可得x1a综上可得，a=0时，解集为x|x1；a0时，解集为x|1ax1时，解集为x|x1或x1a；0a1时，解集为x|x1a;(2)对任意的a1,1，不等式f(x)0恒成立，即为ax2(a+1)x+10，即a(x2x)x+10，对任意的a1,1恒成立设g(a)=a(x2x)x+1，a1,1则g(1)0，且g(1)0，即(x2x)x+10，且(x2x)x+10，即(x+1)(x1)0，解得1x0，化简不等式，变形为(ax1)(x1)0，对a讨论，分a=0，a1，0a0，对任意的a1,1恒成立，设g(a)=a(x2x)x+1，a1,1.可得g(1)0，且g(1)0，由一元二次不等式的解法，即可得到所求x的范围19.【答案】解：证明：连结AC，ACBD=H，底面ABCD是平行四边形，H为BD中点，E是棱AD的中点在ABD中，EH/AB，又AB平面PAB，EH平面PAD，EH/平面PAB同理可证，FH/平面PAB又EHFH=H，平面EFH/平面PAB，EF平面EFH，EF/平面PAB；)(i)如图，连结PE，BEBA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，BE=1，PE=2又E为AD的中点，BEAD，PEAD，PEB即为二面角PADB的平面角，即PEB=60，PB=3PBD中，BD2+PB2=PD2，PBBD，同理PBBA，PB平面ABD，PB平面PBC，平面PBC平面ABCD；(ii)由(i)知，PBBD，PBBA，BA=BD=2，AD=2，BDBA，BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系BDAP，则有A(0,2,0)，B(0,0，0)，C(2,2,0)，D(2,0，0)，P(0,0，3)，BC=(2,2,0)，BP=(0,0，3)，设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，nBC=0nBP=0，2x2y=03z=0，令x=1，则y=1，z=0，故n=(1,1，0)，E，F分别是棱AD，PC的中点，E(22,22,0)，F(22,22,32)，EF=(0,2,32)，sin=cos=nEF|n|EF|=22112=21111，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为21111【解析】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理，属于中档题要证明EF/平面PAB，可以先证明平面EFH/平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；)(i)要证明平面PBC平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB平面ABCD即可；(ii)由(i)知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系BDAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值20.【答案】解：由题意知，4a=8，所以a=2因为e=12，所以c=1，则b=3所以椭圆C的方程为x24+y23=1证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TA与TB的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y=k(x1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=k(x1)x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x28k2x+4k212=0，=64k44(3+4k2)(4k212)=144(k2+1)0恒成立，x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2123+4k2，A，B两点在直线y=k(x1)上，故y1=k(x11)，y2=k(x21)，TA，TB的斜率存在，由kTA+kTB=y1x14+y2x24=k(x11)(x24)+k(x21)(x14)(x14)(x24)=k2x1x25(x1+x2)+8(x14)(x24)，因为2x1x25(x1+x2)+8=8k22440k2+8(3+4k2)3+4k2=0，kTA+kTB=0，直线TA与TB的斜率之和为0，综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题由MNF1的周长为8，得4a=8，由e=12，求出c，可求得b；即可求解椭圆方程分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kTA+kTB=0，即可证明直线TA与TB的斜率之和为定值21.【答案】解：根据题意，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为，则有a=2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为43，则有2ab=43，又a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1，故椭圆C的方程为x24+y23=1；由对称性，可令点M(4,t)，其中t0将直线AM的方程y=t6(x+2)代入椭圆方程x24+y23=1，得(27+t2)x2+4t2x+4t2108=0，由xAxP=4t210827+t2，xA=2得xP=2t25427+t2，则yP=18t27+t2再将直线BM的方程y=t2(x2)代入椭圆方程x24+y23=1得(3+t2)x24t2x+4t212=0，由xBxQ=4t2123+t2，xB=2得xQ=2t263+t2，则yQ=6t3+t2故四边形APBQ的面积为S=12|AB|yPyQ|=2|yPyQ|=2(18t27+t2+6t3+t2)=48t(9+t2)(27+t2)(3+t2)=48t(9+t2)(9+t2)2+12t2=489+t2t+12t9+t2由于=9+t2t6，且+12在6,+)上单调递增，故+128，从而，有S=48+126当且仅当=6，即t=3，也就是点M的坐标为(4,3)时，四边形APBQ的面积取最大值6【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于难题根据题意，分析可得a=2c且2ab=43，解可得a、b的值，将其代入椭圆的方程，即可得答案；令点M(4,t)，其中t0，将直线AM的方程y=t6(x+2)代入椭圆方程x24+y23=1，得(27+t2)x2+4t2x+4t2108=0，由根与系数的关系可以用t表示xP、yP.再将直线BM的方程y=t2(x2)代入椭圆方程x24+y23=1得(3+t2)x24t2x+4t212=0，同理可以用t表示xQ、yQ.进而可以用t表示四边形APBQ的面积，结