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2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一 选择题一 选择题 1 8 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 32 分分 下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要 求的 只有一个选项符合题目要 求的 请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 下列曲线有渐近线的是 A B sinyxx 2 sinyx x C 1 sinyx x D 2 1 sinyx x 答案 C 解析 关于 C 选项 11 sinsin limlim1lim101 xxx x xx xx 又 11 lim sin limsin0 xx xx xx 所以 1 sinyx x 存在斜渐近线yx 故选 C 2 设函数 f x具有二阶导数 则在区间 0上 0 1 1 g xfxfx 1 A 当时 0fx f xg x B 当 0fx 时 f xg x C 当时 0fx f xg x D 当 0fx 时 f xg x 答案 D 解析 令 则 0 1 1 F xg xf xfxfxf x 0 1 0FF 0 1 F xfffx Fxfx 若 则 0fx 0Fx 在 0上为凸的 F x 1 又 所以当 0 1 0FF 0 1 x 时 从而 0F x g xf x 故选 D 3 设 f x是连续函数 则 2 11 01 y y dyf x y dx 1 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 A 2 1101 0010 xx dxf x y dydxf x y dy B 2 1100 0011 x x dxf x y dydxf x y dy C 1 1 2cossin 000 2 cos sin cos sin df rrdrdf rr dr D 1 1 2cossin 000 2 cos sin cos sin df rrrdrdf rr rdr 答案 D 解析 2 2 110111 011000 yx y dyf x y dxdxf x y dydxf x y dy x 1 1 2cossin 000 2 cos sin cos sin df rrrdrdf rr rdr 故选 D 4 若 22 11 cossin min cossin a b R xaxbxdxxaxbxdx 则 11 cossinaxbx 322 60yxyx y A 2sin x B 2cosx C 2 sin x D 2 cosx 答案 A 解析 222 cossin sin 2 cos sin cos2xaxbx dxxbxax xbxa xx d x 2 2222 2sinsincos xbxxbxax dx 22222 0 2 sincos2sin x dxbxaxbxx dx 22 12 4 42 2 223 abb 3 22 2 4 3 abb 3 22 2 2 4 3 ab 3 当时 积分最小 0 2ab 故选 A 2 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 5 行列式 00 00 00 00 ab ab cd cd A B C D 2 adbc 2 adbc 2222 a db c 2222 b ca d 答案 B 解析 由行列式的展开定理展开第一列 00 00 00 000 00 000 00 ab abab ab a cdcb cd dcd cd ad adbcbc adbc 2 adbc 故选 B 6 设均为三维向量 则对任意常数 向量组 123 a a a k l 13 aka 2 ala3 线性无关是向量组 123 B 线性无关的 A 必要非充分条件 B 充分非必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 答案 A 解析 1323123 10 01kl kl 记 1323 Akl 123 B A 若 123 线性无关 则 故 2r Ar BCr C 3 0P AB 线性无关 P BA 举反例 令 3 0 则 12 线性无关 但此时 123 却线性相关 综上所述 对任意常数402Qp 向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件 pD 故选 A 3 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 7 设随机事件A与B相互独立 且 0 5P B 0P AB 3 则 P BA A 0 1 B 0 2 C 0 3 D 0 4 答案 B 解析 已知 a AQ与 2 123121 323 24f x x xxxax xx x 独立 a P ABP AP ABP AP A P B 0 5 0 5 0 3P AP AP A 则 0 6P A 则 0 50 5 0 60 50 30 2P BAP BP ABP BP A P B 故选 B 8 设连续性随机变量 1 X与 2 X相互独立 且方差均存在 1 X与 2 X的概率密度分别为 1 f x与 2 fx 随机变量的概率密度为 1 Y 1 12 1 2 Y fyfyf y 随机变量 21 1 2 YXX 2 2 则 A B 12 EYEY 1 DYDY 12 EYEY 12 DYDY C 12 EYEY 1 DYDY2 答案 D 解析 用特殊值法 不妨设 相互独立 12 0XXN 1 222 2 y 1 22 1111 2222 yy Y yee 1 0 1 e YN f 4 212 1 2 YXX 212212 111 0 242 E YE XE XD YD XD X 1212 1 0 1 2 E YE YD YD Y 故选 D 二 填空题 二 填空题 9 14 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 24 分分 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 9 曲面在点 1 处的切平面方程为 22 1 sin 1 sin zxyyx 0 1 答案 21xyz 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 解析 由于 所以 22 1 sin 1 sin zxyyx 2 2 1 sin cos x zxyx y 1 0 2 x z 2 cos2 1 sin y zxyy x 1 0 1 y z 所以 曲面在点 1 处的法向量为 0 1 2 1 1 n r 故切平面方程为2 1 1 0 1 0 xyz 即 21xyz 10 设 f x是周期为的可导奇函数 且4 fx 2 1 x 0 2 x 则 7 f 答案 1 解析 由于 fx 2 1 x 0 2 x 所以 2 1 f xxC 0 2 x 又 f x为奇函数 0 0f 代入表达式得1C 故 2 1 1f xx 0 2 x f x是以为周期的奇函数 故 4 2 7 1 8 1 1 1 1 1 ffff1 11 微分方程满足条件 lnln 0 xyyxy 3 1 ye 的解为y 答案 21 0 x yxex 解析 lnln 0 xyyxy ln yy y xx 令 y u x 则yx u 代入原方程得 yxuu lnxuuuu ln1 uu u x 分离变量得 ln1 dudx uux 两边积分可得 ln ln1 lnux Cx 即ln1uC 5 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 故ln1 y Cx x 代入初值条件 3 1 ye 可得2C 即ln21 y x x 由上 方程的解为 21 0 x yxex 12 设L是柱面与平面 22 1xy 0yz 的交线 从A0 x 轴正向往轴负向看去为逆时针 方向 则曲线积分 z L zdxydz 答案 解析 由斯托克斯公式 得 0 L dydzdzdxdxdy zdxydzdydzdzdx xyz zy xy D dydzdzdx 其中 22 1 xy Dx yxy 13 设二次型 22 123121 323 24f x x xxxax xx x 的负惯性指数是 1 则的取值范围 a 答案 2 2 解析 配方法 22 222 123133233 24fx xxxaxa xxxx 由于二次型负惯性指数为 1 所以 2 40a 故22a 14 设总体X的概率密度为 2 2 2 3 0 x x f x yf x 在1x 处取极小值 1 2yf 17 本题满分 10 分 设函数 f u具有二阶连续导数 cos x zf ey 满足 22 2 22 4cos xx zz zey e xy 若 求 00 0f f 0 f u的表达式 解析 由 cos x zf ey cos cos cos sin xxxx zz f eyeyf eyey xy 2 2 cos coscos cos cos xxxxx z feyey eyf eye x y 2 2 cos sinsin cos cos xxxxx z feyeyeyf eyey y 由 22 2 22 4cos xx zz zey e xy 代入得 22 cos4 coscos xxxxx feyef eyey e 即 cos4cos4cos xxx feyf eye y t 令得cos x ey 44ftf t t 特征方程 得齐次方程通解 2 40 2 22 12 tt ycec e 设特解 yatb 代入方程得 特解1 0ab yt 则原方程通解为 22 12 tt y f tcec et 由 得 00 0ff 0 8 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 12 11 44 cc 则 22 11 44 uu y f ueeu 18 本题满分 10 分 设 为曲面的上侧 计算曲面积分 22 zxy z1 33 1 1 1 Ixdydzydzdxzdxdy 解析 非闭 补 1 平面 被所截有限部分下侧 由 Gauss 公式 有 1z 2 zxy 2 1 33 1 1 1 xdydzydzdxzdxdy 22 3 1 3 1 1xyd V 22 3 667xydVxdVydVdV 和所围立体为 1 关于yoz面和zox面对称 则0 xdVydV 22 22 1 22 1 xy xy xydVdxdydz Q 21 22 00 1 drrrd r 461 0 1111 2 2 4646 rr 6 22 11 00 2 xyz dVdzdxdyzdz 1 7 374 6222 1 4 又 22 11 1 1 1 1 0 xy zdxdydxdy Q 111 4I 19 本题满分 10 分 设数列 nn ab满足0 2 n a 0 2 n b Q 又 424 nn ab Q 0 42 nn ab 即 nn ab 又0 nn ab Qlim0 n n b lim0 n n a II 证明 由 I 2sinsin 22 nnnn n abab a 2sinsin 22 nnnn n nn abab a bb 2222 22 22 nnnn nnn nn ab ba babb bbb2 n n 又Q收敛 1 n n b 12 n n b 收敛 1 n n n a b 收敛 20 本题满分 11 分 设矩阵 1234 0 11 1 1203 A E为三阶单位矩阵 I 求方程组的一个基础解系 0Ax II 求满足ABE 的所有矩阵B 解析 12341001234100 011 1010011 1010 1203001043 1101 A E 10 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 12341001001261 011 10100102131 00131410013141 T 11 I 的基础解系为 0Ax 1 2 3 1 T II 123 1 0 0 0 1 0 0 0 1 TT eee 1 Axe 的通解为 111 2 1 1 02 12 1 3 TT xkkk k k 22 2 Axe 的通解为 222 6 3 4 06 32 43 TT xkkk k k 33 3 Axe 的通解为 333 1 1 1 01 12 1 3 TT xkkk k k 123 123 123 123 261 123212 1 3431 3 kkk kkk B kkk kkk 123 k k k 1 2 为任意常数 21 本题满分 11 分 证明阶矩阵与相似 n 1 11 1 11 1 11 L L MMMM L 00 00 00n L L MMMM L 解析 已知 1 11 1 A M L L M 1 2 001B n L M 则A的特征值为 n01n 重 A属于n 的特征向量为 1 1 1 TL 1r A 故0Ax 基础解系有个线性无关 的 解 向 量 即 1n A属 于0 有个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 故1n A相 似 于 对 角 阵 0 0 n O B的特征值为 n01n 重 同理B属于0 有1n 个线性无关的特征向量 故B相 似于对角阵 由相似关系的传递性 A相似于B 11 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 22 本题满分 11 分 设随机变量X的概率分布为 1 12 2 P XP X i在给定X 的条件下 随机变量 服从均匀分布 Y 0 1 2 Uii I 求Y的分布函数 Y Fy II 求EY 解析 I 设Y的分布函数为 则 y Y F 1 12 2 Y FyP YyP XP Yy XP XP Yy X 11 1 2 22 P Yy XP Yy X 当时 0y 0 Y Fy 当01时 y 13 y 224 Y yy Fy 当12时 y 1 1 22 Y y Fy 当时 2y 1 Y Fy 所以Y的分布函数为 0 0 3 0 4 1 1 12 22 1 2 Y y y 1y Fy y y y II Y的概率密度为 3 01 4 1 y 12 4 0 Y y fy 其他 12 01 31 d 44 Y E Yfyyy dyy dy 12 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 31113 4 1 42424 23 本题满分 11 分 设 总 体X的 分 布 函 数 为 2 1 0 0 0 x x x e F x 都有 lim0 n n Pa 解析 X的概率密度为 2 2 0 0 x x ex f x