平面向量的基本定理.doc

平面向量的基本定理学习目标1.了解平面向量基本定理及其意义.2.会用平面内两不共线的向量表示平面内任一向量.基础梳理1平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底2.如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图所示，在ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知，试用，表示分析不易直接用表示，所以可以先由联合表示, , 再进行向量的线性运算，从方程中解出解 设 则= = (1) = (2)将（2）代人（1)得 (3)将（3）代人（2）得 ，变式训练 在中，AD与BC交于点M,设 以为基底表示 解 设 则 A,M,D三点共线 即 （1） 而 C,M,B三点共线 即 (2） 由（1）和（2）得 规律总结根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量平面向量的坐标表示及其运算学习目标1. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算.3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1平面向量的直角坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为 基 底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则实数 对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、 y轴上的坐标，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量2平面向量的直角坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)abx1y2x2y10(3)非零向量a的单位向量为. 例题 平面内给定三个向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1) (1)若(akc)(2ba)，求实数k； (2)设d(x，y)满足(ab)(dc)且|dc|1，求d. 分析由两向量平行的坐标形式的等价条件列方程组，解方程组得未知数或向量解(1)(akc)(2ba)， 且akc(34k,2k)，2ba(5,2)， (34k)2(5)(2k)0，k . (2)dc(x4，y1)， ab(2,4)， (ab)(dc) 且|dc|1， 解得 或 d =或d = 变式训练 已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？ 平行时它们是同向还是反向？ 解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2) a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) kab与a3b平行等价于 (k-3)(-4)-(2k+2)10=0 解得 此时 ka+b=a+b=()(a-3b) ka+b与a-3b反向规律总结向量平行的等价条件