27届试卷答案b.pdf

1 第第 27 届届全国部分地区全国部分地区大学生物理竞赛试卷大学生物理竞赛试卷参考参考答案答案 一 填空题 必做 共一 填空题 必做 共 1 10 0 题 每题题 每题 2 2 空 每空空 每空 3 3 分 共分 共 6060 分 分 1 1 v gR 2 v gR2 2 max3 qE 227 3 1 3 1 0 S vu u 2 0 u vu B 4 会 632 mmHg 5 图 1 图 1 和图 2 6 0 q 6 0 q 7 0 REUM 有 表面受扩张力 电量太大扩张力大 导致导体壳撑破 8 103 1 4 dnLcm 6 LN 条 9 d 12 2 cm N 400 线 mm 10 t 4s 37 140 光秒 cs 二 计算题 必做 共二 计算题 必做 共 4 题 每题题 每题 15 分 共分 共 60 分 分 11 11 解 设 粒子在轨道上任一点的位置为 x 两个正 电荷之间的距离为 2a 则两正电荷在 粒子处的总电 势为 22 0 2102 11 4 ax e rr e UP 3 分 两正电荷构成的系统与 粒子之间的相互作用能为 22 0 2 22 0 2 2 ax e ax e eUqW ii 互 3 分 2 求 粒子所受的作用力 方法一 用库仑力做 两正电荷与 之间的库仑力为 1 4 2 2cos2 3 22 0 2 22 22 0 2 方向 ax xe ax x ax e FF ex 3 分 方法二 用虚功原理做 i ax xe dx dW F 3 22 0 2 互 求 粒子所受的作用力的极值 即求力F 模F 的极值 0 23 5 22 22 0 2 5 22 222 0 2 3 22 0 2 ax xae ax xaxe ax xe dx d dx Fd 2 020 2 22 5 22 22 0 2 a xxa ax xae dx Fd 3 分 所以在 2 a x 处 受力取极值 极值可能极大 可能极小 再由 2 23 2 2 7 22 22 0 2 5 22 22 0 2 2 2 ax axx e ax xa dx de dx Fd 因为在 2 a x 处 0 2 23 2 22 a ax 所以 0 23 2 7 22 22 0 2 2 2 ax axxe dx Fd 即在 2 a x 处 受作用力达到极大值 3 分 1212 解 解 分 3 4 4 0 00 0 00 T nR Vp TTT nR Vp nR Vp T CB AA A 1 00 2 3 2 1 VpVVppW ABBAAB 2ln4ln 00V p V V nRTW B C BBC 00 3VpWCA 3 分 2 000 2 9 2 9 2 3 VpnRTTTnRU ABAB 0 BC U 00 2 9 2 3 VpTTnRU CACA 3 分 3 00 6 VpUWQ ABABAB 分 3 2ln4 00V pUWQ BCBCBC 00 2 15 VpUWQ CACACA 4 分 3 5 14 2ln812 32ln8 2ln812 15 11 BCAB CA QQ Q 13 解 1 t 0 时刻 螺线管接通电流 则由于电流变化 管内磁场也将随时间变化 对长直螺线 管内 有 NkttNIB 00 2 分 因为 B 变化 在管内外会产生涡旋电场 Rr Nkr ErNkr dt dB rE 2 2 0 2 0 2 旋内旋内 方向与螺线管的电流反向 2 分 Rr r NkR ERNkR dt dB rE 2 2 2 0 2 0 2 旋外旋外 方向与螺线管的电流电流反向 2 分 2 求感应电流密度及其方向 由 1 可见 管内涡旋电场的大小取决于 r 的大小 越靠近螺线管壁处 涡旋电场越大 等离子体 中 正 负离子在涡旋电场的作用下作环绕轴线的圆周运动 正负离子均受涡旋电场力作用 电子 和离子受到大小相等方向相反的切向力而获得相反方向的切向加速度 就其大小而言 3 对于电子 dt dv meE e e 旋 对于离子 dt dv meE 离 离子旋 由于 e mm 离子 因此电子在切向获得加速度 离子所获得的加速度 因而使等离子体内形成以电 子流动为主的与涡旋电场方向相反的电子流 略去离子流贡献 距中心为 r 处的电流密度的大小便为 0 treuntrj 3 分 其中 tru是 t 时刻 r 处电子在涡旋电场作用下获得的切向运动速度 与电流密度方向相反 对 对上式两边求导得 旋 eEF m F entrean t tru en t trj e 000 于是有 ee m reN k n E m en t trj 2 00 2 0 旋 所以 当 r 一定时 t m kreNn td m kreNn trj e t e 2 00 0 2 00 3 分 电流密度是正电荷流动的方向 因此应该和涡旋电场方向相同 3 感应电流方向与螺线管中通有的电流方向相反 忽略感应电流产生的轴向磁场 则电离了的正 负离子由于有运动 它们均受到轴线磁场的洛伦兹力 正离子与涡旋电场同方向运动 电子反方向 运动 轴向磁场向上 两者受到的洛仑兹力均指向轴线 洛伦兹力使正负离子均向轴线运动 因此 除了有切向运动外 正负离子还有向轴线运动的趋势 又由于外层涡旋电场大 正负离子获得的切 向速度大于内层 所以外层等离子体薄层会向轴线迅速压缩 3 分 14 解 1 参考题解图 1 1 T的计算 球 1 从 A 到 B1所经时间记为 11 t 到达 B1的速度大小记为 10 v 有 gLttgL10sin 2 1 3 11 2 11 gLtgv10 5 3 sin 1110 将球 1 从 B1到 C 时间记为 12 t 有 2 1212 2 121210 5 2 10 5 3 cos 2 1 4gttgLtgtvL 取其解为 g L t 10 2 1 12 合成 得 分 4 10 2 3 12111 g L ttT 2 T的计算 仿照球 1 所引参量 有 10cos 2 1 4 1121 2 21 tgLttgL gLtgv10 5 4 cos 2120 2 2222 2 222220 10 3 10 5 4 sin 2 1 3gttgLtgtvL g L t 10 3 1 22 g L ttT 10 3 4 22122 3 分 2 由 1 问解答可知 g L TT 10 3 4 20 4 球 1 2 于 12111 10tgLtt 令 分别同时到达 B1 B2 据此将讨论的时间范围分为两段 011 0Ttttt 和 1 0tt 时间段F 的求解 此时间段内 t 时刻球 1 2 所在位置到竖直线 AC 的水平距离分别为 s in co s 2 1 co s s in 2 1 2 2 2 1 tgxtgx 即有 21 xx 重力 gmgmgmgm 21 相对 A 点力矩之和为零 故有解 分 40 F 01 Ttt 时间段F 的求解 参考题解图 2 球 1 2 朝 AC 线水平加速度分别为 gggg 25 12 cossin 25 12 sincos 即相同 t时刻重力矩之和为 2211 gxmgxmM M 大小 方向 水平朝外 2 11101 25 12 2 1 sin 5 12 ttgttvLx 2 11202 25 12 2 1 cos 5 12 ttgttvLx 10 25 7 sincos 11102021 ttgLttvvxx 为平衡此力矩 要求 分 大小 方向 水平朝左 4 10 10 125 7 5 11 g L ttt L g mg L M F F 三 三 15 20 分分 文管组和农林医组文管组和农林医组不做 其他组必做不做 其他组必做 解 1 参考题图 1 静电平衡后 各导体板内场强为零 由高斯定 理得 A 板下表面与 B 板上表面电荷等量异号 C 板下表面与 D 板上表面电荷等量异号 B C 板连成一个导体 等势 B 板下表面和 C 板上表面若有电荷 均应处理为无穷大均匀带电平面 其间电场线必定与板面垂直 使 B C 间有电势差 与 B C 等势矛盾 因此 要求 B 板下表面电量为零 C 板上表面电量为零 各导体板内场强为零 又要求 A 板下表面与 B 板上表面电荷等量异号 由电荷守恒要求 A 板总电量为零 B C 板电量之和为零 D 板总电量为零 根据上述要求建立 8 个方程 可解 过程略 得 A B C D 板上 下表面电量分布如题图 1 所示 各区域场强方向也已在图中示出 且有 S q EE 0 00 2 下上 5 便得 分 下上 8 2 12 0 2010 dd S q dEdEUAD 2 电量 Q 从电源正极流到 A 板达到平衡后 A B C D 板的电荷分布及板间场强分布如题解 图 2 所示 图中 下上 E E 的方向均以向下为正 带有正 负号的 下上 E E分别为 S q E S q E 00 2 2Q 2 2Q 下上 继而得 2 0 21 0 1B 2 2Q 2 2Q d S q dEUd S q dEU CDA 下上 S ddqdd UU CDA 0 1221 B 2 2Q 可解得 2 2 21 210 dd ddqS Q 对 Q 的正负号判断如下 时当 2 0 0 12 S ddq Q 分 时当 时当 7 2 2 2 0 0 0 2 0 2 0 12 S qdq Q S qd S ddqq Q Q 3 x RR 0 分压之比为 xx R R U U 00 1 k接通稳定后 2 k未接通时 有 21 10 21 20 22 2 22 2 dd qdS qQ dd qdS qQ 2 k接通后 流过 r 的电流若是始终为零 则 2 k接通前便应有 210 120 2 1AB00 22 22 2 2 dqdS dqdS dqQ dqQ U U U U R R CDxx 解得 分 4 0 120 210 R dqdS dqdS Rx 出现此种情况的 取值范围为 分 1 0 2 S qd 6 16 20 分分 非物理非物理 A 组必做 其他组不做组必做 其他组不做 提示 平面极坐标系中无限小曲线段长度 22 d d d rrl 积分参考公式 Cxax a xa x xxa 22 2 2222 ln 22 d 解 k T的计算 d r rddrdl 2 0 2 2 1 k kk K r d r dlL 2 0 22 0 2 0 2 0 2 0 1ln 2 1 1 2 1 分 5 412ln 2 1 41 2222 0 0 0 k kkkk v r v L T K 小球速度方向转角 k 的计算 参考题解图 1 小球到 r位置时螺线切线方向线与矢径方向线 夹角记为 有 dr rd dr ddrr tan 得 2arctan 2 0 0 k0 kk 时 时 小球速度方向转角便为 分 5 2arctan 2 2 0 kkk kk N的计算 dt时间段内小球运动和受力情况 如题解图 2 所示 有 mvd dl mv vdt mvNdt v mN 2 得 k TT mvmvdNdt kk 0 00 分 8 412ln 2 1 41 2arctan 2 2222 0 2 00 kkkk kk r mv T Ndt N k Tk k很大时N的近似表达式 kkkk2 2 2 2arctan 2 0 2 0 22222222 24ln 2 1 2412ln 2 1 41 kr mv N kkkkkkk 分 2 7 17 20 分分 物理组必做 其他组不做 物理组必做 其他组不做 解 参考题解图 图中虚线所示为两个斜木块初始位置 顶端取为坐标原点 O 为左侧小球朝右 朝下运动设置 x y 坐标轴 为左侧斜木块朝左运动设置 坐标 每一个斜木块底面长记为L则高 也为 L 建立下述方程 球 ymNmg xmxkN cos 2sin 木块 mN s in 运动关联 tan xy 将其中木块方程所得 sin m N 代入小球方程 并将 o 45 代入 经数学处理后 可得 3 6 2 1 2 xy gy x m k x 分 x方程的建立和求解 2 3 式联立 消去 y 得 4 2gx 将 1 式代入 4 式 得 33 4g x m m x 通解为 sin 3 4 4 cos tAx m k k mg tAx 由初条件 0 0 0 xxt时 得 0 4 cos k mg A 00sin 3 4 或 A m k 取 k mg tx k mg A 4 cos1 4 0 则 取 k mg tx k mg A 4 cos1 4 则 可统一为 k mg tx 4 cos1 分 5 3 4 cos 3m k t g x 8 方程的建立和求解 由 1 式 得 k mg t m k t g x m k x 4 cos1 2 cos 3 2 2 cos 6 g t g 积分 得 00 0 2 1 sin 6 11 CtCgtt g 时 2 22 2 2 6 0 0 4 1 cos 6 g CtCgtt g 时 2 2 4 1 1cos 6 gtt g 分 4 4 1 1cos 8 2 gtt k mg 讨论 0 33 2 2 cos 6 g g g t g 0 sin m N 故弹