2014年秋季第一次月考答案.pdf

2014 2015 学年第一学期第一次月考答案 2014 年 10 月 10 日 1 个小时 1 本题 12 分 2014 2015 学年第一学期第一次月考答案 2014 年 10 月 10 日 1 个小时 1 本题 12 分 解 因为 第 1 页 共 2 页 33 lim 0 bbx x x 31ln lim lim 00 bx x xf xx a x ax sin lim lim 00 xf xx 且f x0在点x 处连续 所以 即 2 0 f lim lim 00 xfxf xx 2 3 b a 解得 2 3 2 ba 2 本题 12 分 2 本题 12 分 解 因为 32 2 lim 1lim xx axbx f x xx 0 1 ab 2 2 cxd 所以 因为即 1 lim x f x 0 22 2 11 22 limlim 2 xx xcxd xx 1 2 xcxd xx 0 1 故可设 2 2 xcxd xxk 从而 1 lim x f x 2 2 11 21 limlim 22 xx 3 xcxdxkk xxx 1k 0 解得 进而由 解得 22 2 1 xcxdxx k 1 1 cd 1 x 3 本题 12 分 3 本题 12 分 解 2 1 1 sin 2 2 1 1 x x11 sinsin 000 132 limlim 1lim 11 xx x x x xx xxx xx xx e 2 sin 1 2 xx x e lim 0 x 4 本题 12 分 4 本题 12 分 解 3 3 00 1tansin11tansin1 1tansin1 limlim ln 1 ln 1 1tansin1 xx xxxx xx x xxx 3 0 0 tansin1 limlim sin1 1tansin1 x x xx x 3 00 tansin lim ln 1 1tan xx xx xxx xx 33 00 1tansin1ta limlim 2 0 n 1cos 1tan1cos111 lim 224 x xxxx xx 222 xx xx xx 1 0 5 本题 12 分 5 本题 12 分 解 x x是两个间断嫌疑点 下面进行分析 1 对于0 x点 由于 eelim 1 1 1 0 x x xf 0 1ln lim lim 00 xxf xx li x lim 0 x 即 0 m f x 0 lim x 和f x 0存在但不相等 所以 x点为第一类间断点中的跳跃间断点 2 对于1 x点 由于 elim 1 1 11 x x xflim x 0elim lim 1 1 11 x xx xf 1 所以 x点为第二类间断点中的无穷间断点 6 本题 12 分 6 本题 12 分 解 因为 nnn n nnn n aa 444 2lim16lim 下面进行分析 1 如果 2a 那么 4444444 2222222 nnnnnnnnn a 而 216lim 44 nnn n a1 2lim n n 由夹逼准则可知 2 如果 那么 2a 4444444 22 nnnnnnnnn aaaaaa 而 16lim 44 aa nnn n 12lim n n 由夹逼准则可知 综上 2 max 16lim 4 4 aa nnn n 7 本题 12 分 7 本题 12 分 解 由于 第 2 页 共 2 页 1 cos2 2 lim 2 11 coscos2 limlim 1 e 22 n n an n n nn n nn aa nn 1 cos2 na n 或者 11 coscos2 lnlimln 1 22 1 cos limlime e e 2 nn n n aa nn nnn nn a n 1 cos2 lim 2 n n an n 而 1 1cos1 n 1 cos2 limlim 22 n n nn nana n 1 cos1 11 lim 11 2 n n a n nn 2 1 2 imln 2 a 11 ln 11 liml 11 22 nn a nn nn 注 1 11 11 ln cos1 2 1 2 n n aaan nnn 故 e ln 2 1 a a n xf a b m M e 2 1 cos lim 2 2 1 cos lim n a n a n n n n n 8 本题 12 分 8 本题 12 分 证明 因为函数在闭区间上连续 所以存在常数 使得对 xa b 有 那么M x 212 f bmf M 12 mf a 1 故 2 2 M bf 1 1 af m 由介值定理知 至少存在 ba 使得 12 12 f af b f 21 即 21 f bfaf 9 本题 4 分 9 本题 4 分 证明 令 5 1 xfxf xg 显然 4 0 5 g x 在上连续 那么有 5 1 0 0 ffg 5 2 5 1 5 1 ffg 5 3 5 2 5 2 ffg 5 4 5 3 5 3 ffg 1 5 4 5 4 ffg 把上述五个等式相加有 0 1 0 5 4 5 3 5 5 0 ffggggg 21 1 若 5 4 5 3 gg0 5 2 5 1 0 ggg都为 那么在 5 4 5 3 5 2 5 1 gggg中任取一个 得 证 若 5 4 5 3 ggggg0 5 2 5 1 0 中有一个不等于 不妨取0 5 i g